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河北省唐山一中2015-2016学年高一数学上学期期中试题


唐山一中 2015—2016 学年度第一学期期中考试 高一年级 数学试卷

说明: 1.考试时间 120 分钟,满分 150 分; 2.将卷Ⅰ答案用 2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案答在答题纸上; 3.Ⅱ卷答题纸卷头和答题卡均填涂本次考试的考号,不要误填学号,答题卡占后5位。 卷Ⅰ(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小

题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题所给的四个选项中,只 有一个是正确的.请把正确答案涂在答题卡上.) 1.设集合 A ? {x | x 2 ? x ? 2 ? 0} ,集合 B ? {x |1 ? x ? 3} ,则 A ? B = ( )

A.{x | ?1 ? x ? 3}
2.函数 y ?

B.{x | ?1 ? x ? 1}

C.{x |1 ? x ? 2}

D.{x | 2 ? x ? 3}
( )

x ln(1 ? x) 的定义域为
B. [0,1) C. (0,1] D. [0,1]

A. (0,1)

3.下列函数中,既是偶函数又在 (0, ??) 单调递增的函数是





A. y ? x 3
4.设函数 f ( x) ? ?

B. y ?| x | ?1

C. y ? ? x 2 ? 1

D. y ? 2?| x|
( )

?? x, x ? 0,
2 ? x , x ? 0.

若 f (a ) ? 4, 则实数 a ?

A. ? 4或 ? 2

B. ? 4或 2

C. ? 2或 4

D. ? 2或 2
( )

5.下列函数中,满足“ f ( x ? y ) ? f ( x) f ( y ) ”的单调递增函数是

A. f ( x) ? x

1 2

B. f ( x) ? x 3

1 C. f ( x) ? ( ) x 2

D. f ( x) ? 3x

6.设函数 f ( x) ? ?

?21? x , x ? 1, ?1 ? log 2 x, x ? 1,
B.[0, 2]

则满足 f ( x) ? 2 的 x 的取值范围是





A.[?1, 2]

C.[1, ?∞]

D.[0, +∞]
3 2

7. 已知 f ( x), g ( x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f ( x) ? g ( x) ? x ? x ? 1, 则

f (1) ? g (1) ? A. ? 3 B. ? 1 C. 1 D. 3





1

8. 函数 f ( x) ? 2 x | log 0.5 x | ?1 的零点个数为





A.

1

B.

2

C. 3

D. 4

9.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为 p ,第二年的增长率为 q ,则该市这 两年生产总值的年平均增长率为 ( )

A.

p?q 2

B.

( p ? 1)(q ? 1) ? 1 2

C. pq
x?m

D. ( p ? 1)(q ? 1) ? 1
( m 为实数)为偶函数,记 ( )

10. 已 知 定 义 在 R

上 的 函 数 f ? x? ? 2

?1

a ? f (log0.5 3),b ? f ? log2 5?,c ? f ? 2m? ,则 a、b、c 的大小关系为
A. a ? b ? c
11.如果函数 f ( x) ? 么 m?n 的最大值为

B. a ? c ? b

C. c ? a ? b

D. c ? b ? a

1 1 (m ? 2) x 2 ? (n ? 8) x ? 1 (m ? 0, n ? 0) 在区间 [ , 2] 上单调递减,那 2 2
( )

A .16

B. 18

C. 25

D.

81 2

12. 已知函数 f ( x) ? x(1 ? a | x |) . 设关于 x 的不等式 f ( x ? a) ? f ( x) 的解集为 A , 若
? 1 1? ? ? 2 , 2 ? ? A , 则实数 a 的取值范围是 ? ?





A. ? ?

?1? 5 ? ,0 ? ? ? 2 ?

B. ? ?
? ?

?1? 3 ? ,0 ? ? ? 2 ? 1? 5 ? ? 2 ? ?

C. ? ?

?1? 5 ? ? 1? 3 ? ,0 ? ??? ? 0, 2 ? ? ? 2 ? ? ?

D. ? ? ??,

卷Ⅱ(非选择题

共 90 分)

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 若 a ? log 4 5 ,则 2 ? 2
a
2

?a

?

.

14.函数 f ( x) ? log 1 ( x ? 4) 的单调递增区间为________________.
2

15. 关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? a ? 2 ? 0 在 (1,3) 内有两个不同实根,则 a 取值范围
2

为___________. 16.若函数 f ( x) ? x ? a | x ? 1| 在 [0, ??) 上单调递增,则实数 a 的取值范围________.
2

2

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分) (1)化简

4x 3 y 3
1 5 1

?

1

2

? 1 (? x ?2 y 6 )(?6 x 3 y 2 ) 3 1 2 (2) 求值 (lg 2) ? lg 20 ? lg 5 ? log 4 27 ? log 9 8 . 9



18.(本小题满分 12 分) 设集合 A ? { y | y ? 2 x ,1 ? x ? 2} , B ? {x | 0 ? ln x ? 1} ,

C ? {x | t ? 1 ? x ? 2t , t ? R} .
(1)求 A ? B ; (2)若 A ? C ? C ,求 t 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

x 是定义在 ?? 1,1?上的函数. 1 ? x2

(1)用定义法证明函数 f ?x ? 在 ?? 1,1?上是增函数; (2)解不等式 f ?x ? 1? ? f ?x ? ? 0 .

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x . (1)求函数 f ( x ) 的定义域及值域; (2)设 F ( x) ? m 1 ? x 2 ? f ( x) ,求函数 F ( x) 的最大值的表达式 g ( m) .

21.(本小题满分 12 分) 如图,长方体物体 E 在雨中沿面 P (面积为 S )的垂直方向做匀速移动,速度为 v ( v > 0),雨速沿 E 移动方向的分速度为 c ( c ∈ R ). E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分: ① P 或 P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与| v - c |× S 成正比, 1 比例系数为 ; 10

3

1 ②其他面的淋雨量之和,其值为 .记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量.当移动距离 2

d =100,面积 S = 时;
(1)写出 y 的表达式; (2)设 0< v ≤10,0< c ≤5,试根据 c 的不同取值范围,确定移动速度 v ,使总淋雨量 y 最 少.

3 2

22. (本小题满分 12 分) 定义在 R 上的增函数 y= f ( x ) 对任意 x、y ? R 都有 f ( x ? y ) = f ( x ) + f ( y ) . (1)求 f (0) ; (2)求证: f ( x ) 为奇函数; (3)若 f (k ? 3x ) + f (3x ? 9x ? 2) ? 0 对任意 x ? R 恒成立,求实数 k 的取值范围.

唐山一中 2015-2016 学年度第一学期期中考试 高一数学试题参考答案 一.选择题:1—5.ABBBC ,6—10 DCBDC ,11—12 BA. 二.填空题:13. 三.解答题: 17.解: (1)原式=2
2

11 6 5 ,14. (2, ??) ,15.(2, ) ,16. [?2, 0] . 5 5

?

=2x y=2y. ???????????5 分 =(lg2) +1﹣(lg2) + =
2 2

0

(2)原式=(lg2) +(1+lg2) (1﹣lg2)+

??????????????????????????????????10 分 18.解:(1) A ? { y | 2 ? y ? 4} , B ? {x | 1 ? y ? e} 所以 A ? B ? {t | 2 ? t ? e} ??????????????????????6 分 (2)因为 A ? C ? C ,所以 C ? A , 若 C 是空集,则 2t ? t ? 1 ,得到 t ? 1 .?????????????????8 分

?t ? 1 ? 2 ? 若 C 非空,则 ?2t ? 4 ,得 1 ? t ? 2 ;????????????????11 分 ?t ? 1 ? 2t ?
4

综上所述, t t ? 2? .????????????????????????12 分 19. 2.解: (1)证明:对于任意的 x1 , x2 ? ?? 1,1? ,且 x1 ? x 2 ,??????1 分 则
2 x1 ?1 ? x2 ? ? x2 ?1 ? x12 ? x1 x2 ? ? 2 1 ? x12 1 ? x2 ?1 ? x12 ??1 ? x22 ?

?

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ?

? x1 ? x2 ? ? x1 x2 ? x2 ? x1 ? ? ? x1 ? x2 ??1 ? x1 x2 ? ...........................................4分

?1 ? x ??1 ? x ?
2 1 2 2

?1 ? x ??1 ? x ?
2 1 2 2

2 ? ?1 ? x1 ? x2 ? 1 , ? x1 ? x2 ? 0, ?1 ? x12 ??1 ? x2 ? ? 0,

? x1 x2 ? 1,?1 ? x1 x2 ? 0 . ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ,即 f ?x1 ? ? f ?x2 ? .
∴函数 f ? x ? ?

x 在 ?? 1,1?上是增函数. ?????????????6 分 1 ? x2

(2)由已知及(Ⅰ)知, f ? x ? 是奇函数且在 ?? 1,1?上递增,

f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 0 ? f ? x ? 1? ? ? f ? x ? ? f ? x ? 1? ? f ? ? x ? ...............8分 ? ? ??1 ? x ? 1 ? 1 ? 0 ? x ? 2 ? ? 1 ? ? ?1 ? x ? 1 ? ??1 ? x ? 1 ? 0 ? x ? ..........................................11分 2 ? x ?1 ? ? x ? 1 ? ? x? ? 2 ?
∴不等式的解集为 ? 0, ? .?????????????????????12 分 20. 解: (1)函数 f(x)有意义,须满足 ,得﹣1≤x≤1, 2分
2

? ?

1? 2?

故函数定义域是{x|﹣1≤x≤1}.???????????? ∵ ∵f(x)≥0,∴ (2)∴ 令 ① 当 m>0 时, ∴g(m)=h(2)=m+2; , ,

∴2≤[f(x)] ≤4,

,即函数 f(x)的值域为 , ∵抛物线 y=h(t)的对称轴为 ,函数 y=h(t)在 上单调递增,

??4 分

②当 m=0 时,h(t)=t,g(m)=2??????????????????6 分
5

③当 m<0 时, 函数 y=h(t)在 ∴ 若 若 ,即 ,即

,若 上单调递减, ;

,即

时,

时, 时,函数 y=h(t)在 上单调递增,



∴g(m)=h(2)=m+2;??????????????????????10 分

综上得

.????????12 分

21. (1)由题意知,E 移动时单位时间内的淋雨量为:

3 1 |v-c|+ , 20 2

1? 5 100? 3 故 y= ? |v-c|+ ?= (3|v-c|+10).??????????????3 分 20 2? v v ? (2)由(1)知, 5 5?3c+10? 当 0<v≤c 时,y= (3c-3v+10)= -15; v v 5 5?10-3c? 当 c<v≤10 时,y= (3v-3c+10)= +15. ?????????7 分 v v 5?3c+10? ? ? v -15,0<v≤c, 故 y=? 5?10-3c? ? ? v +15,c<v≤10. 10 ①当 0<c≤ 时,y 是关于 v 的减函数, 3 3c 故当 v=10 时,ymin=20- .????10????????????????10 分 2 10 ②当 <c≤5 时, 在(0,c]上, y 是关于 v 的减函数; 在(c,10]上, y 是关于 v 的增函数. 故 3 50 当 v=c 时,ymin= .??????????????????????12 分 c 22. (1)解 令 x=y=0,得 f(0+0)=f(0)+f(0), 即 f(0)= 0. ?????????????????????????????????????? ???.?4 分 (2)证明 令 y=-x,得 f(x-x)=f(x)+f(-x), 又 f(0)=0,则有 0=f(x)+f(-x), 即 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 成立,

???????????????8 分

6

所以 f(x)是奇函数.?????????????????????????8 分 2 x x x x (3) 由 k·3 <-3 +9 +2,得 k<3 + x-1.① 3 2 2 x x u=3 + x-1,令 3 =t( t ? 0) ,则函数 u(t)= t+ -1 在(0, 2)递减,在( 2, + 3 t ∞)递增,∴当 t= 2时,umin=2 2-1, 2 x 要使对 x∈R,不等式 k<3 + x-1 恒成立 ? k< umin=2 2-1. 3 ∴综上:k 的取值范围为: (-∞,2 2-1). ???????????????12 分

7


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