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2015年-高考试卷及答案解析-数学-理科-四川(精校版)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(四川理)
一、本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项,只有一项是符合 题目要求的。 1、设集合 A ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0} ,集合 B ? {x |1 ? x ? 3} ,则 A ? B ? ( (A) {x | ?1 ? x ? 3} (C) {x |1 ?

x ? 2} 2、设 i 是虚数单位,则复数 i 3 ? (A) ?i (B) {x | ?1 ? x ? 1} (D) {x | 2 ? x ? 3} )

2 ?( i

) (C) i (D) 3i

(B) ? 3i

3、执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为(



(A) ?

3 2

(B)

3 2

(C) ?

1 2

(D) )

1 2

4、下列函数中,最小正周期为 ? 且图象关于原点对称的函数是( (A) y ? cos(2 x ?

?
2

)

(B) y ? sin(2 x ?

?
2

)

(C) y ? sin 2 x ? cos 2 x 5、过双曲线 x ?
2

(D) y ? sin x ? cos x

y2 ? 1的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于 A , B 两 3


点,则 | AB |? (

(A)

4 3 3

(B) 2 3

(C) 6

(D) 4 3 )

5 组成没有重复数字的五位数, 1 ,2 ,3 ,4 , 6、 用数字 0 , 其中比 40000 大的偶数共有 (
(A) 144 个 (B) 120 个 (C) 96 个 (D) 72 个

7、设四边形 ABCD 为平行四边形, | AB |? 6 , | AD |? 4 。若点 M , N 满足 BM ? 3MC ,

??? ?

????

???? ?

???? ?

???? ???? ???? ? ???? ? DN ? 2 NC ,则 AM ? NM ? (
(A) 20 (B) 15

) (C) 9 (D) 6 )

8、设 a , b 都是不等于 1 的正数,则“ 3a ? 3b ? 3 ”是“ log a 3 ? logb 3 ”的( (A)充要条件 (C)必要不充分条件 9、如果函数 f ( x) ? (B)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

1 1 (m ? 2) x 2 ? (n ? 8) x ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 )在区间 [ , 2] 上单调递减, 2 2
) (B) 18 (C) 25 (D)

那么 mn 的最大值为( (A) 16

81 2

2 2 2 2 10、设直线 l 与抛物线 y ? 4 x 相交于 A , B 两点,与圆 ( x ? 5) ? y ? r ( r ? 0 )相切于

点 M ,且 M 为线段 AB 的中点。若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是( (A) (1,3) (B) (1, 4) (C) (2,3) (D) (2, 4)



二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11、在 (2 x ? 1) 的展开式中,含 x 2 的项的系数是____________(用数字填写答案) 。
5

12、 sin15? ? sin 75? 的值是____________。 13、某食品的保鲜时间 y (单位:小时)与储藏温度 x (单位: ?C )满足函数关系 y ? e
kx ?b

( e ? 2.718 ??? 为自然对数的底数, k , b 为常数) 。若该食品在 0 ?C 的保鲜时间是 192 小时, 在 22 ?C 的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 ?C 的保鲜时间是____________小时。 14、如图,四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形,它们所在的平面互 相垂直,动点 M 在线段 PQ 上, E , F 分别为 AB , BC 的中点。

? 的最大值为 设 异 面 直 线 EM 与 AF 所 成 的 角 为 ? , 则 c o s
____________。

15 、已知函数 f ( x) ? 2 , g ( x) ? x ? ax (其中 a ? R ) 。对于不相等的实数 x1 , x2 ,设
x 2

m?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,n ? 。现有如下命题: x1 ? x2 x1 ? x2
①对于任意不相等的实数 x1 , x2 ,都有 m ? 0 ; ②对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1 , x2 ,都有 n ? 0 ; ③对于任意的 a ,存在不相等的实数 x1 , x2 ,使得 m ? n ; ④对于任意的 a ,存在不相等的实数 x1 , x2 ,使得 m ? ?n 。 其中的真命题有____________(写出所有真命题的序号) 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16、(本小题满分 12 分) 设数列 {an } ( n ? 1, 2,3, ??? )的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? a1 ,且 a1 , a2 ? ! , a3 成等 差数列。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {

1 1 成立的 n 的最小值。 } 的前 n 项和为 Tn ,求使得 | Tn ? 1|? 1000 an

17、(本小题满分 12 分) 某市 A , B 两所中学的学生组队参加辩论赛, A 中学推荐了 3 名男生、 2 名女生, B 中 学推荐了 3 名男生、 4 名女生,两校所推荐的学生一起参加集训。由于集训后队员水平相当, 从参加集训的男生中随机抽取 3 人、女生中随机抽取 3 人组成代表队。 (Ⅰ)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率; (Ⅱ)某场比赛前,从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛。设 X 表示参赛的男生人数, 求 X 的分布列和数学期望。

18、(本小题满分 12 分) 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图 的示意图如图所示。在正方体中,设 BC 的中点为

M , GH 的中点为 N 。
(Ⅰ)请将字母 F ,G , H 标记在正方体相应的顶 点处(不需说明理由) ; (Ⅱ)证明:直线 MN // 平面 BDH ; (Ⅲ)求二面角 A ? EG ? M 的余弦值。

19、(本小题满分 12 分) 如图, A , B , C , D 为平面四边形 ABCD 的四个内角。 (Ⅰ)证明: tan

A 1 ? cos A ? ; 2 sin A

(Ⅱ)若 A ? C ? 180? , AB ? 6 , BC ? 3 , CD ? 4 , AD ? 5 , 求 tan

A B C D ? tan ? tan ? tan 的值。 2 2 2 2

20、(本小题满分 13 分) 如图,椭圆 E :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率是 , 2 a b 2

过点 P(0,1) 的动直线 l 与椭圆相交于 A , B 两点。当直线 l 平行 于 x 轴时,直线 l 被椭圆 E 截得的线段长为 2 2 。 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ) 在平面直角坐标系 xOy 中, 是否存在与点 P 不同的定点 Q , 使得

| QA | | PA | ? 恒成立?若存在, 求出点 Q 的坐标; 若不存在, | QB | | PB |

请说明理由。

21、(本小题满分 14 分)
2 2 已知函数 f ( x) ? ?2( x ? a)ln x ? x ? 2ax ? 2a ? a ,其中 a ? 0 。

(Ⅰ)设 g ( x) 是 f ( x ) 的导函数,讨论 g ( x) 的单调性; (Ⅱ) 证明: 存在 a ? (0,1) , 使得 f ( x) ? 0 在区间 (1, ??) 内恒成立, 且 f ( x) ? 0 在区间 (1, ??) 内有唯一解。

2015 年普通高等学校招生全国统一考试答案(四川理)
一、选择题 1.【答案】A 【解析】? A ? {x | ?1 ?

x ? 2} ,且 B ? {x |1 ? x ? 3}

? A ? B ? {x | ?1 ? x ? 3},故选 A
2.【答案】C 【解析】 i ?
3

2 2i ? ?i ? 2 ? i ,故选 C i i

3.【答案】D 【解析】进入循环,当 k ? 5 时才能输出 k 的值,则 S ? sin 4.【答案】A 【解析】 A. y ? cos(2 x ?

5? 1 ? ,故选 D 6 2

?
2

) ? ? sin 2 x 可知其满足题意

B. y ? sin(2 x ?

?

? k? ) ? cos 2 x 可知其图像的对称中心为 ( ? , 0)(k ? Z ) ,最小正周期为 ? 2 4 2

C. y ? sin 2 x ? cos 2 x ? 小正周期为 ? D. y ? sin x ? cos x ? 为 2? 5.【答案】D

? k? ? 2 sin(2 x ? ) 可知其图像的对称中心为 ( ? , 0)(k ? Z ) ,最 4 2 8

2 sin( x ? ) 可知其图像的对称中心为 (k? ? , 0)(k ? Z ) 小正周期 4 4

?

?

【解析】由题可知渐近线方程为 y ? ? 3x ,右焦点 (2, 0) , 则直线 x ? 2 与两条渐近线的交点分别为 A (2, 2 3) , B (2, ?2 3) ,所以 | AB |? 4 3

6.【答案】 B 【解析】分类讨论: 当 5 在万位时,个位可以排 0、2、4 三个数,其余位置没有限制,故有 C3 A4 ? 72 种。
1 3

当 4 在万位时,个位可以排 0、2 两个数,其余位置没有限制,固有 C2 A4 ? 48 种,
1 3

综上:共有 120 种。故选 B。 7.【答案】C 【解析】C.本题从解题方式方法上可有两种思路。 方法①:这个地方四边形 ABCD 为平行四边形,可赋予此四边形为矩形,进而以 A 为坐标原 点建立坐标系。由 A( 0,0),M( 6,3)N( 4,4), 进而 AM ? (6,3) , NM ? (2,?1), AM ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?
???

NM ? 9 。
???

方法②:这个地方可以以 AB , AD 为基底向量,利用三角形法则将 AM , NM 分别用基底向

??? ?

??? ?

????? ? ? 3 ??? ??? 1 1 ??? 量表示可得 AM ? AB ? AD , NM ? AB ? AD 则 4 3 4 ????? ? ???? ? ???? ? ? ??? ? 3 ???? ? ? 1 ? 2 ? 3 ???? ? 2 ? 1 ???? ? 1 ? ??? AM ? NM ? ? AB ? AD ? ? AB ? AD ? ? ? AB ? ? AD ? ? ? 9 。 ? 4 4 ? ?? 3 ?4 ? ? ? 3? ?
??? ? ???

? ?

综合两种方法,显然方法①更具备高考解题的准确性和高效性。 8.【答案】 B 【解析】条件 3a ? 3b ? 3 等价于 a ? b ? 1 。当 a ? b ? 1 时, log3 a ? log3 b ? 0 。所以,

1 1 ? ,即 log a 3 ? logb 3 。所以, “ 3a ? 3b ? 3 ”是“ log a 3 ? logb 3 ”的充分条 log3 a log3 b
件。但 a ?

1 , b ? 3 也满足 loga 3 ? logb 3 ,而不满足 a ? b ? 1 。所以, “ 3a ? 3b ? 3 ”是 3

“ log a 3 ? logb 3 ”的不必要条件。故,选 B 。 9.【答案】 B

2 上恒成立。 【错误解析】由 f ? x ? 单调递减得: f ? ? x ? ? 0 ,故 ? m ? 2? x ? n ? 8 ? 0 在 ? , 2 ? 2 上的图像是一条线段。故只须在两个端点处 而 ? m ? 2? x ? n ? 8 是一次函数,在 ? , 2 ? ?1 ? ? ?

?1 ?

? ?

?1? f ? ? ? ? 0, f ? ? 2 ? ? 0 即可。即 ?2?

?1 ? ? m ? 2 ? ? n ? 8 ? 0, ?2 ?2 ? m ? 2 ? ? n ? 8 ? 0, ?

?1? ? 2?



由 2 ? ?1? ? ? 2? 得: m ? n ? 10 。所以, mn ? ?

? m?n? ? ? 25 . 选 C。 ? 2 ?

2

【错误原因】 mn 当且仅当 m ? n ? 5 时取到最大值 25 ,而当 m ? n ? 5 , m, n 不满足条件

?1? , ? 2? 。
【正确解析】同前面一样 m, n 满足条件 ?1? , ? 2 ? 。由条件 ? 2 ? 得: m ?
2

1 ?12 ? n ? 。于是, 2

1 1 ? n ? 12 ? n ? mn ? n ?12 ? n ? ? ? ? ? 18 。mn 当且仅当 m ? 3, n ? 6 时取到最大值18 。经验 2 2? 2 ?
证, m ? 3, n ? 6 满足条件 ?1? , ? 2 ? 。故选 B 。 10.【答案】 D 【解析】当直线 l 与 x 轴垂直的时候,满足条件的直线有且只有 2 条。 当直线 l 与 x 轴不垂直的时候,由对称性不妨设切点 M ?5 ? r cos? , r sin ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ,则 切线的斜率为:k AB ? ?

cos ? 2 。 另一方面, 由于 M 为 AB 中点, 故由点差法得:k AB ? 。 sin ? r sin ?

故r ? ?

2 ,r ? 2。 cos ?

2 由于 M ?5 ? r cos? , r sin ? ? 在抛物线内,所以满足 y ? 4 x 。代入并利用 r cos ? ? ?2 化简得

到 r ? 4 。故 2 ? r ? 4 。

当 2 ? r ? 4 时,由 r ? ?

2 知满足条件且在 x 轴上方的切点 M 只有 1 个。从而总的切线有 cos ?

4 条。故选 D 。

二、填空题 11.【答案】 -40 【解析】由题意知 x 2 的系数为: C5 x (?1) ? ?40
3 2 3

12.【答案】 【解析】

6 2

sin15? ? sin(45? ? 30? ) ? sin 45? cos30? ? cos 45? sin 30?

=

3 2 2 1 6? 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 4 3 2 2 1 6? 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 4

sin 75 ? ? sin(45? ? 30? ) ? sin 45? cos30? ? cos 45? sin30? ?
6 2

sin15? ? sin 75 ? ?
13.【答案】24 【解析】 e
k ?0+b

? 192 ? b ? ln192, e k ?22?b ? 48 ? k ?

? ln 4 22

故当 x ? 33 时, e33? 14.【答案】

? ln 4 ? ln192 22

? eln 24 ? 24

2 5

【解析】AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AQ 为 z 轴建立坐标系,设正方形边长为 2

cos ? ?

2?m 5 m2 ? 5

, 令 f (m) ?

2?m 5m2 ? 25

(m ? ?0, 2?)

? 5m 2 ? 25 ? f ?(m) ?
2

(2 ? m) ?10m

2 5m 2 ? 25 5m ? 25

?m ??0,2? ,? f ?(m) ? 0
f (m) max ? f (0) ?
15.【答案】(1) (4) 【解析】 (1)设 x 1 > x 2 ,函数 2 x 单调递增,所有 2 x1 > 2 x 2 , x 1 - x 2 >0, 则

2 2 ,即 cos ? max ? 5 5

m?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2 x1 ? 2 x2 = >0,所以正确; x1 ? x2 x1 ? x2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) x1 ? x2

(2)设 x 1 > x 2 ,则 x 1 - x 2 >0,则 n ?
2 2

?

x1 ? x2 ? a( x1 ? x2 ) ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ? a) ? ? x1 ? x2 ? a ,可令 x1 =1, x 2 =2, x1 ? x2 x1 ? x2

a=—4,则 n=—1<0,所以错误; (3)因为 m ? n ,由(2)得:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? a ,分母乘到右边,右边即为 x1 ? x2

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,所以原等式即为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,
即为 f ( x1 ) ? g ( x2 ) = f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,令 h( x) ? f ( x ) ? g ( x ) , 则原题意转化为对于任意的 a ,函数 h( x) ? f ( x ) ? g ( x ) 存在不相等的实数 x 1 , x 2 使得函
x 数值相等, h( x) ? 2 x ? x 2 ? ax ,则 h ?( x) ? 2 x ln2 ? 2 x ? a ,则 h ??( x) ? 2( ln2) ? 2,

" ' ' 令 h ? x? ? ? 0 ,且 1 ? x? ? 2 ,可得 h ? x? ? 为极小值。若 a ? ?10000 ,则 h ? x? ? ? 0 ,即

h' ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递增,不满足题意,所以错误。
(4)由(3) 得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则 f ? x1 ? ? g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? f ? x2 ? ,设

h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,有 x1 , x2 使其函数值相等,则 h ? x ? 不恒为单调。
h ? x ? ? 2x ? x2 ? ax , h' ? x ? ? 2x ln 2 ? 2x ? a , h '' ? x ? ? 2 x ? ln 2 ? ? 2 ? 0 恒成立, h' ? x ? 单
2

调递增且 h ? ??? ? 0 , h ? ??? ? 0 。所以 h ? x ? 先减后增,满足题意,所以正确。
' '

三、简答题 16. 【解析】 (1)当 n ? 2 时有, an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? a1 ? (2an?1 ? a1 ) 则 an ? 2an?1 (n ? 2)

an = 2(n ? 2) an- 1
则 ?an ? 是以 a1 为首项,2 为公比的等比数列。 又由题意得 2a2 ? 2 ? a1 ? a3

? 2 ? 2a1 ? 2 ? a1 ? 4a1 ? a1 ? 2
则 an ? 2 (n ? N * )
n

(2)由题意得

1 1 ? n (n ? N * ) an 2

1 1 [1 ? ( )n ] 2 2 ? 1 ? ( 1 )n 由等比数列求和公式得 Tn ? 1 2 1? 2

- ) =( ) 则 Tn ? 1 ? (
2

1 2

1 2

n

10 9 ( ) =1024,( ) =512 又? 当 n ? 10 时,

1 2

1 2

? Tn ? 1 ?

1 成立时, n 的最小值的 n ? 10 。 1000

17.【解析】 设事件 A 表示“A 中学至少有 1 名学生入选代表队”,

P( A) ? 1 ?

3 3 C3 C4 1 99 ? ? 1? ? 3 3 C6 C6 100 100

(1) 由题意,知 X ? 1, 2,3 ,
3 1 1 3 C3 C3 1 C32C32 3 C3 C 1 P( X ? 1) ? 4 ? ; P( X ? 2) ? ? ; P( X ? 3) ? 4 3 ? 4 C6 5 C6 5 C6 5

因此 X 的分布列为:

X

1

2

3

P

1 5

3 5

1 5
期望为: E ( X ) ? 1 ?

1 3 1 ? 2? ?3? ? 2 5 5 5

18. 【解析】 (I)直接将平面图形折叠同时注意顶点的对应方式即可 如图
H N L G

E

F

D K Q A B

C M

(II) 连接 BD ,取 BD 的中点 Q ,连接 MQ 因为 M 、 Q 为线段 BC 、 BD 中点,所以 MQ / /CD / /GH 且 MQ ?

1 1 CD ? GH 2 2

又因 N 为 GH 中点,所以 NH ? 得到 NH ? MQ 且 NH / / MQ 所以四边形 QMNH 为 Y 得到 QH / / MN 又因为 QH ? 平面 BDH 所以 MN / / 平面 BDH (得证) (III)

1 GH 2

连接 AC , EG ,过点 M 作 MK ? AC ,垂足在 AC 上,过点 K 作平面 ABCD 垂线,交 EG 于点 L ,连接 ML ,则二面角 A ? EG ? M ? ?MLK 因为 MK ? 平面 ABCD ,且 AE ? ABCD 所以 MK ? AE 又 AE , AC ? 平面 AEG 所以 MK ? 平面 AEG 且 KL ? AEG ,所以 MK ? KL ,所以三角形 MKL 为 RT ? 设正方体棱长为 a ,则 AB ? BC ? KL ? a , 所以 MC ?

a , 2

因为 ?MCK ? 45? ,三角形 MCK 为 RT ? ,所以 MK ? MC cos ?45? ?

2a 4

所以

2a 2 2 MK 2 ,所以 cos ?MLK ? tan ?MLK ? ? 4 ? 3 KL a 4

所以 cos ? A ? EG ? M ?? cos ?MLK ?

2 2 3

19.【解析】 (1)证明:

A A 2sin 2 1 ? cos A 2 ? 2 tan A ? ? . A A A sin A cos 2sin ? cos 2 2 2 sin
(2)解: 方法(1)

A B C D ? tan ? tan ? tan 2 2 2 2 A C B D ? (tan ? tan ) ? (tan ? tan ) 2 2 2 2 1 ? cos A 1 ? cos C 1 ? cos B 1 ? cos D ?( ? )?( ? ) sin A sin C sin B sin D (1 ? cos A) ? sin C ? (1 ? cos C ) ? sin A (1 ? cos B) ? sin D ? (1 ? cos D) ? sin B ?[ ]?[ ] sin A ? sin C sin B ? sin D sin A ? sin C ? (sin C ? cos A ? cos C ? sin A) sin B ? sin D ? (sin D ? cos B ? cos D ? sin B) ?[ ]?[ ] sin A ? sin C sin B ? sin D sin A ? sin C ? sin( A ? C ) sin B ? sin D ? sin( B ? D) ?[ ]?[ sin A ? sin C sin B ? sin C tan
由 A ? C ? 180o 可知 B ? D ? 180o ,所以有 sin A ? sin C,sin( A ? C ) ? 0 ,同理

sin B ? sin D , sin( B ? D) ? 0 ,进一步上式化简可得:
A B C D ? tan ? tan ? tan 2 2 2 2 sin A ? sin C sin B ? sin D ?( )?( ) sin A ? sin C sin B ? sin D 2sin A 2sin B ?( 2 )?( 2 ) sin A sin B tan

?

2(sin A ? sin B ) sin A ? sin B 1 1 ? ) (*) sin A sin B

? 2(

连接 BD ,设 BD ? x ,在 ? ABD 和 ? CBD 中分别利用余弦定理及 A ? C ? 180o 可得

cos A ? ? cos C ,即

247 3 6 2 ? 52 ? x 2 32 ? 42 ? x 2 2 解得 x ? ,从而得 cos A ? , ?? 7 7 2?6?5 2 ?3? 4

sin A ?
tan

1 2 10 6 10 .同理可得, cos B ? .代入(*)式可得 , sin B ? 19 7 19

A B C D ? tan ? tan ? tan 2 2 2 2 1 1 ? 2( ? ) sin A sin B 1 1 ? 2( ? ) 2 10 6 10 7 19 4 10 ? 3
方法(2)

3 A 1 ? cos A 3 7 ? 10 2 10 ? ? 由方法(一)知 cos A ? ,sin A ? ,又由(1)有 tan , 2 sin A 5 2 10 7 7 7 1?
C 1 10 A C 1 tan ? = o 因为 A ? C ? 180 , 所以 ? ? 90 , 所以 , 同理可得:cos B ? , A 2 2 tan 2 2 19 2
o

sin B ?

6 10 B 3 10 ,解得 tan ? , 19 2 10

.

D 1 10 tan ? = 2 tan B 3 2

所以 tan

A B C D 10 3 10 10 10 4 10 . ? tan ? tan ? tan ? ? ? ? ? 2 2 2 2 5 10 2 3 3

20. 【解析】 解: (1)由题知椭圆过点

?

2,1 。得

?

? c 2 ?e ? ? a 2 ? ?2 1 ? 2 ? 2 ? 1 解得: a ? 2, b ? c ? 2 。 ?a b ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?

x2 y 2 所以,椭圆方程为: ? ? 1。 4 2
(2)假设存在满足题意的定点 Q 。 当直线 l 平行于 x 轴时,

QA PA ? ? 1 , A, B 两点关于 y 轴对称,得 Q 在 y 轴上。不妨设 QB PB

Q ? 0, a ?
当直线 l 为 y 轴时,

QA QB

?

a ? 2 PA 1 ? 2 , ? , a ? 1 。解得 a ? 2 a ? 2 PB 1 ? 2

下证对一般的直线 l : y ? kx ? 1 , Q ? 0,2? 也满足题意。 由

QA PA ? 得 y 轴为 ?AQB 的角平分线。所以 kQA ? ?kQB 。 QB PB

不妨设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?

y1 ? kx1 ? 1, y2 ? kx2 ? 1
y1 ? 2 y ?2 ?? 2 ,化简得 2kx1 x2 ? x1 ? x2 ① x1 x2
又椭圆方程与直线方程联立得:

? y ? kx ? 1 2 2 , ?1 ? 2k ? x ? 4kx ? 2 ? 0 ? 2 2 ?x ? 2 y ? 4
x1 ? x2 ? ? 4k ?2 , x1 x2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

带入①得成立。 故假设成立。 综上存在点满足题意。

21.【解析】 (1) f ? x ? ? ?2 ? x ? a ? ln x ? x ? 2ax ? 2a ? a
2 2

? g ? x ? ? f ' ? x ? ? ?2 ln x ? 2 ?

2a ? 2 x ? 2a ? a ? 0, x ? 0 ? x

2 ? x2 ? x ? a ? ?2 2a ? g '? x? ? ? ?2? ? a ? 0, x ? 0? x x2 x2
令 g ' ? x ? ? 0 ,即 x ? x ? a ? 0 ? x ? 0? ,讨论此不等式的解,可得:
2

① 当 ? ? 1 ? 4a ? 0 时,即 a ? 调递增。 ② 当0 ? a ?

1 时,不等式恒成立。即 g ' ? x ? ? 0 恒成立,所以 g ? x ? 恒单 4

1 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 时, x1 ? ? ? 0, ? , x2 ? ? ? ,1? 4 2 2 ? 2? ?2 ?

所以 g ' ? x ? ? 0 的解为 0 ? x ?

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a 。所以 g ? x ? 在 ,x ? 2 2

0? x?

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a 时单调递增。 ,x ? 2 2
1 时, g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增。 4

综上:当 a ?

当0 ? a ?

1 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4 a 时, g ? x ? 在 (0, ), ( , ??) 上单调递增,在 4 2 2

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4 a ( , ) 上单调递减。 2 2
(2) 由(1)得 f ' ? x ? ? g ? x ? 在 ?1, ?? ? 内单调递增。且

f ' ?1? ? ?2 ? 2a ? 2 ? 2a ? ?4a ? 0 , f ' ? ??? ? 0 。由零点存在性定理得存在唯一 x0 ? ?1, ??? 使得
f ' ? x0 ? ? ?2ln x0 ? 2 ? 2a ? 2 x0 ? 2a ? 0 ①。 x0

所以 f ? x ? 在 (1, x0 ) 上单调递减, ( x0 , ??) 上单调递增。 所以满足 f ? x ? ? 0 在区间 ?1, ?? ? 内有唯一解只需满足 f ? x ?min ? f ? x0 ? ? 0 即可。

f ? x0 ? ? ?2 ? x0 ? a ? ln x0 ? x02 ? 2ax0 ? 2a2 ? a ? 0 ,将①带入化简得:
3 2a 2 ? ? 5 x0 ? 2 x0 2 ? a ? ? x0 ? 2 x0 2 ? ? 0

? 2a ? x0 ? ? a ? x02 ? 2 x0 ? ? 0
a? x0 , a ? 2 x0 ? x0 2 2
x0 ?1 ? ( x0 ? 1) 时,此时①变形为 2a ? 2ln 2a ? 3 ? 0 ,在 ? ,1? 上有解。令 2 ?2 ?

当a ?

h ? a ? ? 2a ? 2 ln 2a ? 3,, h ' ? a ? ? 2 ?
所以 h ? a ? 在 ? 0,1? 上单调递减。 h ?
2

2 2a ? 2 ? a a

?1? ? ? 1 ? 3 ? 0 不满足。 ?2?
2

当 a ? 2 x0 ? x0 时,此时①变形为 2x0 ? 2ln x0 ? 6 ? 0 在 ?1, 2 ? 上有解。 不妨设 h( x0 ) ? 2 x0 ? 2ln x0 ? 6, h ' ? x0 ? ? 4 x0 ?
2

2 4 x02 ? 2 ? x0 x0
2

h(1) ? ?4, h ? 2? ? 2 ? 2ln 2 ? 0 。 所以 h( x0 ) 在 ?1, 2 ? 上单调递增。 所以 2x0 ? 2ln x0 ? 6 ? 0 在

?1, 2? 上有解。
所以结论得证。


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