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高中数学竞赛辅导第一讲 集合与抽屉原理


第一讲
集合与简易逻辑

例1设A={(x,y)|y2-x-1=0},B={(x,y)|4x2+2x-2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是 否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C= ? ,证明此结论. 解 ∵(A∪B)∩C= ? ,∴A∩C= ? 且B∩C= ? ?y2 ? x ?1 ∵ ? ? y ? kx ? b ∴k2x2+(2

bk-1)x+b2-1=0 ∵A∩C= ? ∴Δ1=(2bk-1)2-4k2(b2-1)<0 ∴4k2-4bk+1<0,此不等式有解, 其充要条件是16b2-16>0, 2 即 b2 >1 ① ?4 x ? 2 x ? 2 y ? 5 ? 0 ∵ ? ? y ? kx ? b ∴4x2+(2-2k)x+(5+2b)=0 ∵B∩C= ?,∴Δ2=(1-k)2-4(5-2b)<0 ∴k2-2k+8b-19<0, △>0从而8b<20, 即 b<2.5 ② 由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组,得 ∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B)∩C= ?

?4k 2 ? 8k ? 1 ? 0, ? ? 2 ?k ? 2 k ? 3 ? 0 ?

例2 向50名学生调查对A、B两事件的态度,有如下结果 赞成A的人数是全体的 五分之三,其余的不赞成,赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成;另外,对 A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人 问对A、B都 赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?
U B X 30-X 33-X X +1 3

A

3 解 赞成A的人数为50× 5 =30,赞成B的人数为30+3=33, 如上图,记50名学生组成的集合为U,赞成事件A的学生全体为集合A; 赞成事件B的学生全体为集合B x 设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为 +1, 3 赞成A而不赞成B的人数为30-x,赞成B而不赞成A的人数为33-x x 依题意(30-x)+(33-x)+x+( +1)=50, 3 解得x=21 所以对A、B都赞成的同学有21人,都不赞成的有8人

例3已知集合A={(x,y)|x2+mx-y+2=0},B={(x,y)|x-y+1=0,且0≤x≤2},如果 A∩B≠ ? ,求实数m的取值范围
? x 2 ? mx ? y ? 2 ? 0 解由? 得x2+(m-1)x+1=0 ? x ? y ? 1 ? 0(0 ? x ? 2)



∵A∩B≠ ? ∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解 首先,由Δ=(m-1)2-4≥0,得m≥3或m≤-1, 当m≥3时,由x1+x2=-(m-1)<0及x1x2=1>0知,方程①只有负根, 不符合要求; 当m≤-1时,由x1+x2=-(m-1)>0及x1x2=1>0知,方程①只有正根, 且必有一根在区间(0,1]内,从而方程①至少有一个根在区间[0, 2]内 故所求m的取值范围是m≤-1

例4.设A={X∣X=a2+b2,a、b∈Z},X1,X2∈A,求证:X1X2∈A。

证明:设X1=a2+b2,X2=c2+d2,a、b、c、d∈Z, 则X1X2=(a2+b2)(c2+d2) =a2c2+b2d2+b2c2+a2d2 =a2c2+2ac· bd+b2d2+b2c2-2bc· ad+a2d2 =(ac+bd)2+(bc-ad)2 又a、b、c、d∈Z,故ac+bd、bc-ad∈Z, 从而X1X2∈A

1 例5.已知集合M={X,XY,lg(xy)},S={0,∣X∣,Y},且M=S,则(X+ ) Y 1 1
+(X2+

Y

2

)+……+(X2002+

Y

2002

)的值等于 ____.

解:由M=S知,两集合元素完全相同。这样,M中必有一个元素为0,又由对数 的性质知,0和负数没有对数,所以XY≠0,故X,Y均不为零,所以只能有lg(XY) 1 =0,从而XY=1.∴M={X,1,0},S={0,∣X∣, }.再由两集合相 等知
1 ? ?X ? X X ? ? ? X ? 1 或? 1? ? ?1 ? X ? X ?
X

当X=1时,M={1,1,0},S={0,1,1},这与同一个集合中元素的互异性矛盾,故 X=1不满足题目要求; 当X=-1时,M={-1,1,0},S={0,1,-1},M=S,从而X=-1满足题目要 求,此时Y=-1, 于是X2K+1+

1 Y
2 k ?1

=-2 (K=0,1,2,……),

X2K+

1 2 k =2 (K=1,2,……), Y

故所求代数式的值为0.

例6.一个集合含有10个互不相同的两位数。试证,这个集合必有2个无公共元素 的子集合,此两子集的各数之和相等。

解:已知集合含有10个不同的两位数,因它含有10个元素,故必有210=1024个 子集,其中非空子集有1023个,每一个子集内各数之和都不超过90+91+…98 +99=945<1023, 根据抽屉原理,一定存在2个不同的子集,其元素之和相等。如此2个子集无公共 元素,即交集为空集,则已符合题目要求; 如果这2个子集有公共元素,则划去它们的公共元素即共有的数字,可得两个无 公共元素的非空子集,其所含各数之和相等。

例7.设A={1,2,3,…,n},对X ? A,设X中各元素之和为Nx, 求Nx的总和 ? N .
x? A x

解:A中共有n个元素,其子集共有2n个。A中每一个元素在其非空子集 中都出现了2n-1次,(为什么? 因为A的所有子集对其中任一个元素i都可分为两类,一类是不含i的, 它们也都是{1,2,…,i-1,i+1,…n}的子集,共2n-1个;另一类是含i的, 只要把i加入到刚才的2n-1个子集中的每一个中去)。 因而求A的所有子集中所有元素之和Nx的总和时,A中每一个元素都加 了2n-1次,即出现了2n-1次,故得 ? N =1×2n-1+2×2n-1+…+n· n-1=(1+2+…+n)· n-1 2 2
x? A x



n( n ? 1) 2

×2n-1=n(n+1)×2n-2


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