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广东省珠海市2013届高三9月摸底数学理试题(2013珠海一模)


珠海市 2012 年 9 月高三摸底考试 理科数学试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.设全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 2}, B ? {x | 0 ? x ? 5}, 则集合 (CU A) ? B = A. {x | 0 ? x ? 2} C. {x | 0 ? x ? 2} B. {x | 0 ? x ? 2} D. {x | 0 ? x ? 2}

? x ? y ? 1 ? 0, ? 那么2x-y 的最大值为 2. 已知实数 x, y 满足 ? y ? 1 ? 0, ? x ? y ? 1 ? 0, ?
A.—3 3.函数 f ( x) ? a ? a
x

B.—2
?x

C.1

D.2

? 1 , g ( x) ? a x ? a ? x ,其中 a ? 0,a ? 1 ,则

A . f ( x)、g ( x) 均为偶函数
C . f ( x) 为偶函数 , g ( x) 为奇函数

B . f ( x)、g ( x) 均为奇函数

D . f ( x) 为奇函数 , g ( x) 为偶函数

4. 如图是某几何体的三视图,则此几何体的体积是 A.36 C.72 B.108 D.180

5 . 已 知 ? , ? 为 不 重 合 的 两个 平 面 , 直线 m ? ?, 那 么 “ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6. A、 是 x 轴上的两点, P 的横坐标为 2 且 | PA |?| PB | 若直线 PA 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 , 设 B 点 则直线 PB 的方程是 A. 2 x ? y ? 7 ? 0 B. x ? y ? 5 ? 0 C. 2 y ? x ? 4 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0

7.对100只小白鼠进行某种激素试验,其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况

统计得到如下列联表 雄性 敏感 不敏感 总计 50 10 60 雌性 25 15 40 总计 75 25 100

n(ad ? bc) 2 由K ? ? 5.56 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

ks5u

附表:

P( K 2 ? k )

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

则下列说法正确的是:

ks5u

A.在犯错误的概率不超过 0.1 0 0 的前提下认为“对激素敏感与性别有关” ; B..在犯错误的概率不超过 0.1 0 0 的前提下认为“对激素敏感与性别无关” ; C.有 95 0 0 以上的把握认为“对激素敏感与性别有关” ; D.有 95 0 0 以上的把握认为“对激素敏感与性别无关” ; 8.设 U 为全集,对集合 X 、Y ,定义运算“ ? ” ,满足 X ? Y ? (CU X ) ? Y ,则对于任 意集合 X 、Y 、Z , X ? (Y ? Z ) ? A . ( X ? Y ) ? (CU Z ) D. (CU X ) ? (CU Y ) ? Z B . ( X ? Y ) ? (CU Z ) C . [(CU X ) ? (CU Y )] ? Z

ks5u 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 9.在△ABC 中, a ? 5, b ? 6, c ? 7 ,则 cos C ? .

10. 已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 的离心率为 2 ,它的一个焦点与抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点相同, 2 a b

那么双曲线的焦点坐标为______;渐近线方程为_______.

11.不等式 x ? x ? 2 ? 3 的解集是 12.右图给出的是计算

.

1 1 1 1 的值的一个程序框图, ? ? ? ??? ? 2 4 6 20
.

其中判断框内应填入的条件是

? 1 x ?( ) ? 2 x ? 0 13. f ( x) ? ? 2 , 则 f ( x) ? x 的 零 点 个 数 是 ? 2x ? 2 x?0 ?
________________. 14. (坐标系与参数方程选做题) ks5u

在极坐标系中,圆 ? ? 2cos ? 的圆心到直线 ? cos ? ? 2 的距离是_____________. 15. (几何证明选讲选做题) 如图,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BD 的 中 点 , AE 交 BC 于 F , 则

A D C

BF ? FC

.

E B F

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分)已知函数 f ( x) ?

1 ? sin 2 x . cos x
4 ,求 f (? ) 的值. 3

(1)求 f ( x) 的定义域;(2)设 ? 是第二象限的角,且 tan ? = ?

17. (本小题满分 12 分)A、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 x1 和 x2 。根据市场分 析, x1 和 x2 的分布列分别为: ks5u

x1
P

5% 0.8

10% 0.2

x2
P

2% 0.2

8% 0.5

12% 0.3

(1) A、 两个项目上各投资 100 万元,y1 和 y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润, 在 B 求方差 Dy1 、 Dy 2 ; (2)将 x(0 ? x ? 100) 万元投资 A 项目, 100 ? x 万元投资 B 项目, f ( x) 表示投资 A 项目 所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和. 求 f ( x) 的最小值, 并指出 x 为何值时,

f ( x) 取到最小值.(注: D(ax ? b) ? a 2 Dx )
18.(本小题满分 14 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD 中, ?ADC ? 90? , CD / / AB , AB ? 2 AD, AD ? CD , M 为

线段 AB 的中点.将 ?ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如 图 2 所示. (1) 求证: BC ? 平面 ACD ;(2) 求二面角 A ? CD ? M 的余弦值. D C D

C A M 图1

.

B
第 18 题图

A

19.(本小题满分 14 分)对于函数 f ( x) ? a ?

2 (a ? R, b ? 0且b ? 1) b ?1
x

M 图2

B

(1)判断函数的单调性并证明; (2)是否存在实数 a 使函数 f (x)为奇函数?并说明理由. 20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F2 (3, 0) ,离心率为 e . a2 b2
3 ,求椭圆的方程; 2

(1)若 e ?

(2)设直线 y ? kx 与椭圆相交于 A , B 两点, M , N 分别为线段 AF2 , BF2 的中点. 若

坐标原点 O 在以 MN 为直径的圆上,且 21.(本小题满分 14 分)

2 3 ?e? ,求 k 的取值范围. 2 2

2 中 已知正项数列 ?a n ? , a1 ? 6, 点An (a n ? 1, a n ?1 ) 在抛物线 y ? x 上;数列 ?bn ? 中,

点 Bn (n, bn ) 在过点(0,1) ,以 k ? 2 为斜率的直线上. (1)求数列 ?a n ?, ?bn ?的通项公式; (2)若 f (n) ? ?

?a n , (n为奇数) ,问是否存在k ? N , 使f (k ? 27 ) ? 4 f (k ) 成立,若存 ?bn , (n为偶数)

在,求出 k 值;若不存在,请说明理由; (3)对任意正整数 n,不等式

a n ?1 an ? ? 0 恒成立, 1 1 1 n ? 2 ? an (1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) b1 b2 bn

求正数 a 的取值范围.

高三理科数学试题第 4 页(共 14 页)

珠海市 2012 年 9 月高三摸底考试 理科数学试题与参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.设全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 2}, B ? {x | 0 ? x ? 5}, 则集合 (CU A) ? B =( A. {x | 0 ? x ? 2} C. {x | 0 ? x ? 2} B. {x | 0 ? x ? 2} D. {x | 0 ? x ? 2}

)B

? x ? y ? 1 ? 0, ? 那么2x-y 的最大值为 2. 已知实数 x, y 满足 ? y ? 1 ? 0, ? x ? y ? 1 ? 0, ?
A.—3 3.函数 f ( x) ? a ? a
x



)C

B.—2
?x

C.1

D.2

? 1 , g ( x) ? a x ? a ? x ,其中 a ? 0,a ? 1 ,则(

)C

A . f ( x)、g ( x) 均为偶函数
C . f ( x) 为偶函数 , g ( x) 为奇函数

B . f ( x)、g ( x) 均为奇函数

D . f ( x) 为奇函数 , g ( x) 为偶函数

ks5u 4. 如图是某几何体的三视图, 则此几何体的体积是 A.36 C.72 B.108 D.180 B

5 . 已 知 ? , ? 为 不 重 合 的 两个 平 面 , 直线 m ? ?, 那 么 “ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 )A

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6. A、 是 x 轴上的两点, P 的横坐标为 2 且 | PA |?| PB | 若直线 PA 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 , 设 B 点 则直线 PB 的方程是( A. 2 x ? y ? 7 ? 0 )B C. 2 y ? x ? 4 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0

B. x ? y ? 5 ? 0

7.对100只小白鼠进行某种激素试验,其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况
高三理科数学试题第 5 页(共 14 页)

统计得到如下列联表 雄性 敏感 不敏感 总计 50 10 60 雌性 25 15 40 总计 75 25 100

n(ad ? bc) 2 由K ? ? 5.56 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

附表:

P( K 2 ? k )

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

则下列说法正确的是:

C

A.在犯错误的概率不超过 0.1 0 0 的前提下认为“对激素敏感与性别有关” ; B..在犯错误的概率不超过 0.1 0 0 的前提下认为“对激素敏感与性别无关” ; C.有 95 0 0 以上的把握认为“对激素敏感与性别有关” ; D.有 95 0 0 以上的把握认为“对激素敏感与性别无关” ; 8.设 U 为全集,对集合 X 、Y ,定义运算“ ? ” ,满足 X ? Y ? (CU X ) ? Y ,则对于任 意集合 X 、Y 、Z , X ? (Y ? Z ) ? A . ( X ? Y ) ? (CU Z ) D. (CU X ) ? (CU Y ) ? Z D C . [(CU X ) ? (CU Y )] ? Z

B . ( X ? Y ) ? (CU Z )

ks5u 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 9.在△ABC 中, a ? 5, b ? 6, c ? 7 ,则 cos C ? . 1/5

10. 已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 的离心率为 2 ,它的一个焦点与抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点相同, 2 a b
高三理科数学试题第 6 页(共 14 页)

那么双曲线的焦点坐标为______; (?2,0) 渐近线方程为_______., 3x ? y ? 0 (两问全对 5 分,只答对一问 3 分) 11. 不等式 x ? x ? 2 ? 3 的解集是 . (??,? ) ? ( ,??)

5 2

1 2

1 1 1 1 的值的一个程序框图, ? ? ? ??? ? 2 4 6 20 其中判断框内应填入的条件是 . i ? 10 (答案不唯一, 即 i>a,10<a ? 11,例如 i>10.1,i=11 等)
12.右图给出的是计算

ks5u

? 1 x ?( ) ? 2 x ? 0 13. f ( x) ? ? 2 ,则 f ( x) ? x 的零点个数是________________.2 ? 2x ? 2 x?0 ?
14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,圆 ? ? 2cos ? 的圆心到直线 ? cos ? ? 2 的距离是_____________;1

15. (几何证明选讲选做题)

A
如图,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BD 的 中 点 , AE 交 BC 于 F , 则

BF ? FC

1 . 2

E B F

D C

高三理科数学试题第 7 页(共 14 页)



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ?

1 ? sin 2 x 。 cos x
4 ,求 f (? ) 的值. 3

(1)求 f ( x) 的定义域;(2)设 ? 是第二象限的角,且 tan ? = ? 16.解:(1)由 cos x ? 0 得 x ? k? ?

?
2

(k∈Z), ?3 分

故 f ( x) 的定义域为{x| x ? k? ? (2)由 tan? = ?

?
2

,k∈Z}?5 分

sin ? 4 4 ,得 ? ? ,而 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 cos? 3 3 4 3 且α 是第二象限的角, 解得 sin ? = , cos? = ? ,?9 分 5 5 4 3 1 ? 2 ? ? (? ) 1? sin 2? 1 ? 2sin ? cos ? 5 5 = ? 49 .?12 分 故 f (? ) = = = 3 15 cos? cos ? ? 5
17. (本小题满分 12 分) A、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 x1 和 x2 。根据市场分析, x1 和 x2 的分布列分 别为:

x1
P

5% 0.8

10% 0.2

x2
P

2% 0.2

8% 0.5

12% 0.3

(1) A、 两个项目上各投资 100 万元,y1 和 y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润, 在 B 求方差 Dy1 、 Dy 2 ; (2)将 x(0 ? x ? 100) 万元投资 A 项目, 100 ? x 万元投资 B 项目, f ( x) 表示投资 A 项目 所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和. 求 f ( x) 的最小值, 并指出 x 为何值时,

f ( x) 取到最小值.(注: D(ax ? b) ? a 2 Dx )

17. 解: (Ⅰ)由题设可知 Y1 和 Y2 的分布列分别为

Y1

5

10

Y2

2

8

12



P

0.8

0.2

P

0.2

0.5

0.3

EY1 ? 5 ? 0.8 ? 10 ? 0.2 ? 6 ………………………………………….1 分
DY1 ? (5 ? 6)2 ? 0.8 ? (10 ? 6)2 ? 0.2 ? 4 …………………………...3 分

EY2 ? 2 ? 0.2 ? 8 ? 0.5 ? 12 ? 0.3 ? 8 ………………………………..4 分
DY2 ? (2 ? 8)2 ? 0.2 ? (8 ? 8) 2 ? 0.5 ? (12 ? 8) 2 ? 0.3 ? 12 ………..6 分

x 100 ? x Y1 ) ? D( Y2 ) ………………………….7 分 100 100 x 2 100 ? x 2 ?( ) DY1 ? ( ) DY2 ……………………………………….8 分 100 100 4 ? [ x 2 ? 3(100 ? x) 2 ] 2 100 4 ? (4 x 2 ? 600 x ? 3 ?1002 ) ……………………………………..10 分 1002 600 当x? ? 75 时, f ( x) ? 3 为最小值。…………………………12 分 2? 4
(Ⅱ) f ( x) ? D( 18.(本小题满分 14 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD 中, ?ADC ? 90? , CD / / AB , AB ? 2 AD, AD ? CD , M 为 线段 AB 的中点.将 ?ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如 图 2 所示. (Ⅰ) 求证: BC ? 平面 ACD ; D (Ⅱ) 求二面角 A ? CD ? M 的余弦值. D C C

A

M 图1

.

B
第 18 题图

A

M 图2

B

18. (本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)在图 1 中,设 AD ? CD ? a ,可得 AC ? BC ? 2a ,从而 AC ? BC ? AB , 故 AC ? BC 取 AC 中点 O 连结 DO ,则 DO ? AC ,又面 ADC ? 面 ABC , 面 ADC ? 面 ABC ? AC , DO ? 面 ACD ,从而 OD ? 平面 ABC , ……4 分 ∴ OD ? BC 又 AC ? BC , AC ? OD ? O , ∴ BC ? 平面 ACD ……6 分
2 2 2

另解:在图 1 中, 设 AD ? CD ? a ,可得 AC ? BC ? 2a ,从而 AC ? BC ? AB ,故
2 2 2

∵面 ADC ? 面 ABC ,面 ADC ? 面 ABC ? AC , BC ? 面 ABC ,从而 BC ? 平面 ACD (Ⅱ)法一.连接 MO ,过 O 作 OE ? CD 于 E ,连接 ME

AC ? BC



∵ M 、 O 分别是 AB 、 AC 中点 ∴ MO ? 平面 ACD ……………………………………….7 分 ∴ DC ? MO ……………………… ks5u……….8 分 ∴ DC ? 平面 MOE ……………………………………….9 分 ∴ DC ? ME ∴ ?OEM 是二面角 A ? CD ? M 的平面角……………………………………….11 分

3 1 1 1 a OE ? a ? a 2 得 OE ? a , ME ? 2 2 4 2 OE 3 ? ∴ Rt ?MOE 中 cos ?OEM ? ……………………………………….13 分 ME 3 3 ∴二面角 A ? CD ? M 的余弦值为 .……14分 3 ( Ⅱ ) 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O ? xyz 如 图 所 示 , 则
由 S?DOC ?

2 2 a, 0) , C (? a, 0, 0) , D(0, 0, 2 2 ???? ? ??? ? 2 2 2 CM ? ( a, a, 0) , CD ? ( a, 0, 2 2 2 ?? 设 n1 ? ( x, y, z ) 为面 CDM 的法向量, M (0,

2 a) 2 2 a) 2
z D

8分

? 2 2 ?? ???? ? ?n1 ? CM ? 0 ? 2 ax ? 2 ay ? 0 ? y ? ?x ? ? 则 ? ?? ??? 即? ,解得 ? ? ?z ? ?x ?n1 ? CD ? 0 ? 2 ax ? 2 az ? 0 ? ? 2 ? 2 ?? 令 x ? ?1 ,可得 n1 ? (?1,1,1) ?? ? 又 n2 ? (0,1, 0) 为面 ACD 的一个发向量 ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 1 3 ? ? ∴ cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? 3 | n1 || n2 | 3
∴二面角 A ? CD ? M 的余弦值为 ……14分

C O A x M B y

3 . 3

19.(本小题满分 14 分) 对于函数 f ( x) ? a ?

2 (a ? R, b ? 0且b ? 1) b ?1
x

(1)判断函数的单调性并证明; (2)是否存在实数 a 使函数 f (x)为奇函数?并说明理由。 19.解:(1)函数 f (x)的定义域是 R 证明:设 x1 < x2 ;

??2 分

2(b x1 ? b x2 ) 2 2 f (x1) – f (x2) = a? x ?( a? x )= b 1 ?1 b 2 ? 1 (b x1 ? 1)(b x2 ? 1)



当b ?1 时

?x1<x2 ? b x1 ? b x2

得b 1 ?b
x

x2

<0

得 f (x1) – f (x2) < 0 所以 f (x1) < f (x2) 故此时函数 f (x)在 R 上是单调增函数; 当 0 ? b ? 1时 ?x1<x2 ? b 1 ? b
x

??6 分

x2

得b 1 ?b
x

x2

?0
??10 分

得 f (x1) – f (x2) ? 0 所以 f (x1) ? f (x2) 故此时函数 f (x)在 R 上是单调减函数 注:用求导法也可证明。 (2) f (x)的定义域是 R, 由 f (0) ? 0 ,求得 a ? 1 .

?11 分

当 a ? 1 时, f (? x) ? 1 ?

2 b? x ? 1 1 ? b x 2 bx ?1 , f ( x) ? 1 ? x , ? ?x ? ? x b? x ? 1 b ? 1 1 ? b x b ?1 b ?1
?14 分

满足条件 f (? x) ? ? f ( x) ,故 a ? 1 时函数 f (x)为奇函数 20.(本小题满分 14 分)

x2 y2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F2 (3, 0) ,离心率为 e . a b
(1)若 e ?

3 ,求椭圆的方程; 2

(2)设直线 y ? kx 与椭圆相交于 A , B 两点, M , N 分别为线段 AF2 , BF2 的中点. 若

坐标原点 O 在以 MN 为直径的圆上,且 20. (本小题满分 13 分)

2 3 ?e? ,求 k 的取值范围. 2 2

?c ? 3 ? 解: (1)由题意得 ? c 3 ,得 a ? 2 3 . ? ? 2 ?a
结合 a ? b ? c ,解得 a ? 12 , b ? 3 .
2 2 2 2 2

??????2 分

??????4 分

所以,椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1. 12 3

??????5 分

? x2 y2 ? 1, ? ? 2 2 2 2 2 2 (2)由 ? a 2 b 2 得 (b ? a k ) x ? a b ? 0 . ? y ? kx, ?



设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 所以 x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ?

? a 2b 2 , b2 ? a 2 k 2

?

ks5u??7 分

依题意, OM ? ON , 易知,四边形 OMF2 N 为平行四边形, 所以 AF2 ? BF2 , 因为 F2 A ? ( x1 ? 3, y1 ) , F2 B ? ( x2 ? 3, y2 ) , 所以 F2 A? F2 B ? ( x ? 3)( x2 ? 3) ? y y2 ? (1? k ) x x ? 9 ? 0 . 1 1 1 2
2

??????8 分

???? ?

???? ?

???? ???? ? ?

??????9 分

[即

?a 2 (a 2 ? 9)(1 ? k 2 ) ? 9 ? 0, a 2 k 2 ? (a 2 ? 9)
将其整理为 k ?
2

??????10 分

a 4 ? 18a 2 ? 812 81 . ? ?1 ? 4 4 2 ?a ? 18a a ? 18a 2
??????12 分

因为

2 3 2 ?e? ,所以 2 3 ? a ? 3 2 , 12 ? a ? 18 . 2 2 2 2 1 ]? ( , ??] . ,即 k ? (??, ? 4 4 8

所以 k ?
2

??????14 分

21.(本小题满分 14 分)
2 中 已知正项数列 ?a n ? , a1 ? 6, 点An (a n ? 1, a n ?1 ) 在抛物线 y ? x 上;数列 ?bn ? 中,

点 Bn (n, bn ) 在过点(0,1) ,以 k ? 2 为斜率的直线上。 (1)求数列 ?a n ?, ?bn ?的通项公式; (2)若 f (n) ? ?

?a n , (n为奇数) ,问是否存在k ? N , 使f (k ? 27 ) ? 4 f (k ) 成立,若存 ?bn , (n为偶数)

在,求出 k 值;若不存在,请说明理由; (3)对任意正整数 n,不等式

a n ?1 an ? ? 0 恒成立, 1 1 1 n ? 2 ? an (1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) b1 b2 bn

求正数 a 的取值范围。 21.解: (Ⅰ)将点 An (a n ? 1, a n ?1 )代入y ? x中得a n ?1 ? a n ? 1
2



? an?1 ? an ? d ? 1,? an ? a1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 5 ????????2 分
∵直线 l : y ? 2 x ? 1

? bn ? 2n ? 1 ????????????????4 分
(Ⅱ) f ( n) ? ?

?n ? 5, (n为奇数) ?2n ? 1, (n为偶数)

当 k 为偶数时,k+27 为奇数,

? f (k ? 27 ) ? 4 f (k ), ? k ? 27 ? 5 ? 4(2k ? 1),

?k ? 4 ????6 分
当 k 为奇数时,k+27 为偶数,

? 2(k ? 27 ) ? 1 ? 4(k ? 5),? k ?

35 (舍去) 2

综上,存在唯一的 k=4 符合条件??????????????8 分 (Ⅲ)由

a n ?1 an ? ? 0, 1 1 1 n ? 2 ? an (1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) b1 b2 bn
1 2n ? 3 (1 ? 1 1 1 )(1 ? ) ? (1 ? ) ??????????9 分 b1 b2 bn

即a ?

记 g ( n) ?

1 1 1 1 (1 ? )(1 ? )? (1 ? ) b1 b2 bn 2n ? 3

? g (n ? 1) ?

1 1 1 1 1 (1 ? )(1 ? )? (1 ? )(1 ? ) b1 b2 bn bn ?1 2n ? 5

? ? ?

g (n ? 1) 2n ? 3 1 ? (1 ? ) g ( n) bn ?1 2n ? 5 2n ? 3 2n ? 4 2n ? 4 ? ? 2n ? 5 2n ? 3 2n ? 5 ? 2n ? 3 4n 2 ? 16n ? 16 4n 2 ? 16n ? 15 ?1

? g (n ? 1) ? g (n),即g(n) 递增????????13 分
? g (n) min ? g (1) ? 1 4 4 5 ? 5 3 15



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4 5 ?????????? ks5u????14 分 15


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