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2013年高考(新课标全国二卷)理科数学高清修正word版


2013 年普通高等学校招生全国统一考(新课标Ⅱ卷)

绝密★启用前

2013 年普通高等学校招生全国统一考(新课标Ⅱ卷) 数学(理科)
注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前考生将自己的姓名\ 准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。 2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号标黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4. 考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题。每小题 5 分,共 50 分。在每个小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 M ? {x ( x ? 1) 2 ? 4, x ? R}, N ? {?1,0,1,2,3} ,则 M ? N ? (
(A) {0,1,2} (B) {?1,0,1,2} (C) {?1,0,2,3} (D) {0,1,2,3}

)

(2)设复数 z 满足 (1 ? i ) z ? 2i ,则 z =( (A) ?1 ? i (B) ?1 ? i

) (C) 1 ? i (D) 1 ? i )
1 9

(3)等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知S3?a2?101, a5 ? 9 ,则 a1 ? ( (A)
1 3

(B) ?

1 3

(C)

1 9

(D) ?

(4)已知 m, n 为异面直线, m ? ? , n ? ? 。直线 l 满足 l ⊥m,
l ? n, l ? ? , l ? ? ,则(

) (B) ? ? ? 且 l ? ?

(A) ? // ? 且 l // ?

(C) ? 与 ? 相交,且交线垂直于 l (D)α 与β 相交,且交线平行于 l (5)已知 (1 ? ax)(1 ? x) 5 的展开式中 x 2 的系数为 5,则 a ? ( (A)-4 (B)-3 (C)-2 (D)-1 ) )

(6)执行右面的程序框图,如果输入的 N ? 10 ,那么输出的 s ? (
1 1 1 ? ?? ? 2 3 10 1 1 1 (C) 1 ? ? ? ? ? 2 3 11

(A) 1 ?

1 1 1 ? ?? ? 2! 3! 10! 1 1 1 (D) 1 ? ? ? ? ? 2! 3! 11!

(B) 1 ?

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(7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是 (1,0,1) ,1,1,0) , (
(1,1,1) , (0,0,0) 画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为搞影面,则得

到正视图可以为

(A)

(B)

(C) )

(D)

(8)设 a ? log 3 6 , b ? log 5 10 , c ? log 7 14 则( (A) c ? b ? a (B) b ? c ? a

(C) a ? c ? b

(D) a ? b ? c )

?x ? 1 ? (9) 已知 a ? 0, x, y 满足条件 ? x ? y ? 3 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 1, a ? ( 则 ? y ? a ( x ? 3) ?

(A)

1 4

(B)

1 2

(C) 1

(D) 2 )

(10)已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c ,则下列结论中错误的是( (A) ?x0 ? R, f ( x0 ) ? 0 (B)函数 y ? f (x) 的图像是中心对称图形

(C)若 x0 是 f (x) 的极小值点,则 f (x) 在区间 (??, x0 ) 单调递减 (D)若 x0 是 f (x) 的极值点,则 f ?( x0 ) ? 0 (11)设抛物线 C y 2 ? 3 px , ( p ? 0) 的焦点为 F , M 在 C 上,MF ? 5 若以 MF 为 点 直径的园过点 (0,3) ,则 C 的方程为( (A) y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 8 x (C) y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 16 x )

(B) y 2 ? 2 x 或 y 2 ? 8 x (D y 2 ? 2 x 或 y 2 ? 16 x

(12)已知点 A(?1,0), B(1,0), C (0,1) ,直线 y ? ax ? b(a ? 0) 将 ?ABC 分割为面积相 等的两部分,则 b 的取值范围是( (A) (0,1) (B) (1 ? ) (C) (1 ?

2 1 , ) 2 2

2 1 , ) 2 3

1 1 (D) [ , ) 3 2

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第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题,每个试题考生都必修作答。第 22 题~第 24 题为 选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
??? ??? ? ? (13)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 AE ? BD =_______.

(14)从 n 个正整数 1,2,? , n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于 5 的概率等于
1 ,则 n ? 14

.

? 1 (15)设 ? 为第二象限角,若 tan(? ? ) ? ,则 sin ? ? cos ? ? _________. 4 2
(16)等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 S10 ? 0, S15 ? 25 , nS n 的最小值为____. 则 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分)
?ABC 在内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 已知 a ? b cos C ? c sin B .

(Ⅰ)求 B ; (Ⅱ)若 b ? 2 ,求 ?ABC 面积的最大值。

(18)(本小题满分 12 分) 如图,直棱柱 ABC ? A1 B1C1 中 D, E 分别是 AB, BB1 的中点
AA1 ? AC ? CB ? 2 AB 2

(Ⅰ)证明: BC1 // 平面A1CD1 ; (Ⅱ)求二面角 D ? A1C ? E 的正弦值

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(19)(本小题满分 12 分) 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1t 该产品获利润 500 元, 未售出的产品,没 1t 亏损 300 元。根据历史资料,得到销售季度内市场需求量 的频率分布直方图,如有图所示。经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产 品。以 X (单位:t,100 ? X ? 150 )表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。 (Ⅰ)将 T 表示为 X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润不少于 57000 元的概率; (Ⅲ)在直方图的需求量分组中, 以各组的区间中点值代表改组的各个值求量落入 该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 X ? [100,110) )则取
X ? 105 ,且 X ? 105 的概率等于需求量落入 [100,110) 的 T 的数学期望。

(20)(本小题满分 12 分) 平面直角坐标系 xoy 中, 过椭圆 M :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 右焦点 x ? y ? 3 ? 0 交 a2 b2
1 . 2

M 于 A, B 两点, P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为

(Ⅰ)求 M 的方程 (Ⅱ) C, D 为 M 上两点,若四边形 ABCD 的对角线 CD ? AB ,求四边形面积的最 大值.

(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? ln( x ? m) (Ⅰ)设 x ? 0 是 f (x) 的极值点,求 m ,并讨论 f (x) 的单调性; (Ⅱ)当 m ? 2 时,证明 f ( x) ? 0 ;

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请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分, 做答时请写清题号。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,CD 为 ?ABC 外接圆的切线,AB 的延长线教直线 CD 于点 D, E , F 分别为弦
AB 与弦 AC 上的点,且 BC ? AE ? DC ? AF , B 、 E 、 F 、 C 四点共圆。 (Ⅰ)证明: AC 是 ?ABC 外接圆的直径;

(Ⅱ)若 DB ? BE ? EA ,求过 B, E , F , C 四点圆的面积与 ?ABC 外接圆面积的比值.

(23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
? x ? 2 cos ? 已知动点 P, Q 都在曲线 C : ? ( ? 为参数)上,对应参数分别为 ? ? ? 与 ? y ? 2 sin ?

? ? 2? ( 0 ? ? ? 2? ), M 为 PQ 的中点.
(Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程 (Ⅱ)将 M 到原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.

(24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设 a, b, c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,证明:
1 (Ⅰ) ab ? bc ? ca ? ; 3

(Ⅱ)

a2 b2 c2 ? ? ? 1; b c a

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