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高中数学教案:3.3.1《几何概型》(新课标人教A版必修三)


教学目标: 1)正确理解几何概型的概念; 2)掌握几何概型的概率公式: P(A) ( ( =

批 注

构成事件A的区域长度(面积或体 积) ; (3)会根据古典概型与几何概型的 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积)

区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型; (4)了解均匀随机数的概念; (5)掌

握 利用计算器(计算机)产生均匀随机数的方法; (6)会利用均匀随机数解决具体的有关概率的 问题. 教学重点:重点是几何概型的理解. 教学难点:难点是计算公式的应用 教学用具:投影仪 教学方法:讲练结合 教学过程: 一、课题:在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机 试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况。例如一个人到单位的时间可能是 8:00 至 9: 之间的任何一个时刻; 00 往一个方格中投一个石子, 石子可能落在方格中的任何一点?? 这些试验可能出现的结果都是无限多个。 阅读课本 P135-P136 内容 二、新课教学 1、基本概念: (1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积 或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式: P(A)=

构成事件A的区域长度(面积或体 积) ; 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积)

(3)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本 事件出现的可能性相等. 2、 例题分析: 例 1 课本例题 1 略 例 2 课本例题 2 略 例 3 课本例题 3 略 例 4 判下列试验中事件 A 发生的概度是古典概型, 还是几何概型。 (1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4 点”的概率; (2)如课本 P132 图 3.3-1 中的(2)所示,图中有一个转盘,甲乙两人玩转盘游戏,规定当 指针指向 B 区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率。 分析:本题考查的几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性。而几何概 型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关。 解: (1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有 6×6=36 种,且它们都是等可能的,因此属于古 典概型; (2)游戏中指针指向 B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分” ,概率 可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型. 例 5 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车时间不 多于 10 分钟的概率. 分析:假设他在 0~60 分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在 0 到 60 分钟之间

有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公 式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在 0 到 60 分钟之间任何一个时刻到站等车是等 可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无 关,这符合几何概型的条件. 解:设 A={等待的时间不多于 10 分钟},我们所关心的事件 A 恰好是到站等车的时刻位于 [50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得 P(A)= 多于 10 分钟的概率为

60 ? 50 1 = ,即此人等车时间不 60 6

1 . 6

小结:在本例中,到站等车的时刻 X 是随机的,可以是 0 到 60 之间的任何一刻,并且是等 可能的,我们称 X 服从[0,60]上的均匀分布,X 为[0,60]上的均匀随机数. 例 6 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为边作正方形,求这个正方形 的面积介于 36cm2 与 81cm2 之间的概率. 分析:正方形的面积只与边长有关,此题可以转化为在 12cm 长的线段 AB 上任取一点 M, 求使得 AM 的长度介于 6cm 与 9cm 之间的概率. 解: (1)用计算机产生一组[0,1]内均匀随机数 a1=RAND. (2)经过伸缩变换,a=a1*12 得到[0,12]内的均匀随机数. (3)统计试验总次数 N 和[6,9]内随机数个数 N1 (4)计算频率

N1 . N

记事件 A={面积介于 36cm2 与 81cm2 之间}={长度介于 6cm 与 9cm 之间},则 P(A)的近似值 为 fn(A)=

N1 . N

三、课堂练习(课本 P140 练习)
归纳小结:1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时,一定要 注意其适用条件:每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例; 2、均匀随机数在日常生活中,有着广泛的应用,我们可以利用计算器或计算机来产生均匀 随机数,从而来模拟随机试验,其具体方法是:建立一个概率模型,它与某些我们感兴趣的量 (如概率值、常数 )有关,然后设计适当的试验,并通过这个试验的结果来确定这些量.


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