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圆锥曲线.01椭圆(A级)文科.学生版


椭圆

高考要求
内容 椭圆的定义及标准方程 椭圆的定义与性质 椭圆的简单几何性质 要求层次 重难点 由定义和性质求椭圆的方程; 由椭圆的标准方程探求几何

C C

性质.

知识框架
椭圆的定义

椭圆

椭圆的几何性质

/>焦点三角形

知识内容
1.椭圆的定义:平面内与两个定点 F1 , 2 的距离之和等于常数(大于 | F1 F2 | )的点的轨迹(或集 F 合)叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 2.椭圆的标准方程: ① ②
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,焦点是 F1 (?c , , F2 (c , ,且 c2 ? a2 ? b2 . 0) 0) a 2 b2 y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,焦点是 F1 (0 , c) , F2 (0 , ) ,且 c2 ? a2 ? b2 . ? c a 2 b2
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3.椭圆的几何性质(用标准方程

x2 y 2 : ? ? 1(a ? b ? 0) 研究) a 2 b2

(1)范围: ?a ≤ x ≤ a , ?b ≤ y ≤ b ; (2)对称性:以 x 轴、 y 轴为对称轴,以坐标原点为对称中心,椭圆的对称中心又叫做椭圆的中 心; (3)椭圆的顶点:椭圆与它的对称轴的四个交点,如图中的 A1 , 2 , 1 , 2 ; A B B (4) 长轴与短轴: 焦点所在的对称轴上, 两个顶点间的线段称为椭圆的长轴, 如图中线段的 A1 A2 ; 另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴,如图中的线段 B1B2 . (5)椭圆的离心率: e ?
c ,焦距与长轴长之比, 0 ? e ? 1 , e 越趋近于 1 ,椭圆越扁; a

反之, e 越趋近于 0 ,椭圆越趋近于圆.
y B2 x=-a y=b M F1 a c O b B1 y=-b F2 x=a

A1

A2

x

4.直线 l : Ax ? By ? C ? 0 与圆锥曲线 C : f ( x , ) ? 0 的位置关系: y 直线与圆锥曲线的位置关系可分为:相交、相切、相离.对于抛物线来说,平行于对称轴的 直线与抛物线相交于一点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线只有 一个交点,但并不相切.这三种位置关系的判定条件可归纳为: 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆锥曲线 C : f ( x , ) ? 0 ,由 ? y 消去 y (或消去 x )得: ax2 ? bx ? c ? 0 . 若 a ? 0 , ? ? b2 ? 4ac , ? ? 0 ? 相交; ? ? 0 ? 相离; ? ? 0 ? 相切. 若 a ? 0 ,得到一个一次方程:① C 为双曲线,则 l 与双曲线的渐近线平行;② C 为抛物线,则 l 与 抛物线的对称轴平行. 因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件,但不是 充分条件. 5.连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦. 求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立,求出两交点的坐标,然后运用两点 间的距离公式来求; 另外一种求法是如果直线的斜率为 k , 被圆锥曲线截得弦 AB 两端点坐标分别为 ( x1 , 1 ) ,x2 , 2 ) , y ( y
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? Ax ? By ? C ? 0 y ? f (x , ) ? 0

则弦长公式为 | AB |? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? ? ? y1 ? y2 . ?k? 两根差公式: 如果 x1 , 2 满足一元二次方程: ax2 ? bx ? c ? 0 , x 则 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? ? ? ? ? 4 ? ? a ? a? 6.直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有: ①从方程的观点出发,利用根与系数的关系来进行讨论,这是用代数方法来解决几何问题的基 础.要重视通过设而不求与弦长公式简化计算,并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质. ②以向量为工具,利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题.
? b?
2

?1?

2

c

b 2 ? 4ac ? ? (? ? 0) . a a

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例题精讲
1. 椭圆的定义与方程 椭圆从圆(压缩)变形而来,从而使得椭圆与圆相关而又相异.它从圆中带来了中心和定长,但又产 生了两个新的定点——焦点.准确、完整地掌握椭圆的定义,是学好椭圆、并进而学好圆锥曲线理论的基 础. 【例1】 若点 M 到两定点 F1 ? 0 , ? 1? , F2 ? 0 , 1? 的距离之和为 2 ,则点 M 的轨迹是() A.椭圆 B.直线 F1 F2 C.线段 F1 F2 D.线段 F1 F2 的中垂线.

【变式】设定点 F1 (0 , 3) , 2 (0 , ,动点 P 满足条件 PF1 ? PF2 ? a ? ? F 3) A.椭圆 B.线段 C.不存在

9 (a ? 0) ,则点 P 的轨迹是() a

D.椭圆或线段

椭圆方程的标准式有明显的几何特征,这个几何特征就反映在这个勾股数组上.所谓解椭圆说到底是 解这个勾股数组. 【例2】 已知圆 A : ?x ? 3?2 ? y 2 ? 100 ,圆 A 内一定点 B (3,0) ,圆 P 过点 B 且与圆 A 内切,求圆心 P 的轨迹方程.

【例3】 经过点 P(?3 , , Q(0 , 2) 的椭圆的标准方程是; 0) ?

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【变式】若椭圆

x2 y 2 1 ? ? 1 的离心率为 ,则 m ? 2 m 2



【例4】 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(m ? n ? 0) 上一点 P(6 , , F1 、 F2 为椭圆的两个焦点,且 PF1 ? PF2 ,求椭 8) m n

圆的方程.

2.

椭圆的性质与焦点三角形

【例1】 设 P( x , ) 是椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 4 上的一个动点,定点 M (1, ,则 | PM |2 的最大值是() y 0) A.
2 3

B. 1

C. 3

D. 9

【例2】 已知 P 为椭圆 小值为()

x2 y 2 ? ? 1 上动点, F 为椭圆的右焦点,点 A 的坐标为 (3 , ,则 | PF | ?| PA | 的最 1) 25 9

A. 10 ? 2 B. 10 ? 2 C. 10 ? 5 2 D. 10 ? 5 2

【变式】 P 为椭圆

x2 y 2 2 2 ? ? 1 上一点, M , N 分别是圆 ? x ? 3? ? y 2 ? 4 和 ? x ? 3? ? y 2 ? 1 上的点,则 25 16

PM ? PN 的取值范围是()
A. ?7, 13? B. ?10, 15? C. ?10, 13? D. ? 7 , 15?

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【例3】 如图,把椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的长轴 AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 25 16
七 个 点 ,

P , 2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 P P P P P P 1

F



















PF ? P2 F ? P3 F ? P4 F ? P5 F ? P6 F ? P7 F ? . 1

P1 A F

P2 P3 P4 P5 P6

P7 B x

【例4】 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为 m ,则当 m 取最大值时,点 P 的坐标是 9 25

___________.

【变式】已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点, P 为椭圆上一点, ?F1 PF2 ? 60° ,椭圆的短半轴长为 b ? 3 , 则三角形 △PF1 F2 的面积为______

【例5】 设 F1,F2 分别是椭圆

x2 y 2 a2 上存在 P (其中 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点,若在直线 l : x ? a2 b c

c ? a 2 ? b2 ) ,使线段 PF1 的中垂线过点 F2 ,则椭圆离心率的取值范围是()
? 2? A. ? 0 , ? ? 2 ? ? ? 3? B. ? 0 , ? ? 3 ? ? ? 2 ? , 1? C. ? ? ? 2 ? ? 3 ? , 1? D. ? ? ? 3 ?

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【例6】 椭圆上一点 A 看两焦点的视角为直角,设 AF1 的延长线交椭圆于 B ,又 | AB | ? AF 2| ,则椭圆的离 | 心率 e ? () A. ?2 ? 2 2 B. 6 ? 3 C. 2 ? 1 D. 3 ? 2

【例7】 已知 F1 、 F2 是椭圆 C :

???? ???? ? x2 y 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的两个焦点, P 为椭圆 C 上一点,且 PF1 ? PF2 .若 2 a b

?PF1 F2 的面积为 9 ,则 b ? .

【变式】设 F1 , 2 为椭圆 F

x2 y 2 ? ? 1 左、右焦点,过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于 P , 两点,当四边 Q 4 3 ???? ???? ? 形 PF1QF2 面积最大时, PF1 ? PF2 的值等于______.

【例8】 设 F1 , 2 为椭圆 F

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点, P 在椭圆上,已知 P , 1 , 2 是一个直角三角形的三个顶 F F 9 4
| PF1 | 的值. | PF2 |

点,且 | PF1 |?| PF2 | ,求

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【例9】 已知 A , 分别是椭圆 B

? 2? x2 y 2 ? 2 ? 1 的左右两个焦点, O 为坐标原点,点 P ? ?1 , ? 在椭圆上,线 2 ? 2 ? a b ? ?

段 PB 与 y 轴的交点 M 为线段 PB 的中点. (1)求椭圆的标准方程; (2)点 C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点,对于 ?ABC ,求
sin A ? sin B 的值. sin C

【例10】 如图, A 、B 分别是椭圆 点

x2 y 2 右端点, F 是椭圆的右焦点, P 在椭圆上, 点 点 ? ? 1 长轴的左、 36 20

且位于 x 轴上方, PA ? PF . (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点, M 到直线 AP 的距离等于 MB ,求点 M 的坐标. (3)求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值.

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课堂总结
特别注意: 一、右括号的地方就有考点. 1、椭圆的定义里括号中有 F1 F2 ? 2a ,要明确分辨当 F1 F2 ? 2a 时的曲线是两焦点中的线段. 2、椭圆的标准方程里

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,需要注意当 b ? a ? 0 时,是焦点在 y 轴上的椭圆的标准 a 2 b2

方程,这里需要注意的是,椭圆的标准方程有两种情况,必要时,需要分类讨论.

二、熟练使用椭圆的定义 1、与焦点有关的线段最短问题,在这里我们一定要注意到,椭圆的第一定义可以转化线段,而且可 以与折线段之和的最短距离联合出题,很有初中只是里面的将军饮马问题之神韵. 2、焦点三角形. 焦点三角形的周长问题,或者长度问题,又或者是面积问题.只有熟练掌握椭圆的第一定义,与解三 角形的相关知识,综合两方面内容才能够处理好这方面的题目,此处题目多出于选择填空题目,出题问法 灵活, 需要透过问题的本质, 转化成我们已学过相关知识. 如果使用解解答题的方法解决往往会事倍功半.

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课后检测
【习题1】 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,过 F2 垂直于 x 轴的直线交椭圆于一点 P ,那么 PF1 的值 25 16

是_________.

【习题2】 已 知 P 是 以 F1 , 2 为 焦 点 的 椭 圆 F
tan ?PF1 F2 ?

???? ???? ? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上 的 一 点 , 若 PF1 ? PF2 ? 0 , 2 a b

1 ,则此椭圆的的离心率为() 2

A.

1 2

B.

2 3

C.

1 3

D.

5 3

【习题3】 椭圆的长轴为 A1 A2 , B 为短轴的一个端点,若∠ A1 BA2 ? 1200 ,则椭圆的离心率为() A.
1 2

B.

6 3

C.

3 3

D.

3 2

【习题4】 已知 A(3 , , F (?4 , , P 是椭圆 2) 0)

x2 y 2 ? ? 1 上一点,则 PA ? PF 的最大值为________. 25 9

【习题5】 已知 F1 , 2 是椭圆 C : F

x2 y 2 1) ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,点 P(? 2 , 在椭圆上,线段 PF2 与 a 2 b2 ???? ????? ? ? ? y 轴的交点 M 满足 PM ? F2 M ? 0 .

(1)求椭圆 C 的方程. (2)椭圆 C 上任一动点 M ( x0 , 0 ) 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 M1 ( x1 , 1 ) ,求 3x1 ? 4 y1 的取值范 y y 围.

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【习题6】 已知点 P 在圆 C : x 2 ? ( y ? 4)2 ? 1 上移动, Q 点在椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上移动,求 PQ 的最大值. 4

【习题7】 已知椭圆的中心在原点,且经过点 P(3 , , a ? 3b ,求椭圆的标准方程. 0)

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