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平面向量的加减法


温故知新 零向量 长度等于 零 的向量,记作 0 方向 相同或相反 的非零向量.
? 向量a,b平行,记作 a∥b .

单位向量 长度等于 1个单位 的向量
平行向量

(共线向量)

规定:零向量与任一向量 平行 长度 相等 且方向 相同 的向量.

相等向量

/>向量a,b相等,记作 a=b

平面向量的线性运算
——向量的加法运算

创设情境

兴趣导入

王涛同学从家中(A处)出发,向正南方向行走500 m到 达超市(B处),买了文具后,又沿着北偏东60°角方向行 走200 m到达学校(C处)(如 图).王涛同学这两次位移的 总效果是从家(A处)到达了学 校(C处).
???? ???? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? 位移 AC 叫做位移 AB 与位移 BC 的和,记作 AC ? AB ? BC.
500m C 200m A

向量加法运算及其几何意义

探究:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
E
O

E
O

F

F1+F2=F

力F对橡皮条产生的效果,与力F1和F2共同作用 产生的效果相同,物理学中把力F叫做F1和F2的合力.

从力的合成看向量运算
? 橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点; 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点. ? 问:合力F与力F1、F2有怎样的关系? F1+F2=F
E
O

E
O

F

F

F是以F1与F2为邻边所形成的 平行四边形的对角线

向量加法运算及其几何意义

? 向量加法的定义:我们把求两个向量

? ? ? ? 和的运算,叫做向量的加法, a ? b 叫做 a , b
的和. 两个向量的和仍然是一个向量.

? ? a, b

向量的加法运算
??? ??? ???? ? ? ? 运动的合成 AB + BC = AC
? 力的合成 F1 + F2 = F
F2 A F1 B

C

F

数的加法启发我们,从运算的角度看, AC可以认为 是AB与BC的和,F可以认为是F1与F2的和,即位移、力的 合成可以看作向量的加法。

? 向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法 ? 向量的加法法则:三角形法则、平行四边形法则

? ? ? ? 已知向量a, b , 求作向量a ? b

a
B

向量加法法则

b a

a?b
作法:

b
C


b

a

A

a?b
B C

作法:

1.在平面内任取一点A 2.作 AB ? a , BC ? b 则向量AC ? a ? b

1.在平面内任取一点O 2.作OA ? a , OB ? b 则向量OC ? a ? b

首尾相接,首尾连

起点相同,连对角

动脑思考
D C B

探索新知

如图所示,ABCD为平行四边形,由于

A

???? ??? ? AD ? BC, 根据三角形法则得
??? ???? ??? ??? ???? ? ? ? AB ? AD ? AB ? BC ? AC.

???? AD 的和.这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则.

???? ??? ? 这说明,在平行四边形ABCD中, 所表示的向量就是AB 与 AC

平行四边形法则不适用于共线向量,可以验证,向量的加法 具有以下的性质: (1) a+0 = 0+a=a; a+(? a)= 0; (2) a+b = b+a; (3) (a+b)+ c = a +(b+c).

向量加法法则总结与拓展
? 向量加法的三角形法则: – 1.将向量平移使得它们首尾相连 – 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾 ? 向量加法的平行四边形法则: – 1.将向量平移到同一起点 – 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的 对角线 ? 三角形法则推广为多边形法则:
??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? 多个向量相加, 如:AB ? BC ? CD ? DE ? EF ? AF ,

这时也必须“首尾相连”.

动脑思考
D C B

探索新知

如图所示,ABCD为平行四边形,由于

A

???? ??? ? AD ? BC, 根据三角形法则得
??? ???? ??? ??? ???? ? ? ? AB ? AD ? AB ? BC ? AC.

???? AD 的和.这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则.

???? ??? ? 这说明,在平行四边形ABCD中, 所表示的向量就是AB 与 AC

平行四边形法则不适用于共线向量,可以验证,向量的加法 具有以下的性质: (1) a+0 = 0+a=a; a+(? a)= 0; (2) a+b = b+a; (3) (a+b)+ c = a +(b+c).

探究一:当向量共线时,如何相加?
(1)同向 (2)反向

a

a

b
A B C B

b
C A

???? ? ? AC = a + b
规定: ? 0 ? 0 ? a ? a a

???? ? ? AC = a + b

探究二:向量的加法是否具备交换律和结合律?
? 数的加法满足交换律与结合律,即对任意a,b∈R, 有a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c) ? 向量的加法具备吗?你能否画图解释?

向量加法满足交换律和结合律: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? b ? a (a+b)+c ? a ? (b ? c)

以上两个运算律可以推广到任意多个向量.

巩固知识

典型例题

例3 一艘船以12 km/h的速度航行,方向垂直于河岸,已知水流 速度为5 km/h,求该船的实际航行速度. ???? ??? ? 解 如图所示,AB表示船速,AC 为水流 B D 速度,由向量加法的平行四边形法则,
???? AD 是船的实际航行速度,显然

???? AD ?

??? 2 ???? 2 ? AB ? AC

? 122 ? 52

=13.
tan ?CAD ? 12 5

C

A

利用计算器求得 ?CAD ? 67?23? 即船的实际航行速度大小是13km/h,其方向与河岸线的夹角约67?23?.

巩固知识

典型例题

例4 用两条同样的绳子挂一个物体,设物体的重力为k,两条 绳子的方向与垂线的夹角为 ? ,求物体受到沿两条绳子的方向的 拉力 f1与 f 2 的大小. 解 利用平行四边形法则,可以得到
f1 ? f2 ? 2 f1 cos? ? k ,
k f2 f1

所以
f1 ? k 2 cos ? .

动脑思考

探索新知

根据例题4的分析,判断在单杠上悬挂身体时,两臂 成什么角度时,双臂受力最小?

运用知识
计算:

强化练习
??? ??? ??? ? ? ? OB ? 2?    ? BC ? CA.

??? ??? ??? ? ? ? AB ?1?    ? BC ? CD ;

???? ??? ? ?1? AD;  ? OA. ?2

平面向量的线性运算
——向量的减法运算

向量的减法

减去一个数等于加上这个数的相反数,向量
的减法是否也有类似的法则?

相反向量 规定与a长度相等,方向相反的向量叫做a的 相反向量,记作-a,显然-(-a)=a, 规定,零向量的相反向量仍是零向量。

向量减法的定义 任一向量与其相反向量的和是零向量, 即 a+(-a)=(-a)+a=0,所以,如果a、b是互为相反的 向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0,

定义:a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加 上这个向量的相反向量。

动脑思考
为向量a与向量b的差.即 设a ? OA , b
??? ?

探索新知

与数的运算相类似,可以将向量a与向量b的负向量的和定义 a ? b = a+(?b).
??? ? ? OB ,则

??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? OA ? OB ? OA ? (?OB)= OA ? BO ? BO ? OA ? BA .



??? ??? ??? ? ? ? OA ? OB ? BA .

(7.2)

观察图可以得到:起点相同的 a-b

两个向量a、 b,其差a ? b仍然是一
个向量,其起点是减向量b的终点,

B b O a

A

终点是被减向量a的终点.

运算法则
已知a、b, a-b可以表示为从向量b 的终点指向向量a的终点的向量.

巩固知识

典型例题

例5 已知如图所示向量a 、b ,请画出向量a ? b.

a b

解 如图所示,以平面上任一点O
??? ? ??? ? 为起点,作 OA =a,OB =b,连接BA,

则向量 BA 为所求,即
O a A b
??? ? BA = a ? b .

??? ?

B

探究三:当向量共线时,如何相减?
(1)同向

a b
a ?b

(2)反向

a
b

a
b

a ?b

探究四:平行四边形法则的两条对角线
D C

a
A

AC ? a ? b BD ? AD ? AB ? a ? b

b

B

运用知识
计算:

强化练习
??? ??? ? ? BC ? 2?    ? BA .

??? ???? ? AB ?1?    ? AD ;

??? ? ??? ? ?1? DB;  ? AC. ?2

创设情境
???? OC ? 3 a
a a a

兴趣导入

??? ? 观察下图可以看出向量 OC与向量a共线,并且

a

O

A

B

C

3a是一个向量,其方向与a的方向相同,其模是a的模的3倍,即 |3a| = 3|a| .

动脑思考

探索新知

一般地,实数 ? 与向量a的积是一个向量,记作 ? a,它的模为

| ?a |?| ? || a |

(7.3)

若| ? a |? 0,则当 ? ? 0 时, ? a的方向与a的方向相同,当

? ? 0时, ? a的方向与a的方向相反.
由上面定义可以得到,对于非零向量a、b,当 ? ? 0 时,有
a ∥ b ? a ? ? b.

(7.4)

动脑思考
一般地,有 0a= 0, λ0 = 0 .

探索新知

数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算,容易验证,对于 任意向量a, b及任意实数?、?,向量数乘运算满足如下的法则: 向量加法及数乘运算 1a ?1?    ? a,?1? a ? ?a ; ? 在形式上与实数的有关运算规 ?? ? 2?    ? a ? ? ? ? a ? ? ? ? ?a ?; ?律相类似,因此,实数运算中 的去括号、移项、合并同类项 ? ?3?    ? ? ? a ? ?a ? ?a; ?等变形,可直接应用于向量的 运算中.但是,要注意向量的 运算与数的运算的意义是不同 a ?4?  ? ?.? b? ? ?a ? ?b. 的 请画出图形来,分别验证这些法则.

巩固知识
例6
???? ???? ???? OD AD =b,试用a, b表示向量AO 、 .

典型例题

??? ? 在平行四边形ABCD中,O为两对角线交点如图, AB =a,



???? ???? AC =a+b, BD =b ? a,

因为O分别为AC,BD的中点,所以 ???? 1 ???? 1 1 1 AO ? AC ? (a+b)= a+ b, 2 2 2 2 ???? 1 ??? 1 ? 1 1 OD ? BD ? (b ? a)= ? a+ b, 2 2 2 2

???? ???? AO、 可以用向量a,b线性表示. OD

1 1 1 1 a+ b和 ? a+ b 都叫做向量a,b的线性组合,或者说, 2 2 2 2

巩固知识
一般地, a+ ?

典型例题

? ? b叫做a, b的一个线性组合(其中 ,?

均为实数),如果l = ? a+? b,则称l可以用a,b线性表示.

向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算.

运用知识

强化练习

计算: (1)3(a ? 2 b) ? 2(2 a+b); (2)3 a ? 2(3 a ? 4 b)+3(a ? b).

(1) ? a ? 8b ; (2)5b .

自我反思

目标检测

向量、向量的模、向量相等是如何定义的?

当一种量既有大小,又有方向,例如力、速度、 位移等,这种量叫做向量(矢量) ??? ? 向量的大小叫做向量的模.向量a, AB 的模依次 ???? ? 记作 a ,AB. 向量a与向量b的模相等并且方向相同时,称向量 a与向量b相等,记作a = b .

继续探索

活动探究

读书部分:阅读教材相关章节 书面作业:教材习题7.1A组(必做) 教材习题7.1B组(选做) 实践调查:试着用向量的观点解释 生活中的一些问题.

作业


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