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函数零点教学设计


一、 【教案背景】 1、课题:函数的零点 2、教材版本:苏教版数学必修(一)第二章 2.5.1 函数的零点 3、课时:1 课时 二、 【教学分析】 教材内容分析: 本节课的主要内容有函数零点的概念、函数零点存在性判定。 函数的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为 0 的实数 x;从方程的角度看,即为相应方程 f(x)=0 的实数根,从函数的

图形表示看,函数的零 点就是函数 f(x)与 x 轴交点的横坐标.函数是中学数学的核心概念, 核心的根本原因之一在于 函数与其他知识具有广泛的联系性,而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度, 将数与形,函数与方程有机的联系在一起。 本节是函数应用的第一课,因此教学时应当站在函数应用的高度,从函数与其他知识的 联系的角度来引入较为适宜。 教学目标: 1、知识与技能 (1)能利用二次函数的图象与判别式的符号,判断一元二次方程根的存在性及根的个 数。 (2)了解函数零点与相应方程的根的联系,掌握零点存在的判定条件。 2、过程与方法 (1)通过观察例题的图象,发现函数在区间端点上的函数值之积的特点,找到连续函 数在某个区间上存在零点的判断方法。 (2)渗透算法思想,运用算法解决问题,为后面系统学习算法做准备。 3、情感、态度与价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值,培养学生在函数与方程 的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值, 发展学生对变量数学的认识, 体会函 数知识的核心作用.体验数学内在美,激发学习热情,培养学生创新意识和科学精神。 教学重点: 零点的概念及零点存在性判定。 教学难点: 探究判断函数的零点个数和所在区间的方法。 教学方法: 问题是课堂教学的灵魂,以问题为主线贯穿始终;以学生为主体,以教师为主导,以能 力发展为目标,精心设计引导性问题,从学生的认识规律出发进行启发式教学,利用课件, 动画等引导学生对问题的思考,运用学生自主学习、小组合作探究的教学方式。 三、 【教学过程】 (一) 、问题情境 (1)画出二次函数的图象,并写出图象与 x 轴交点的横坐标。 说明:通过学生熟悉的二次函数图象入手,让学生体会二次函数图象与 x 轴交点的数值 与方程根的对应关系,方程的实数根就是的函数值为 0 时自变量 x 的值,建立初步的数形结 合数学思想。 (课件展示函数图象) (2)画出二次函数、与的图象,并写出图象与 x 轴交点的横坐标。

说明:通过两小题让学生认识到当二次函数的图象在 x 轴上方时,与之对应的方程无解, 当二次函数的图象恰好与 x 轴相交时, 与之对应的方程有相等的实数根, 建立初步的函数与 方程数学思想。 提出二次函数零点的概念(我们把使二次函数的值为 0 的实数 x 称为二次函数的零点) 。 (二) 、合作探究 探究二次函数的零点、二次函数的图象与一元二次方程的实数根之间的关系? Δ>0 Δ =0 Δ <0 方程根的

的图象

的零点

说明:小组合作探究,由学生回答,教师对答案给予鼓励性的评价。通过完成以上问题, 让学生体会从具体到一般函数图象与 x 轴交点与相应方程根的关系。如果学生有困难, 教师 可作一下点拨,结合二次函数的图象,推广到一般函数零点的定义。 板书课题:函数的零点 (三) 、意义建构 函数的零点概念:我们把使函数的值为 0 的实数称为函数的零点(zeropoint) 。 注: (1)零点不是点。 等价关系 函数 y=f(x)的零点 方程 f(x)=0 实数根(数) 函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标(形) 有了上述的关系,就可用函数的观点看待方程,方程的根即函数的零点,可以把解方程

的问题互化为思考函数图象与 x 轴的交点问题。这正是函数与方程思想的基础。 说明:通过对概念的陈述,让学生了解函数零点的概念及性质,对函数零点的概念有了 完整的认识,达到质的飞跃。 (四) 、数学运用 例 1:求下列函数的零点,并画出下列函数的简图。 ① ② ③ ④ ⑤ (师用展示台展示学生的作图,指出优缺点) 说明:求函数零点,体现函数与方程互相转化的思想。本题的五个小题都简单,主要考察学 生零点概念的掌握情况, 题目包含了我们从初中到目前已经学过的常见函数, 目的让学生通 过及时练习加强对函数零点的的认识。 通过画简图,了解图象的变化形式,要注意体现零点性质的应用。为下面学习根的存在条件 奠定基础。 例 2 求证:二次函数有两个不同的零点。 说明:可让学生充分讨论例 2 的解法,发展学生的发散性思维,第一,从数的角度,将函数 问题转化方程问题,体现“函数与方程”思想.第二,从形的角度,图象与 x 轴有两个不同 的交点。几何画板演示画图象过程,引导学生观察当函数图象穿过 x 轴时,图象就与 x 轴产 生了交点, 图象穿过 x 轴这是一种几何现象, 那么如何用代数形式来描述呢?用屏幕显示刺 函数图象,多次播放抛物线穿过 x 轴的画面。 板书证明过程 证明:设,则 f(1)=-2<0。 因为它的图象是一条开口向上的抛物线(不间断) , 这表明此图象一定穿过 x 轴, 所以函数的图象与 x 轴有两个不同的交点。 因此,二次函数有两个不同的零点。 从上面的解答知道,此函数有两个零点是。 问题(1)你能说明此函数在哪个区间[a,b]上存在零点()吗? 问题(2)如何判断一个函数在区间(a,b)上是否存在零点? 让学生自己思考、发言得到的结论,教师整理后得到函数零点的存在性判定。 如果函数在区间上的图象是一条不间断的曲线,且,则函数在区间内有零点。 教师给出这个结论,组织学生对下面问题进行讨论。通过讨论认识问题的本质,升华对 零点存在性判定的理解。 (1)若 f(a)·f(b)<0,函数 y=f(x)在区间(a,b)上就存在零点吗? (2)若函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续,且 f(a)·f(b)<0,则 f(x)在区间(a,b)内会是只有一 个零点么? (3)若函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续,且 f(a)·f(b)>0,则 f(x)在区间(a,b)内就一定没有 零点么? (4)在什么条件下,函数 y=f(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点? (5)如果是二次函数 y=f(x)的零点,且,那么 f(a)·f(b)<0 一定成立吗? 为了帮助大家更好体会该结论,我们把它设计成流程图。

说明:设置成流程图,既直观、清晰,又为学生将来学习算法奠定基础。算法的特殊表示 符号,学生不知道,师生共同完成即可。 例 3.求证:函数在区间(-2,-1)上存在零点. 说明: 学生完成过程中,教师巡视,展台展示优秀作品及步骤有问题者,达到纠正错误及 解题规范化。 (五) 、归纳总结 说明:这个环节,学生主动总结本节课学到的知识,将本节课所讲的知识点系统整理, 为后面的 函数零点的应用奠定基础。 (六) 、反馈练习 (1)函数 f(x)=2x2-5x+2 的零点是 ; (2)二次函数 y=2x2+px+15 的一个零点是-3,则另一个零点是 ; (3)若函数 f(x)=x2-2ax+a 没有零点,则实数 a 的取值范围 ; (4)已知函数 f(x)的图象是不间断的,有如下的 x,f(x)对应值表: 那么函数在区间[1,6]上的零点至少有 个; (5)在二次函数中,ac<0,则其零点的个数为 ; 说明:本环节用时 5 分钟,考完后小组互换,立即批改.发现问题立即纠正,再通过课后作业加以 巩固.对做的好的及时给予表扬。 (七) 、作业布置 1、完成苏教版必修 1 第 76 页练习 1、2。 2、 ①有 2 个零点;②3 个零点;③4 个零点. 四、 【板书设计】

屏幕 函数的零点 一、函数零点的定义:我们把使函数的值为 0 的实数称为函数的零点(零点不是点) . 二、方程的根与函数零点之间的等价关系 函数 y=f(x)有零点 方程 f(x)=0 有实数根(数) 函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点(形)

零点存在性判定

例1

例2

五、 【教学反思】 前苏联数学家斯托利亚说过:“积极的教学应是数学活动(思维活动)的教学,而不是数学 活动的结束—数学知识的教学。 ”反思“函数的零点”的课堂教学,本人觉得类似这样的数 学概念、原理的教学,教学设计应特别重视“过程性” ,教学过程应特别强调“参与性” ,要 让学生“参与”到教学过程中去.唯有学生的过程参与,才能较好地激发其主动性,确立其 主体地位.吸引学生“参与” ,关键招数之一是对教材进行“问题化”处理,用问题去引领学 生探究。学生“参与”到教学过程中来,就是要参与知识建构、参与思维训练、参与方法提 炼。 本课中,围绕教学目标知识生成的过程,设计了若干问题,以问题为中心,以学生为主 体,让他们亲身经历,体验函数的零点知识的建构过程,函数零点存在性结论的探求,体现 了本节课设计的基本理念:过程性、问题性和主体性。


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