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2015年普通高等学校招生统一考试湖北省文数卷word版


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2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)



学(文史类)

本试题卷共 5 页,22 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。

★ 祝考试顺利★
注意事项: 1.答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证

号条形码粘贴在答 题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试 题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. i 为虚数单位, i 607 ? A. ?i B. i C. ?1 D.1

2.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为 A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1365 石

3.命题“ ? x0 ? (0, ??) , ln x0 ? x0 ? 1 ”的否定是 A. ? x0 ? (0, ??) , ln x0 ? x0 ? 1 C. ? x ? (0, ??) , ln x ? x ? 1 B. ? x0 ? (0, ??) , ln x0 ? x0 ? 1 D. ? x ? (0, ??) , ln x ? x ? 1

4.已知变量 x 和 y 满足关系 y ? ? 0.1x ? 1 ,变量 y 与 z 正相关. 下列结论中正确的是 A. x 与 y 负相关, x 与 z 负相关 C. x 与 y 正相关, x 与 z 负相关 B. x 与 y 正相关, x 与 z 正相关 D. x 与 y 负相关, x 与 z 正相关

5. l1 , l2 表示空间中的两条直线,若 p: l1 , l2 是异面直线;q: l1 , l2 不相交,则 A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 C.p 是 q 的充分必要条件

D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 6.函数 f ( x) ? 4? | x | ? lg A. (2, 3) C. (2, 3)
(3, 4]

x 2 ? 5x ? 6 的定义域为 x ?3
B. (2, 4] D. (?1, 3)
x ? 0, x ? 0, 则 x ? 0.
(3, 6]

? 1, ? 7.设 x ? R ,定义符号函数 sgn x ? ? 0, ? ?1, ?

A. | x | ? x | sgn x | C. | x | ? | x | sgn x

B. | x | ? x sgn | x | D. | x | ? x sgn x

8. 在区间 [0, 1] 上随机取两个数 x, y ,记 p1 为事件“ x ? y ? 的概率,则 A. p1 ? p2 ? C. p2 ?

1 1 ”的概率, p2 为事件“ xy ? ” 2 2

1 2

B. p1 ? D.

1 ? p2 2

1 ? p1 2

1 ? p2 ? p1 2

9.将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b (a ? b) 同时增加 m (m ? 0) 个单位 长度,得到离心率为 e2 的双曲线 C2 ,则 A.对任意的 a, b , e1 ? e2 C.对任意的 a, b , e1 ? e2 B.当 a ? b 时, e1 ? e2 ;当 a ? b 时, e1 ? e2 D.当 a ? b 时, e1 ? e2 ;当 a ? b 时, e1 ? e2

10.已知集合 A ? {( x, y) x2 ? y2 ? 1, x, y ? Z} , B ? {( x, y) | x |? 2 , | y |? 2, x, y ? Z} ,定义集合
A ? B ?{ ( 1x ? 2 x , 1y ? 2 y) ( 1x, 1 y? )
A ? B 中元素的个数为 ,则 A , (2x , 2y ?) B}

A.77

B.49

C.45

D.30

二、 填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 5 分, 共 35 分. 请将答案填在答题卡对应题号 的位 ....... 错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11.已知向量 OA ? AB , | OA |? 3 ,则 OA ? OB ? _________.
? x ? y ? 4, ? 12.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2, 则 3x ? y 的最大值是_________. ?3 x ? y ? 0, ?

置上. 答

π 13.函数 f ( x) ? 2sin x sin( x ? ) ? x 2 的零点个数为_________. 2
14.某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行统计,发现消费金额 (单位:万元)都在区间 [0.3, 0.9] 内,其频率分布直方图如图所示. (Ⅰ )直方图中的 a ? _________; (Ⅱ)在这些购物者中,消费金额在区间 [0.5, 0.9] 内的购物者的人数为_________.
D

C B A

第 14 题图

第 15 题图

15. 如图, 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶, 到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30 的 方向上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75 的方向上,仰角为 30 ,则此山的高度
CD ? _________m.

y B C A O T
第 16 题图

16.如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T (1, 0) ,与 y 轴正半 轴交于两点 A,B(B 在 A 的上方) ,且 AB ? 2 . (Ⅰ )圆 C 的标准 方程为_________; .. (Ⅱ )圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为_________.

x

17. a 为实数,函数 f ( x) ? | x2 ? ax | 在区间 [0, 1] 上的最大值记为 g (a) . 当 a ? _________时, g (a) 的 值最小.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 12 分)

π 某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(?x ? ?) (? ? 0, | ? | ? ) 在某一个周期内的图象 2 时,列表并填入了部分数据,如下表:
?x ? ?
0

x
A sin(? x ? ? )

π 2 π 3
5

π

3π 2 5π 6
?5



0

0

(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置 ,并直接写出函数 f ( x) 的解 ........... 析式; (Ⅱ)将 y ? f ( x) 图象上所有点向左平行移动

π 个单位长度,得到 y ? g ( x) 图象,求 6 y ? g ( x) 的图象离原点 O 最近的对称中心.

19. (本小题满分 12 分)
q?d, 设等差数列 {an } 的公差为 d, 前 n 项和为 Sn , 等比数列 {bn } 的公比为 q. 已知 b1 ? a1 , b2 ? 2 ,

S10 ? 100 .

(Ⅰ )求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ )当 d ? 1 时,记 cn ? 20. (本小题满分 13 分) 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为 直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马 P ? ABCD 中,侧棱 PD ? 底面 ABCD ,且 PD ? CD ,点 E 是 PC 的 中点,连接 DE , BD, BE . (Ⅰ)证明: DE ? 平面 PBC . 试判断四面体 EBCD 是 否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需 写出结论) ;若不是,请说明理由; (Ⅱ)记阳马 P ? ABCD 的体积为 V1 ,四面体 EBCD 的 体积为 V 2 ,求
V1 的值. V2

an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn

第 20 题图

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) , g ( x) 的定义域均为 R ,且 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,
f ( x) ? g ( x) ? e x ,其中 e 为自然对数的底数.

(Ⅰ)求 f ( x) , g ( x) 的解析式,并证明:当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 , g ( x) ? 1 ; (Ⅱ)设 a ? 0 , b ? 1 ,证明:当 x ? 0 时, ag ( x) ? (1 ? a) ? 22. (本小题满分 14 分) 一种画椭圆的工具如图 1 所示. O 是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕 O 转动,长杆 MN 通过 N 处 铰链与 ON 连接,MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且 DN ? ON ? 1 , MN ? 3 .当栓子 D 在滑 槽 AB 内作往复运动时,带动 ..N 绕 O 转动,M 处的笔尖画出的椭圆记为 C.以 O 为原点, AB 所 在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设动直线 l 与两定直线 l1 : x ? 2 y ? 0 和 l2 : x ? 2 y ? 0 分别交于 P, Q 两点.若直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出 该最小值;若不存在,说明理由.

f ( x) ? bg ( x) ? (1 ? b) . x

y

N A D O B

N D O x

M
第 22 题图 1

M
第 22 题图 2

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2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)

数学(文史类)试题参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.A 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C 7.D 8.B 9.D 10.C

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分) 11.9 15.100 6 12.10 13.2 14.(Ⅰ)3;(Ⅱ)6000 17. 2 2 ? 2 三、解答

16.(Ⅰ) ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 ;(Ⅱ) ?1 ? 2

题(本大题共 5 小题,共 65 分) 18. (12 分)

π (Ⅰ)根据表中已知数据,解得 A ? 5, ? ? 2, ? ? ? . 数据补全如下表: 6
?x ? ?
0

x
A sin(? x ? ? )

π 12
0

π 2 π 3
5

π
7π 12
0

3π 2 5π 6
?5



13 π 12
0

π 且函数表达式为 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) . 6 π π π π (Ⅱ )由(Ⅰ)知 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ,因此 g ( x) ? 5sin[2( x ? ) ? ] ? 5sin(2 x ? ) . 6 6 6 6 π kπ π 因为 y ? sin x 的对称中心为 (kπ, 0) , k ? Z . 令 2 x ? ? kπ ,解得 x ? ? ,k ?Z . 6 2 12 kπ π 即 y ? g ( x) 图象的对称中心为( ? , , k ? Z ,其中离原点 O 最近的对称中心为 0 ) 2 12 π (? , 0) . 12 19. (12 分)
?10a1 ? 45d ? 100, ?2a1 ? 9d ? 20, (Ⅰ )由题意有, ? 即? ?a1d ? 2, ?a1d ? 2,
1 ? a ? (2n ? 79), ? a1 ? 9, ? ? a1 ? 1, ? n 9 ?an ? 2n ? 1, ? ? 解得 ? 或? 或? 2 故? n ?1 d? . ? ? d ? 2, ?b ? 9 ? ( 2 ) n ?1 . ?bn ? 2 . ? 9 ? n ? 9 ?

(Ⅱ )由 d ? 1 ,知 an ? 2n ? 1 , bn ? 2n?1 ,故 cn ?

2n ? 1 ,于是 2n?1
① ②

3 5 7 9 2n ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? n?1 , 2 2 2 2 2 1 1 3 5 7 9 2n ? 1 Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? n . 2 2 2 2 2 2 2 ①-②可得 Tn ? 1 ?
1 1 1 Tn ? 2 ? ? 2 ? 2 2 2 2n ? 3 故 Tn ? 6 ? n ?1 . 2
20. (13 分) (Ⅰ)因为 PD ? 底面 ABCD ,所以 PD ? BC . 由底面 ABCD 为长方形,有 BC ? CD ,而 PD

?

1 2
n?2

?

2n ? 1 2n ? 3 ? 3? n , n 2 2

CD ? D ,

所以 BC ? 平面 PCD . DE ? 平面 PCD ,所以 BC ? DE . 又因为 PD ? CD ,点 E 是 PC 的中点,所以 DE ? PC . 而 PC
BC ? C ,所以 DE ? 平面 PBC .

由 BC ? 平面 PCD , DE ? 平面 PBC ,可知四面体 EBCD 的四个面都是直角三角形,
DEC , ? DEB . 即四面体 EBCD 是一个鳖臑,其四个面的直角分别是 ?BCD , ?BCE , ?

1 1 (Ⅱ)由已知, PD 是阳马 P ? ABCD 的高,所以 V1 ? S ABCD ? PD ? BC ? CD ? PD ; 3 3 由(Ⅰ)知, DE 是鳖臑 D ? BCE 的高, BC ? CE , 1 1 所以 V2 ? S?BCE ? DE ? BC ? CE ? DE . 3 6
在 Rt △ PDC 中,因为 PD ? CD ,点 E 是 PC 的中点,所以 DE ? CE ?
2 CD , 2

1 BC ? CD ? PD V1 3 2CD ? PD 于是 ? ? ? 4. 1 V2 CE ? DE BC ? CE ? DE 6 21. (14 分)
(Ⅰ)由 f ( x) , g ( x) 的奇偶性及
f ( x) ? g ( x) ? e x ,

① ②



? f ( x) ? g ( x ) ? e ? x .

1 1 联立①②解得 f ( x) ? (e x ? e ? x ) , g ( x) ? (ex ? e? x ) . 2 2
当 x ? 0 时, e x ? 1 , 0 ? e ? x ? 1 ,故 f ( x) ? 0. ③ ④

1 又由基本不等式,有 g ( x) ? (e x ? e? x ) ? ex e? x ? 1 ,即 g ( x) ? 1. 2

1 1 1 ex 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ?( x) ? (e x ? x )? ? (e x ? 2 x ) ? (e x ? e? x ) ? g ( x) , 2 e 2 e 2

⑤ ⑥ ⑦ ⑧

1 1 1 ex 1 g ?( x) ? (e x ? x )? ? (e x ? 2 x ) ? (e x ? e? x ) ? f ( x) , 2 e 2 e 2
当 x ? 0 时,

f ( x) ? ag ( x) ? (1 ? a) 等价于 f ( x) ? axg ( x) ? (1 ? a) x , x f ( x) ? bg ( x) ? (1 ? b) 等价于 f ( x) ? bxg ( x) ? (1 ? b) x. x

设函数 h( x) ? f ( x) ? cxg ( x) ? (1 ? c) x , 由⑤⑥,有 h?( x) ? g ( x) ? cg ( x) ? cxf ( x) ? (1 ? c) ? (1 ? c)[ g ( x) ? 1] ? cxf ( x). 当 x ? 0 时, (1)若 c ? 0 ,由③④,得 h?( x) ? 0 ,故 h( x) 在 [0, ??) 上为增函数,从而 h( x) ? h(0) ? 0 , 即 f ( x) ? cxg ( x) ? (1 ? c) x ,故⑦ 成立. (2)若 c ? 1 ,由③④,得 h?( x) ? 0 ,故 h( x) 在 [0, ??) 上为减函数,从而 h( x) ? h(0) ? 0 , 即 f ( x) ? cxg ( x) ? (1 ? c) x ,故⑧ 成立. 综合⑦ ⑧ ,得 ag ( x) ? (1 ? a) ? 22. (14 分) (Ⅰ)因为 | OM | ? | MN | ? | NO |? 3 ? 1 ? 4 ,当 M , N 在 x 轴上时,等号成立; 同理 | OM | ? | MN | ? | NO |? 3 ? 1 ? 2 ,当 D, O 重合,即 MN ? x 轴时,等号成立. 所以椭圆 C 的中心为原点 O ,长半轴长为 4 ,短半轴长为 2 ,其方程为
y P N D M O Q x

f ( x) ? bg ( x) ? (1 ? b) . x

x2 y 2 ? ? 1. 16 4

第 22 题解答图 1 (Ⅱ) (1)当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 为 x ? 4 或 x ? ?4 ,都有 S?OPQ ? ? 4 ? 4 ? 8 . 2

1 (2)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l : y ? kx ? m (k ? ? ) , 2
? y ? kx ? m, 由? 2 2 ? x ? 4 y ? 16,

消去 y ,可得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 16 ? 0 .

因为直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点, 所以 ? ? 64k 2 m2 ? 4(1 ? 4k 2 )(4m2 ? 16) ? 0 ,即 m2 ? 16k 2 ? 4 . ①

? y ? kx ? m, 2m m ?2m m 又由 ? 可得 P( , ) ;同理可得 Q( , ). x ? 2 y ? 0, 1 ? 2 k 1 ? 2 k 1 ? 2 k 1 ? 2k ?

由原点 O 到直线 PQ 的距离为 d ?
S?OPQ ?

|m| 1? k
2

和 | PQ |? 1 ? k 2 | xP ? xQ | ,可得 ②

1 1 1 2m 2m 2m 2 | PQ | ?d ? | m || xP ? xQ |? ? | m | ? ? . 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 4k 2
4k 2 ? 1 2m 2 ? 8 . 1 ? 4k 2 4k 2 ? 1

将①代入②得, S ?OPQ ? 当 k2 ?

4k 2 ? 1 2 1 时, S?OPQ ? 8( 2 ) ? 8(1 ? 2 ) ? 8 ; 4 4k ? 1 4k ? 1 4k 2 ? 1 2 1 时, S?OPQ ? 8( ) ? 8(?1 ? ). 2 4 1 ? 4k 1 ? 4k 2
1 2 2 ,则 0 ? 1 ? 4k 2 ? 1 , ? 2 ,所以 S?OPQ ? 8(?1 ? )?8, 4 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

当 0 ? k2 ? 因 0 ? k2 ?

当且仅当 k ? 0 时取等号. 所以当 k ? 0 时, S?OPQ 的最小值为 8. 综合(1) (2)可知,当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时,△OPQ 的面积取得最小 值 8.


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