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江苏省2012届高考数学二轮复习 第15讲 点 直线 平面之间的位置关系


直线、 第15讲 点、直线、平面之间的位置关系 15讲

江苏高考立体几何部分在正常情况下考两题。一道填空题,常考空间的线、面位置关系 的辨析与判定或特殊几何体的体积、表面积等,要求考生对公理、定理、性质、定义等非常 熟悉.并能借助已有的几何体中的线与面来解决问题;一道大题,常考线面的平行、垂直, 面面的平行与垂直,偶尔也求确定几何体的体积,通过线段长度、线段长度比,点的位置确 定等来探索几何体中的线线、线面、面面的位置关系,要重视,要学会规范答题.

1. 直线 a,b 是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线,则 a 与 b 的位置关系是 ________.

2.a,b,c 为三条不重合的直线,α,β,γ 为三个不重合的平面,直线均不在平面内, 给出以下命题:
?a∥γ ? ①? ? ?b∥γ ?a∥c ? Ba∥b;②? ? ?α∥c ?α∥γ ? Ba∥α;③? ? ?β∥γ

Bα∥β.

其中真命题是____________(填所有正确命题的序号).

如果直线 l⊥平面 α,给出下列判断: ①若直线 m⊥l,则 m∥α;②若直线 m⊥α,则 m∥l; ③若直线 m∥α,则 m⊥l;④若直线 m∥l,则 m⊥α. 其中正确判断的序号是________________.

3.已知 A、 C、 不共面, 在平面 BCD 上的射影为 O, AB⊥CD, B、 D A 则 AC⊥BD 是 O 为△BCD 垂心的________(填“充分必要,充分不必要,必要不充分,既不充分又不必要”)条件.

【例 1】 如图,AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆周上(异于点 A,B),直线 PA 垂直于圆 O 所在的平面,点 M 为线段 PB 的中点,求证:

(1) MO∥平面 PAC; (2) 平面 PAC⊥平面 PBC.

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1

【例 2】 如图四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是菱形,∠BAD=60°,AD=1,侧面 PAD 是正 三角形,且与底面垂直,Q 是 AD 的中点. (1) 求四棱锥 PABCD 的体积; (2) M 在线段 PC 上,PM=tPC,线段 BC 上是否存在一点 R,使得当 t∈(0,1)时,总有 BQ∥平面 MDR?若存在,确定 R 点位置;若不存在,说明理由.

【例 3】 如图,已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体,点 E 在 AA1 上,点 F 在 CC1 上,且 AE=FC1=1. (1) 求证:E、B、F、D1 四点共面; 2 (2) 若点 G 在 BC 上,BG= ,点 M 在 BB1 上,GM⊥BF,垂足为 H,求证:EM⊥平面 BCC1B1. 3

【例 4】 如图,在矩形 ABCD 中,AD=2,AB=4,E、F 分别为边 AB、AD 的中点,现将 △ADE 沿 DE 折起,得四棱锥 ABCDE. (1) 求证:EF∥平面 ABC; (2) 若平面 ADE⊥平面 BCDE,求四面体 FDCE 的体积.

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2

1. (2011·福建)如图,正方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上.若 EF∥平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于________.

2. (2010·湖北)用 a、b、c 表示三条不同的直线,γ 表示平面,给出下列命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c;②若 a⊥b,b⊥c,则 a⊥c;③若 a∥γ,b∥γ,则 a∥b; ④若 a⊥γ,b⊥γ,则 a∥b. 其中正确的命题有________________(填所有正确命题的序号).

3. (2009·江苏)设 α 和 β 为不重合的两个平面,给出下列命题: ①若 α 内的两条相交直线分别平行于 β 内的两条直线,则 α 平行于 β; ②若 α 外一条直线 l 与 α 内一条直线平行,则 l 和 α 平行; ③设 α 和 β 相交于直线 l,若 α 内有一条直线垂直于 l,则 α 和 β 垂直; ④直线 l 与 α 垂直的充分必要条件是 l 与 α 内的两条直线垂直. 上面命题中,真命题的是________(填所有真命题的序号).

4.(2011·浙江)下列命题中错误的是________ ①如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β; ②如果平面 α 不垂直于平面 β,那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β; ③如果平面 α⊥平面 γ,平面 β⊥平面 γ,α∩β=l,那么 l⊥平面 γ; ④如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β.

5. (2011·江苏)如图, 在四棱锥 PABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD, AB=AD, ∠BAD=60°, E、F 分别是 AP、AD 的中点,

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3

求证: (1) 直线 EF∥平面 PCD; (2) 平面 BEF⊥平面 PAD.

6. (2010·山东)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形,MA⊥平面 ABCD,PD∥MA, E、G、F 分别为 MB、PB、PC 的中点,且 AD=PD=2MA.

(1) 求证:平面 EFG⊥平面 PDC; (2) 求三棱锥 PMAB 与四棱锥 PABCD 的体积之比.

(2011·南京一模)(本小题满分 14 分)如图,在棱长均为 4 的三棱柱 ABCA1B1C1 中,D、 D1 分别是 BC 和 B1C1 的中点. (1) 求证:A1D1∥平面 AB1D; (2) 若平面 ABC⊥平面 BCC1B1,∠B1BC=60°,求三棱锥 B1ABC 的体积.

(1) 证明:如图,连结 DD1.在三棱柱 ABCA1B1C1 中, 因为 D、D1 分别是 BC 与 B1C1 的中点, 所以 B1D1∥BD,且 B1D1=BD, 所以四边形 B1BDD1 为平行四边形,(2 分)

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4

所以 BB1∥DD1,且 BB1=DD1. 又 AA1∥BB1,AA1=BB1, 所以 AA1∥DD1,AA1=DD1, 所以四边形 AA1D1D 为平行四边形,(4 分) 所以 A1D1∥AD. 又 A1D1B平面 AB1D,ADB平面 AB1D, 故 A1D1∥平面 AB1D.(6 分) (2) 解:(解法 1)在△ABC 中,因为 AB=AC,D 为 BC 的中点,所以 AD⊥BC. 因为平面 ABC⊥平面 B1C1CB,交线为 BC,ADB平面 ABC,所以 AD⊥平面 B1C1CB, 即 AD 是三棱锥 AB1BC 的高. (10 分) 在△ABC 中,由 AB=AC=BC=4,得 AD=2 3. 在△B1BC 中,B1B=BC=4,∠B1BC=60°, 所以△B1BC 的面积 S△B1BC= 3 2 ×4 =4 3. 4

所以三棱锥 B1ABC 的体积即三棱锥 AB1BC 的体积: 1 1 V= ×S△B1BC·AD= ×4 3×2 3=8. (14 分) 3 3 因为 B1B=BC, 1BC=60°, ∠B 所以△B1BC 为正三角形, 因此 B1D⊥BC. (解法 2)在△B1BC 中, 因为平面 ABC⊥平面 B1C1CB,交线为 BC,B1DB平面 B1C1CB, 所以 B1D⊥平面 ABC,即 B1D 是三棱锥 B1ABC 的高. (10 分) 在△ABC 中,由 AB=AC=BC=4 得△ABC 的面积 S△ABC= 3 2 ×4 =4 3. 4

在△B1BC 中,因为 B1B=BC=4,∠B1BC=60°,所以 B1D=2 3. 1 1 所以三棱锥 B1ABC 的体积 V= ×S△ABC·B1D= ×4 3×2 3=8. 3 3

(14 分)

第 15 讲 点、直线、平面之间的位置关系

1. 过三棱柱 ABC—A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线, 其中与平面 ABB1A1 平行的直线共 有________条. 【答案】 6 2. m、n 是空间两条不同的直线,α、β 是空间两个不同的平面,下面有四个命题: ① m⊥α,n∥β,α∥βBm⊥n; ② m⊥n,n∥β,m⊥αBα∥β; ③ m⊥n,α∥β,m∥αBn⊥β; ④ m⊥α,m∥n,α∥βBn⊥β. 其中真命题是____________(写出所有真命题的序号). 【答案】 ①④ 3. 给出以下四个命题,其中真命题是____________(写出所有真命题的序号). ① 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直 线和交线平行; ② 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这个平面; ③ 如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行; ④ 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.

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5

【答案】 ①②④

4. 如图,AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆周上(异于点 A、B),直线 PA 垂直于圆 O 所在的 平面,点 M 为线段 PB 的中点,有以下四个命题: ① PA∥平面 MOB; ② MO∥平面 PBC; ③ OC⊥平面 PAC; ④ 平面 PAC⊥平面 PBC. 其中正确的命题是____________.(填上所有正确命题的序号) 【答案】 ④ 5. 直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC=BC=BB1=1,AB1= 3. (1) 求证:平面 AB1C⊥平面 B1CB;

(2) 求三棱锥 A1—AB1C 的体积. 解:(1) 证明:直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,BB1⊥底面 ABC, 则 BB1⊥AB,BB1⊥BC. 又由于 AC=BC=BB1=1,AB1= 3,则 AB= 2, 2 2 2 则由 AC +BC =AB ,可知 AC⊥BC. 又由 BB1⊥底面 ABC,可知 BB1⊥AC,则 AC⊥平面 B1CB,所以平面 AB1C⊥平面 B1CB. 1 1 1 (2) 解:三棱锥 A1—AB1C 的体积 VA1—AB1C=VB1—A1AC= × ×1= . 3 2 6 (注:还有其他转换方法) 6. 已知等腰梯形 PDCB 中(如图 1),PB=3,DC=1,PD=BC= 2,A 为 PB 边上一点, 且 PA=1,将△PAD 沿 AD 折起,使面 PAD⊥面 ABCD(如图 2). (1) 证明:平面 PAD⊥平面 PCD; (2) 试在棱 PB 上确定一点 M,使截面 AMC 把几何体分成的两部分 VPDCMA∶VMACB=2∶1; (3) 在点 M 满足(2)的情况下,判断直线 PD 是否平行面 AMC.

图1

图2

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6

解:(1) 证明:依题意知 CD⊥AD,又∵ 面 PAD⊥面 ABCD, ∴ DC⊥平面 PAD.又 DCB面 PCD,∴ 平面 PAD⊥平面 PCD.

(2) 解:由(1)知 PA⊥平面 ABCD,∴ 平面 PAB⊥平面 ABCD. 在 PB 上取一点 M,作 MN⊥AB,垂足为 N,则 MN⊥平面 ABCD,设 MN=h, 1 1 1 h 则 VM—ABC= S△ABC·h= × ×2×1×h= , 3 3 2 3 1 1 B1+2B 1 VP—ABC= S△ABC·PA= × ×1×1= , 3 3 2 2 1 ?1 h? h 要使 VPDCMA∶VMACB=2∶1,即? - ?∶ =2∶1,解得 h= , 2 3? 3 2 ? 即 M 为 PB 的中点. (3) 连结 BD 交 AC 于 O.因为 AB∥CD,AB=2,CD=1,由相似三角形易得 BO=2OD.∴ O 不是 BD 的中心. 又∵ M 为 PB 的中点,∴ 在△PBD 中,OM 与 PD 不平行 ∴ OM 所在直线与 PD 所在直线相交. 又 OMB平面 AMC,∴ 直线 PD 与平面 AMC 不平行. 基础训练 1. 相交或异面 2. ②③ 3. ②③④ 4. 充分必要 例题选讲 例 1 证明:(1) ∵ M,O 分别是 PB、AB 的中点, ∴ MO∥PA, 又∵ MOB平面 PAC,PAB平面 PAC, ∴ MO∥平面 PAC. (2) ∵ 直线 PA 垂直于圆 O 所在的平面, ∴ PA⊥BC ∵ C 是圆周上一点,AB 是直径,∴ BC⊥AC. 又 PA∩AC=A,∴ BC⊥平面 PAC. ∵ BCB平面 PBC,∴ 平面 PBC⊥平面 PAC. 变式训练 如图, 四棱锥 P—ABCD 中, PD⊥平面 ABCD, PD=DC=BC=1, AB=2, AB∥DC, ∠BCD=90°.

(1) 求证:PC⊥BC;

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7

(2) 求点 A 到平面 PBC 的距离. (1) 证明:因为 PD⊥平面 ABCD,BCB平面 ABCD,所以 PD⊥BC. 由∠BCD=90°,得 BC⊥DC. 又 PD∩DC=D,PDB平面 PCD, DCB平面 PCD,所以 BC⊥平面 PCD, 因为 PCB平面 PCD,故 PC⊥BC.

(2) 解:如图,连结 AC. 设点 A 到平面 PBC 的距离为 h,因为 AB∥DC,∠BCD=90°, 所以∠ABC=90°, 从而由 AB=2,BC=1,得△ABC 的面积 S△ABC=1. 1 1 由 PD⊥平面 ABCD 及 PD=1,得三棱锥 P—ABC 的体积 V= S△ABC·PD= , 3 3 因为 PD⊥平面 ABCD,DCB平面 ABCD,所以 PD⊥DC.
2 2

又 PD=DC=1,所以 PC= PD +DC = 2. 由 PC⊥BC,BC=1,得 S△PBC= 2 . 2

1 1 2 1 由 V= S△PBCh= · ·h= ,∴ h= 2. 3 3 2 3 故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2. 点评:本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查几何体的体积,考查 空间想象能力、推理论证能力和运算能力. 例 2 解:(1) 连结 PQ,则 PQ⊥AD, 3 3 ,SABCD= . 2 2 ∵ 平面 PAD⊥平面 ABCD 且交线为 AD,PQ⊥AD,PQB平面 PAD, ∴ PQ⊥平面 ABCD, 由题意易得 PQ= 1 1 ∴ VP—ABCD= PQ·SABCD= . 3 4 (2) 存在,R 为 BC 的中点. 取 R 为 BC 中点,连结 MR,DR,DM,则 BQ∥DR. ∵ BQ∥DR,BQB平面 DMR,DRB平面 DMR,∴ BQ∥平面 DMR. 因此,R 为 BC 中点,当 t∈(0,1)时,总有 BQ∥平面 MDR,反之也成立.

变式训练 如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=AC=AA1=3a,BC=2a,D 是 BC 的中

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点,E 为 AB 的中点,F 是 C1C 上一点,且 CF=2a. (1) 求证:C1E∥平面 ADF; (2) 试在 BB1 上找一点 G,使得 CG⊥平面 ADF; (3) 求三棱锥 D—AB1F 的体积.

(1) 证明:∵ AB=AC,D 为 BC 中点,又 E 为 AB 的中点,连结 CE 交 AD 于 O,连结 FO, CO CF 2 易知 = = ,故 FO∥C1E. CE CC1 3 又 FOB平面 AFD,C1EB平面 AFD, 故 C1E∥平面 AFD. (2) 解:在平面 C1CBB1 内,过 C 作 CG⊥DF,交 B1B 于 G. 在 Rt△FCD 和 Rt△CBG 中, FC=CB,∠CFD=∠BCG, 故 Rt△FCD≌Rt△CBG. 而 AD⊥BC,CC1⊥AD 且 CC1∩CB=C, 故 AD⊥平面 C1CBB1. 而 CGB平面 C1CBB1,故 AD⊥CG. 又 CG⊥DF,AD∩FD=D, 故 CG⊥平面 ADF,此时 BG=CD=a. (3) 解:∵ AD⊥平面 BCC1B1, 1 ∴ VD—AB1F=VA—B1DF= ·S△B1DF·AD 3
3

5 2a 1 1 = × B1F·FD·AD= . 3 2 3

例 3 解:(1) 如图,在 DD1 上取点 N,使 DN=1,连结 EN,CN, 则 AE=DN=1,CF=ND1=2. 因为 AE∥DN,ND1∥CF,所以四边形 ADNE,CFD1N 都为平行四边形. 从而 EN AD,FD1∥CN.

又因为 AD

BC,所以 EN

BC,故四边形 BCNE 是平行四边形,由此推知 CN∥BE,从

而 FD1∥BE.因此,E、B、F、D1 四点共面.

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(2) 如图,GM⊥BF,又 BM⊥BC, 所以∠BGM=∠CFB, BM=BG·tan∠BGM=BG·tan∠CFB BC 2 3 =BG· = × =1. CF 3 2 因为 AE BM,所以 ABME 为平行四边形,

从而 AB∥EM. 又 AB⊥平面 BCC1B1,所以 EM⊥平面 BCC1B1. 例 4 (1) 证明:(证法 1)取线段 AC 的中点 M,连结 MF、MB.

因为 F 为 AD 的中点, 1 所以 MF∥CD,且 MF= CD. 2 在折叠前,四边形 ABCD 为矩形, E 为 AB 的中点, 1 所以 BE∥CD,且 BE= CD. 2 所以 MF∥BE,且 MF=BE. 所以四边形 BEFM 为平行四边形,故 EF∥BM. 又 EFB平面 ABC,BMB平面 ABC, 所以 EF∥平面 ABC. (证法 2)延长 DE 交 CB 的延长线于点 N,

连结 AN. 在折叠前,四边形 ABCD 为矩形, E 为 AB 的中点, 1 所以 BE∥CD,且 BE= CD. 2 所以∠NBE=∠NCD,∠NEB=∠NDC. 所以△NEB∽△NDC. NE BE 1 所以 = = ,即 E 为 DN 的中点. ND CD 2 又 F 为 AD 的中点, 所以 EF∥NA. 又 EFB平面 ABC,NAB平面 ABC,

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所以 EF∥平面 ABC. (证法 3)取 CD 的中点 O,连结 OE、OF.

折叠前,四边形 ABCD 为矩形, E 为 AB 的中点, 1 所以 BE∥CD,且 BE= CD. 2 所以 BE∥CO,且 BE=CO. 所以四边形 BEOC 为平行四边形. 所以 EO∥BC. 又 EOB平面 ABC,BCB平面 ABC, 所以 EO∥平面 ABC. 因为 F、O 分别为 AD、CD 的中点,所以 FO∥AC. 又 FOB平面 ABC,ACB平面 ABC, 所以 FO∥平面 ABC. 又 FO、EOB平面 FEO,FO∩EO=O, 所以平面 FEO∥平面 ABC. 因为 EFB平面 EOF,所以 EF∥平面 ABC. (2) 解:(解法 1)在折叠前,四边形 ABCD 为矩形,AD=2,AB=4,E 为 AB 的中点, 所以△ADE、△CBE 都是等腰直角三角形,且 AD=AE=EB=BC=2, 所以∠DEA=∠CEB=45°,且 DE=EC=2 2. 又∠DEA+∠DEC+∠CEB=180°, 所以∠DEC=90°.CE⊥DE, 又平面 ADE⊥平面 BCDE, 平面 ADE∩平面 BCDE=DE,CEB平面 BCDE, 所以 CE⊥平面 ADE,即 CE 为三棱锥 C—EFD 的高. 因为 F 为 AD 的中点, 1 1 1 所以 S△EFD= × ×AD·AE= ×2×2=1. 2 2 4 1 1 2 2 所以四面体 FDCE 的体积 V= ×S△EFD·CE= ×1×2 2= . 3 3 3 (解法 2)过 F 作 FH⊥DE,H 为垂足.

因为平面 ADE⊥平面 BCDE, 平面 ADE∩平面 BCDE=DE,FHB平面 ADE, 所以 FH⊥平面 BCDE,

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11

即 FH 为三棱锥 F—ECD 的高. 在折叠前,四边形 ABCD 为矩形, 且 AD=2,AB=4,E 为 AB 的中点, 所以△ADE 是等腰直角三角形. 又 F 为 AD 的中点,所以 DF=1. 所以 FH=DF·sin45°= 2 . 2

1 1 又 S△EDC= ×CD·BC= ×4×2=4, 2 2 1 2 2 2 1 所以四面体 FDCE 的体积 V= ×S△EDC·FH= ×4× = . 3 2 3 3

(解法 3)过 A 作 AG⊥DE,G 为垂足. 因为平面 ADE⊥平面 BCDE, 平面 ADE∩平面 BCDE=DE,AGB平面 ADE, 所以 AG⊥平面 BCDE, 即 AG 为三棱锥 A—ECD 的高. 在折叠前,四边形 ABCD 为矩形, 且 AD=2,AB=4,E 为 AB 的中点, 所以△ADE 是等腰直角三角形. 所以 AG=AD·sin45°= 2. 1 1 又 S△EDC= ×DC·BC= ×4×2=4, 2 2 1 1 4 2 . 所以三棱锥 A—ECD 的体积 VA—ECD= ×S△EDC·AG= ×4× 2= 3 3 3 1 因为 F 为 AD 的中点,所以 S△EFD= S△EAD. 2 1 1 2 2 . 所以 V 三棱锥 C—EFD= V 三棱锥 C—EAD= VA—ECD= 2 2 3 2 2 即四面体 FDCE 的体积为 . 3 (说明:在第(2)问中,可以证明 AD⊥AC;求点 D 到平面 EFC 的距离) 高考回顾 1. 2. 3. 4. 5. ∴ 2 1 解析:EF∥AC,EF= AC,AC=2 2,∴ EF= 2. 2

①④ ①② ④ 证明:(1) 因为 E、F 分别是 AP、AD 的中点, EF∥PD.又∵ PDB面 PCD,EFB面 PCD,

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∴ 直线 EF∥平面 PCD. (2) 连结 BD,∵ AB=AD,∠BAD=60°,∴ △ABD 为正三角形.

又 F 是 AD 的中点,∴ BF⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD,面 PAD∩面 ABCD=AD,∴ BF⊥面 PAD, 又 BFB面 BEF,所以,平面 BEF⊥平面 PAD. 6. (1) 证明:由已知 MA⊥平面 ABCD,PD∥MA, 所以 PD⊥平面 ABCD,又 BCB平面 ABCD. 所以 PD⊥BC. 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 BC⊥DC, 又 PD∩DC=D,因此 BC⊥平面 PDC, 在△PBC 中,因为 G、F 分别为 PB、PC 的中点,所以 GF∥BC. 因此 GF⊥平面 PDC.又 GFB平面 EFG,所以平面 EFG⊥平面 PDC. (2) 解:因为 PD⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,不妨设 MA=1, 则 PD=AD=2, 1 8 所以 VP—ABCD= S 正方形 ABCD·PD= . 3 3 由于 DA⊥面 MAB,且 PD∥MA,所以 DA 即为点 P 到平面 MAB 的距离 2 三棱锥 VP—MAB= , 3 所以 VP—MAB∶VP—ABCD=1∶4.

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