当前位置:首页 >> 数学 >> 2016年新课标全国卷试题汇编:函数及零点问题 老师专用

2016年新课标全国卷试题汇编:函数及零点问题 老师专用


2016 年新课标全国卷试题汇编:函数及零点问题
1. (2016 全国高考新课标Ⅰ卷· 文数 8T)若 a ? b ? 0 , 0 ? c ? 1 ,则( A. loga c ? logb c 答案:B
2 |x| 2. (2016 全国高考新课标Ⅰ卷· 文数 9T 或者理数 7T) 函数 y=2x –e 在[–2,2]的图


/>a b

B. logc a ? logc b

C. a ? b
c

c

D. c ? c

像大致为(



y
1

y
1

?2

o
?1

2

x

?2

o
?1

2

x

(A)

(B )

y
1

y
1

?2

o
?1

2

x

?2

o
?1

2

x

(C) 答案:D 3. (2016 全国高考新课标Ⅱ卷·文数 10T)

(D)

下列函数中,其定义域和值域分别与函数 y ? 10lg x 的定义域和值域相同的是 A. y ? x B. y ? lg x C. y ? 2 x D. y ? 答案:D 4.(2016 全国高考新课标Ⅱ卷·理数 12T)已知函数

1 x

f ? x ?? x ? R ?

满足

f ? ?x? ? 2 ? f ? x?
m

,若

x ?1 ? xi ? yi ? ? y? ? x ,ym ? ,则 ? i ?1 x 与 y ? f ? x ? 图像的交点为 ? x1 ,y1 ? ,? x2 ,y2 ? , 函数 ?, m

( ) (A)0 (B)m (C)2m (D)4m

答案:B

x ?1 1 1? 对称, ? 1 ? 也关于 ? 0 , x x m m m m ∴对于每一组对称点 xi ? xi ' ? 0 yi ? yi '=2 ,∴ ? ? xi ? yi ? ? ? xi ? ? yi ? 0 ? 2 ? ? m ,故选 2 i ?1 i ?1 i ?1

1? 对称,而 y ? 解析:由 f ? x ? ? 2 ? f ? x ? 得 f ? x ? 关于 ? 0 ,

B.

0 ? c ? 1 ,则( 5.(2016 全国高考新课标Ⅱ卷·理数 8T)若 a ? b ? 1,
(A) a c ? b c 答案:C 6.(2016 全国高考新课标Ⅰ卷·理数 12T) (B) abc ? bac (C) a logb c ? b loga c



(D) log a c ? logb c

? ? 已知函数 f ( x ) ? sin(? x+ ? )(? ? 0,

?
2

), x ? ?

?
4

为 f ( x ) 的零点, x ?

?
4

为 y ? f ( x)

图像的对称轴,且 f ( x ) 在 ? (A)11 答案:B 试题分析:因为 x?? (B)9 (C)7

? ? 5? ? , ? 单调,则 ? 的最大值为( ? 18 36 ?
(D)5



?
4

为 f ( x) 的 零 点 , x ?

?
4

为 f ( x) 图 像 的 对 称 轴 , 所 以

?

? T ? 4k ? 1 4k ? 1 2 ? ? (? ) ? ? kT ,即 ? T? ? ,所以 ? ? 4k ? 1(k ? N *) ,又因为 4 4 4 2 4 4 ?
5? ? ? T 2? ? ? 5? ? ? ? ? ? f ( x) 在 ? , ? 单调,所以 ,即 ? ? 12 ,由此 ? 的最大值为 9. 36 18 12 2 2? ? 18 36 ?

故选 B.
3 3 3 7.(2016 全国高考新课标Ⅲ卷·文数 7T)已知 a ? 2 , b ? 3 , c ? 25 ,则 4 2 1

(A)b<a<c 答案:A

(B) a<b<c

(C) b<c<a

(D) c<a<b

8.(2016 全国高考新课标Ⅲ卷·理数 6T)已知 a ? 2 3 , b ? 4 5 , c ? 25 3 ,则 (A) b ? a ? c (B) a ? b ? c (C) b ? c ? a (D) c ? a ? b 答案:A 试题分析:因为 a ? 2 3 ? 4 3 ? 4 5 ? b , c ? 25 3 ? 5 3 ? 4 3 ? a ,所以 b ? a ? c ,故选 A . 9. (2016 全国高考新课标Ⅲ卷· 文数 16T) 已知 f(x)为偶函数, 当 x ? 0 时,f ( x) ? e
? x ?1
4 2 2 1 2 2

4

2

1

?x,

则曲线 y= f(x)在点(1,2)处的切线方程是____________ 答案: y ? 2 x 10. ( 2016 全 国 高 考 新 课 标 Ⅲ 卷 · 理 数 15T ) 已 知 f ? x ? 为 偶 函 数 , 当 x ? 0 时 ,

f ( x) ? ln(? x) ? 3x ,则曲线 y ? f ? x ? 在点 (1, ?3) 处的切线方程是_______________。
答案: y ? ?2 x ? 1

考点:1、函数的奇偶性与解析式;2、导数的几何意义. 11.(2016 全国高考新课标Ⅱ卷·理数 16T)已若直线 y ? kx ? b 是曲线 y ? ln x ? 2 的切线, 也是曲线 y ? ln ? x ? 1? 的切线, b ? . 答案: 1 ? ln2
y ? ln x ? 2 的切线为: y ?
1 ? x ? ln x1 ? 1 (设切点横坐标为 x1 ) x1
1 x2 x ? ln ? x2 ? 1? ? x2 ? 1 x2 ? 1

y ? ln ? x ? 1? 的切线为: y ?

1 ?1 ? x ? x ?1 ? 1 2 ∴? ?ln x ? 1 ? ln ? x ? 1? ? x2 1 2 ? x2 ? 1 ? 1 1 解得 x1 ? x2 ? ? 2 2

∴ b ? ln x1 ? 1 ? 1 ? ln 2 . 12.(2016 全国高考新课标Ⅰ卷· 文数 21T) (12 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? 2)e ? a( x ?1)
x 2

(Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)若 f ( x ) 有两个零点,求 a 的取值范围
x x 解析: (Ⅰ) f ' ? x ? ? ? x ? 1? e ? 2a ? x ? 1? ? ? x ? 1? e ? 2a .

?

?

(i)设 a ? 0 ,则当 x ? ? ??,1? 时, f ' ? x ? ? 0 ;当 x ? ?1, ?? ? 时, f ' ? x ? ? 0 .

所以在 ? ??,1? 单调递减,在 ?1, ?? ? 单调递增. (ii)设 a ? 0 ,由 f ' ? x ? ? 0 得 x=1 或 x=ln(-2a). ①若 a ? ?

e x ,则 f ' ? x ? ? ? x ? 1? ? e ? e ? ,所以 f ? x ? 在 ? ??, ??? 单调递增. 2 e ,则 ln(-2a)<1,故当 x ? ? ??,ln ? ?2a ?? ? ?1, ??? 时, f ' ? x ? ? 0 ; 2

②若 a ? ?

当 x ? ln ? ?2a ? ,1 时, f ' ? x ? ? 0 , 所以 f ? x ? 在 ??,ln ? ?2a ? , ?1, ??? 单调递增, 在 ln ? ?2a ? ,1 单调递减. ③若 a ? ?

?

?

?

?

?

?

e ,则 ln ? ?2a ? ? 1 ,故当 x ? ? ??,1? ? ? ln ? ?2a ? , ??? 时, f ' ? x ? ? 0 , 2

当 x ? 1,ln ? ?2a ? 时, f ' ? x ? ? 0 , 所以 f ? x ? 在 ? ??,1? , ln ? ?2a ? , ?? 单调递增, 在 1, ln ? ?2a ? 单调递减. (II)(i)设 a ? 0 ,则由(I)知, f ? x ? 在 ? ??,1? 单调递减,在 ?1, ?? ? 单调递增. 又 f ?1? ? ?e,f ? 2? ? a ,取 b 满足 b<0 且

?

?

?

?

?

?

b a ? ln , 2 2

则 f ?b? ?

a 3 ? 2 3 ? b ? 2? ? a ? b ? 1? ? a ? ? b ? b ? ? 0 ,所以 f ? x ? 有两个零点. 2 2 ? ?
x

(ii)设 a=0,则 f ? x ? ? ? x ? 2? e 所以 f ? x ? 有一个零点. (iii)设 a<0,若 a ? ?

e ,则由(I)知, f ? x ? 在 ?1, ?? ? 单调递增. 2 e ,则由(I)知, f ? x ? 在 2

又当 x ? 1 时, f ? x ? <0,故 f ? x ? 不存在两个零点;若 a ? ?

?1, ln ? ?2a ? ? 单调递减,在 ? ln ? ?2a ? , ?? ? 单调递增.又当 x ? 1 时 f ? x ? <0,故 f ? x ?
不存在两个零点. 综上,a 的取值范围为 ? 0, ?? ? . 13.(2016 全国高考新课标Ⅰ卷· 理数 21T)(本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? ( x ? 2)e x ? a( x ?1)2 有两个零点. (I)求 a 的取值范围; (II)设 x1 , x2 是 f ( x ) 的两个零点,证明: x1 ? x2 ? 2 . 解: (Ⅰ) f '( x) ? ( x ?1)ex ? 2a( x ?1) ? ( x ?1)(e x ? 2a) . (i)设 a ? 0 ,则 f ( x) ? ( x ? 2)e x , f ( x ) 只有一个零点. (ii)设 a ? 0 ,则当 x ? (??,1) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, f '( x) ? 0 .所以 f ( x ) 在 (??,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增. 又 f (1) ? ?e , f (2) ? a ,取 b 满足 b ? 0 且 b ? ln

a ,则 2

f (b) ?

a 3 (b ? 2) ? a(b ? 1) 2 ? a(b 2 ? b) ? 0 , 2 2

故 f ( x ) 存在两个零点. (iii)设 a ? 0 ,由 f '( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? ln(?2a) . 若a ? ?

e ,则 ln(?2a) ? 1 ,故当 x ? (1, ??) 时, f '( x) ? 0 ,因此 f ( x ) 在 (1, ??) 上单调 2

递增.又当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 不存在两个零点. 若a ? ?

e , 则 ln(?2a) ? 1 , 故当 x ? (1,ln(?2a)) 时,f '( x) ? 0 ; 当 x ? (ln(?2a), ??) 时, 2

f '( x) ? 0 . 因此 f ( x ) 在 (1,ln(?2a)) 单调递减, 在 (ln(?2a), ??) 单调递增. 又当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 不存在两个零点.
综上, a 的取值范围为 (0, ??) .

2 ? x2 ? (??,1) ,f ( x) 在 (??,1) (Ⅱ) 不妨设 x1 ? x2 , 由 (Ⅰ) 知 x1 ? (??,1), x2 ? (1, ??) ,
上单调递减,所以 x1 ? x2 ? 2 等价于 f ( x 1) ? f (2 ? x2 ) ,即 f (2 ? x2 ) ? 0 . 由于 f (2 ? x2 ) ? ? x2e
2? x2

? a( x2 ?1)2 ,而 f ( x2 ) ? ( x2 ? 2)ex2 ? a( x2 ?1)2 ? 0 ,所以

f (2 ? x2 ) ? ? x2e2? x2 ? ( x2 ? 2)ex2 .
设 g ( x) ? ? xe
2? x

? ( x ? 2)ex ,则 g '( x) ? ( x ?1)(e2? x ? ex ) .

所以当 x ? 1 时, g '( x) ? 0 ,而 g (1) ? 0 ,故当 x ? 1 时, g ( x) ? 0 . 从而 g ( x2 ) ? f (2 ? x2 ) ? 0 ,故 x1 ? x2 ? 2 .

14 . ( 2016 全 国 高 考 新 课 标 Ⅱ 卷 · 文 数 20T ) ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数
f ( x) ? ( x ? 1)ln x ? a( x ? 1) .

(Ⅰ)当 a ? 4 时,求曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)若当 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)当

a ? 4 时,
x ?1

f ( x) ? (x ? 1)ln x ? 4(x ? 1) , f (1) ? 0 ,切点坐标 (1,0) .对 f ( x)

求导, 得 f ?( x) ? x ? ln x ? 4 , 从而切线斜率 f ?(1) ? ?2 , 所以切线方程为 y ? 0 ? ?2(x ?1) , 即 2x ? y ? 2 ? 0 .

1 1 1 x ?1 (Ⅱ)对 f ( x) 求导,得 f ?( x) ? 1 ? x ? ln x ? a ,再求导,得 f ??( x) ? ? x2 ? x ? x2 .
? 0 当 x ?(1, ??) 时 , f ??(x ) , 函 数 f ?( x) 在 区 间 内 (1, ??) 单 调 递 增 , 所 以
f ?(x) ? f ?(1) ? 2 ? a .

(ⅰ)若 a ? 2 ,则当 x ?(1, ??) 时, f ?(x) ? f ?(1) ? 0 ,函数 f ( x) 在区间内 (1,??) 单调 递增,所以 f (x) ? f (1) ? 0 . (ⅱ)若 a ? 2 ,则结合函数 f ?( x) 在区间内 (1, ??) 单调递增,可知方程 f ?( x) ? 0 存在 唯一零点,设为
1 ? ln x x0 ,则 a ? 1 ? x
0 0



当 x ?(1, x0 ) 时, f ?(x) ? f ?(x0) ? 0 , 函数 f ( x) 在区间内 (1, x0 ) 单调递减, 所以 f (x) ? f (1) ? 0 ,
f ( x) ? 0 不成立.

综上, a 的取值范围是 (??,2] . 15.(2016 全国高考新课标Ⅱ卷· 理数 21T) (本小题满分 12 分)

(I)讨论函数 f (x) ?

x?2 x e 的单调性,并证明当 x ? 0 时, ( x ? 2)ex ? x ? 2 ? 0; x?2

(II)证明:当 a ? [0,1) 时,函数 g ? x? =
h(a) ,求函数 h(a) 的值域.

ex ? ax ? a ( x ? 0) 有最小值.设 g ? x ? 的最小值为 x2

1.

【解析】⑴证明: f ? x ? ?

x?2 x e x?2

? x?2 ? 4 x2ex ? f ? ? x ? ? ex ? ? ? ? x ? 2 ? x ? 2 ?2 ? ? x ? 2 ?2 ? ?

? 2? ? ? ?2 , ? ? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ∵当 x ? ? ?? , ? 2? 和? ?2 , ? ? ? 上单调递增 ∴ f ? x ? 在 ? ?? ,
∴ x ? 0 时,

x?2 x e ? f ? 0? = ? 1 x?2

∴ ? x ? 2? e x ? x ? 2 ? 0 ⑵ g?? x? ?
?

?e

x

? a ? x 2 ? 2 x ? e x ? ax ? a ? x4

x ? xe x ? 2e x ? ax ? 2a ? x4

?

? x ? 2? ? ?

x?2 x ? ?e ? a? ?x?2 ? 3 x

a ? ?0 , 1?
由(1)知,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 使得

x?2 x ? ?? ,只有一解. ? e 的值域为 ? ?1, x?2

t ?2 t ? e ? ? a , t ? ? 0 ,2? t?2

当 x ? (0, t ) 时 g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调减;当 x ? (t , ??) 时 g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调增
h?a? ? et ? a ? t ? 1? t2 et ? ? t ? 1? t?2 t ?e et t?2 ? t2 t?2

?

记 k ?t ? ?

et ? t ? 1? et ? 0 ,∴ k ? t ? 单调递增 ,在 t ? ? 0 , 2? 时, k ? ? t ? ? 2 t?2 ?t ? 2?

? 1 e2 ? ∴ h ? a ? ? k ?t ? ? ? , ? . ?2 4 ?

16.(2016 全国高考新课标Ⅲ卷· 文数 21T) (本小题满分 12 分)

设函数 f ( x) ? ln x ? x ? 1. (I)讨论 f ( x ) 的单调性; (II)证明当 x ? (1, ??) 时, 1 ?

x ?1 ? x; ln x

(III)设 c ? 1 ,证明当 x ? (0,1) 时,

1 ? (c ?1) x ? c x
1 ? 1 ,令 f ' ( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . x

' 解: (Ⅰ)由题设, f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ( x) ?

当 0 ? x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增;当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递 减. ………4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x ) 在 x ? 1 处取得最大值,最大值为 f (1) ? 0 . 所以当 x ? 1 时, ln x ? x ? 1 . 故当 x ? (1, ??) 时, ln x ? x ? 1 , ln 分 (Ⅲ) 由题设 c ? 1 , 设 g( x) ? 1? ( c1 ? ) x? c
x

1 1 x ?1 ? ? 1 ,即 1 ? ?x. x x ln x
, 则 g' ( x) ? c ? 1? c n l xc

………………7

, 令 g' (x ) ? 0 ,

c ?1 ln c . 解得 x0 ? ln c ln
当 x ? x0 时, g ( x ) ? 0 , g ( x) 单调递增;当 x ? x0 时, g ( x ) ? 0 , g ( x) 单调递
' '

减. ……………9 分 由(Ⅱ)知, 1 ?

c ?1 ? c ,故 0 ? x0 ? 1 ,又 g (0) ? g (1) ? 0,故当 0 ? x ? 1 时, ln c

g ( x) ? 0 .
所以当 x ? (0,1) 时, 1 ? (c ?1) x ? c . ………………12 分
x

17.(2016 全国高考新课标Ⅲ卷· 理数 21T) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? a cos 2 x ? (a ? 1)(cos x ? 1) ,其中 a ? 0 ,记 | f ( x) | 的最大值为 A . (Ⅰ)求 f ?( x ) ; (Ⅱ)求 A ; (Ⅲ)证明 | f ?( x) |? 2 A .

1 ? ? 2 ? 3a, 0 ? a ? 5 ? 2 ? a ? 6a ? 1 1 ' 【答案】 (Ⅰ) f ( x) ? ?2a sin 2x ? (a ?1)sin x ; (Ⅱ) A ? ? (Ⅲ) , ? a ?1 ; 8a 5 ? 3a ? 2, a ? 1 ? ? ?
见解析. 【解析】 试题分析: (Ⅰ)直接可求 f ?( x ) ; (Ⅱ)分 a ? 1, 0 ? a ? 1 两种情况,结合三角函数的有界 性求出 A , 但须注意当 0 ? a ? 1 时还须进一步分为 0 ? a ? 首先由(Ⅰ)得到

1 1 , ? a ? 1 两种情况求解; (Ⅲ) 5 5

1 1 | f ?( x) |? 2a ? | a ? 1| ,然后分 a ? 1 , 0 ? a ? , ? a ? 1 三种情况证明 5 5
试题解析: (Ⅰ) f ' ( x) ? ?2a sin 2x ? (a ?1)sin x . (Ⅱ)当 a ? 1 时,

| f ' ( x) |?| a sin 2x ? (a ?1)(cos x ? 1) | ? a ? 2(a ? 1) ? 3a ? 2 ? f (0)
因此, A ? 3a ? 2 . ………4 分

当 0 ? a ? 1 时,将 f ( x ) 变形为 f ( x) ? 2a cos2 x ? (a ?1)cos x ?1 .

g (?1) ? a ,g (1) ? 3a ? 2 , 令 g (t ) ? 2at 2 ? (a ?1)t ?1 , 则 A 是 | g (t ) | 在 [?1,1] 上的最大值,
且当 t ? 令 ?1 ?

1? a 1? a (a ? 1)2 a 2 ? 6a ? 1 )?? ?1 ? ? 时, g (t ) 取得极小值,极小值为 g ( . 4a 4a 8a 8a

1? a 1 1 ? 1 ,解得 a ? ? (舍去) ,a ? . 4a 3 5

考点:1、三角恒等变换;2、导数的计算;3、三角函数的有界性.


更多相关文档:

2016年新课标全国卷试题汇编:函数及零点问题 老师专用

2016年新课标全国卷试题汇编:函数及零点问题 老师专用_数学_高中教育_教育专区。2016 年新课标全国卷试题汇编:函数及零点问题 1. (2016 全国高考新课标Ⅰ卷· 文...

2016年新课标全国卷试题汇编:数列 老师专用

2016年新课标全国卷试题汇编:数列 老师专用_数学_高中教育_教育专区。2016 年新课标全国卷试题汇编:数列 1.(2016 全国高考新课标Ⅰ卷· 理数 3T) 已知等差数列...

2016年新课标全国卷试题汇编:圆锥曲线 老师专用

2016年新课标全国卷试题汇编:圆锥曲线 老师专用_数学_高中教育_教育专区。2016 ...6 ? 0 ,所以函数 f ( x) 的零点 k ? ( 3, 2) ,即 k 的取值范围...

2016年新课标全国卷试题汇编:立体几何 老师专用

2016年新课标全国卷试题汇编:立体几何 老师专用_高考_高中教育_教育专区。2016 年新课标全国卷试题汇编:立体几何 1.(2016 全国高考新课标Ⅱ卷· 理数 14T) ? ...

2016年新课标全国卷试题汇编:三角函数图像 老师专用

2016年新课标全国卷试题汇编:三角函数图像 老师专用_数学_高中教育_教育专区。...4 为 f ( x) 的零点, x ? ? 4 为 f ( x) 图像的对称轴,所以 ? ...

2016年新课标全国卷试题汇编:极坐标 老师专用

2016年新课标全国卷试题汇编:极坐标 老师专用_高考_高中教育_教育专区。2016 年...2016 年新课标全国卷试题汇编:极坐标 1.(2016 全国高考新课标Ⅱ卷· 理数 ...

2016年新课标全国卷试题汇编:数列 学生专用

2016年新课标全国卷试题汇编:数列 学生专用_数学_高中教育_教育专区。2016 年新课标全国卷试题汇编:数列 1.(2016 全国高考新课标Ⅰ卷· 理数 3T) 已知等差数列...

2016年新课标全国I卷理数试题与答案(精编)

2016年新课标全国I卷理数试题与答案(精编)_数学_...17π (B)18π (C)20π (D)28π 7.函数 y ...(II)设 x1 , x2 是的两个零点,证明: x1 ? ...

2016年新课标全国1,2,3卷试题综合汇编

y ? 4 ? 0 ;(Ⅱ) 3 3 1 ( , ). 2 2 考点:1、椭圆的参数方程;2、直线的极坐标方程. 2016 年新课标全国卷试题汇编:函数及零点问题 1. (2016 全国...
更多相关标签:
腾讯课堂老师专用版qq | 我的专用女老师漫画 | 老师专用红笔 | 我的专用女老师 | 老师专用笔芯 | 老师专用版qq | 腾讯课堂老师专用qq | 老师专用扩音器 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com