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导数公开课教案


数学公开课教案
【课 题】导数的应用—函数的单调性与导数 【知识目标】1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 【能力目标】1、提高学生的运算能力。 2 提高学生导数的应用能力。 【情感目标】培养数学的应用意识,激发学生学习数学的兴趣。 【教学重点】利用导数判断函数单调性 【教学难点】如何用导数研究函数的单调性 【教学方法】讲练

结合 【课 型】新授课 【教 具】多媒体 教学过程: 一复习导入: 1 以前学过的判断函数的单调性的方法有哪些? (1)定义法 (2)图像法
王新敞
奎屯 新疆

2 用定义法判断函数单调性的步骤是什么?在给定的区间内任取 x1<x2; (2) 作差 f(x1)-f(x2)并变形;

(3)判断符号; (4)下结论。 (让学生动脑思考回答问题) 二、新课讲解 1 发现问题: 单调性定义法讨论函数单调性是根本,但有时十分麻烦,尤其是在不知道函数图 象时,如 f(x)=2x3-6x2+7。这就需要我们寻求一个新的方法。 (动笔做题)

2 探索问题 函数的单调性体现出了函数值 y 随自变量 x 的变化而变化的情况,而导数也 正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系, 于是我们设想一下能否 利用导数来研究函数的单调性呢? 3 解决问题 (本节重点,重点突破) (1)观察函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系。
y y

y o 0

y
o

y o

y

x

0 x

x

x

o

x

x

y o

在(-?, 0)上递减
2

f ( x) ? x






在(0, ?)上递增 ?



x
在(a,b) 上递增 正 正

y ? f ( x)

y o y o
a
a
b

y ? f ( x)

x
在(a,b) 上递减 负 负

b

x

结论 设函数 y=f(x)在某个区间内有导数,如果在这个区间内 y`>0,那么 y=f(x)在 这个区间内单调递增;如果在这个区间内 y`<0,那么 y=f(x)在这个区间内的单调 递减。 思考:如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,那么函数 f(x)有什么特征? 答:函数 f(x)为常数函数 三、典例分析,能力提升 函数 (分析思路,出示标准答案 )例 1、已知导

f ?( x ) 的下列信息: ?( x ) >0
当 x>4 或 x<1 时,

当 1<x<4 时, f

f ?( x ) <0

当 x=4 或 x=1 时,

f ?( x ) =0
试画出函数 f(x)图象的大致形状。
y

o

1

4

x

小结:如果函数在某点的导数值等于 0,而且在这点附近的左侧单调递减(增) , 右侧单调递增(减) 那么这一点叫函数的临界点(极值点) , 。

例 2、判断下列函数的单调性,并求出单调区间: (1) f ( x) ? x 3 ? 3x (2) f ( x) ? x 2 ? 2x ? 3 (3) f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ? ) (4) f ( x) ? 2x3 ? 3x2 ? 24x ? 1 (1)解:因为 f ?( x) ? 3x 2 ? 3 ? 0 ,所以 f (x) 在定义域内单调递增。 (2)解:因为 f ?( x) ? 2 x ? 2 , 当 f ?( x) ? 0 时,即 x ? 1 时, f (x) 单调递增; 当 f ?( x) ? 0 时,即 x ? 1 时, f (x) 单调递减; 所以函数 f (x) 的递增区间为( 1,?? ),递减区间为( ? ?,1 )

(3) f ( x) ? sin x ? x x ? (0,? )
解: f ?( x) ? cos x ?1 ? 0,?该函数在定义域上是减函数 ?
(4) f ( x) ? 2x3 ? 3x2 ? 24x ? 1
?1 ? 17 -1- 17 或x< 2 2 ? -1+ 17 ? ? -1- 17 ? ?函数的递增区间为 ? , ? ?,??, ? ? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ? 解: f?(x)=6x2 ? 6 x ? 24 ? 0解得x> ? ? f?(x)=6x2 ? 6 x ? 24 ? 0解得 ?1 ? 17 -1- 17 <x< 2 2 ? -1- 17 -1+ 17 ? ?函数的递减区间为? , ? ? ? 2 2 ? ? 小结:( 1 ) 求出函数的定义域( 2)求出函数的导函数 (3)求解不等式 f `(x)>0,求得其解集,再根据解集与定义域写出函数 单调递增区间 (4)求解不等式 f``(x)<0,求得其解集,再根据解集与定义域写出函数 单调递减区间 例 3、如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积 相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图 象。 (本节难点重点突破)

1

2

3

4

小结 : 一般的,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内 变化的快,这时函数的图像就比较“陡峭”;反之,如果导数的绝对值较小,那 么函数在这个范围内变化的慢,图像就“平缓”一些 四 课堂练习 (让学生运用新知识,熟能生巧) (1) y ? x 3 ? 9 x 2 ? 24x

单调递增区间为: (4,+∞)(-∞,2)单调递减区间(2,4) ,

( h 11 t 0 A ) A A A)
A

( h ) t 0 B B ( B)
B

( ( h h 3) t 0 t 0 ( ( C) D)
C D

(2) y ?

x ? x2

? 1? 单调递增区间是 ?0, ? ? 2?

?1 ? 单调递减区间是 ? ,1? ?2 ?
(3)

y ? 3x ? x 3

单调增区间为: (-1,1) ;单调减区间为: (-∞,-1)(1,+∞) ,

(4) y ? ln(x 2 ? x)
单调递减区间是? ??, 0?
五 巩固提高

单调递增区间为?1 ? ?? ,

(加深理解知识,提高知识的运用能力)

1 函数y=xcosx-sinx在下面那个区间是增函数(B)
A. (

? 3?
2 , 2

)

B . (? , 2? )

C. (

3? 5? , ) 2 2

D. (2? , 3? )

2,设 f/(x)是函数 f(x)的导函数 y ? f ?(x) 的图象如左图所示,则 y ? f (x) 的图象 最有可能的是(C )
y y

y

O

o

1 2x (A
A 1 2

x

y
o

O

1 2x (A
1 B 2

x

y

y
1

O

o

y 2 x

y 1 2

2x

y
o

六 课堂小结: (1)函数的单调性与导数的关系 (2)求解函数单调区间 (3)导数绝对值的大小与函数的关系 七 课后作业:

O 1 2x (A )
C

x

y
o

O 1 2x (A )
1 2 D

x

已知函数 f(x)=2x3-6x2+7 画出该函数的草图


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