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中学数学竞赛2


一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.设 a=( ) ,b=( ) ,c=( )
3 2 3 2
3 2

3

2 3

2



2 3

,则(

)

(A)a>b>c (B)a<b

<c (C)a>b=c (D)a<b=c 2.一个两位数,它的各位数字之和的 3 倍与这个数加起来所得的和恰好是原数的两个数码 交换位置后所得的两位数,满足这样条件的两位数( ) (A)有一个 (B)有四个 (C)有五个 (D)不存在 x x 3.若|3 -log3x|=3 +log3x=k,则 k 的值为( ) (A)3 (B)1 (C)0 (D)不能确定 2 4.已知关于 x 的两个一元二次方程 x +ax+a=0 和 x2+x-2a-1=0,下列结论正确的是 ( ) (A)对于任意 a 值,两个方程都有实根 (B)对于某些 a 值,两个方程都无实根 (C)对于任意 a 值,两个方程中有一个并且只有一个有实根 (D)以上均不正确 5.四边形 ABCD 中,AB=CD, AD≠BC,M、N 分别是 AD、BC 的中点。则 AB 与 MN 的 大小关系是( ) (A)AB=MN (B)AB<MN (C)AB>MN (D)以上三种情况都有可能出 现 6. 使得 2n(n+1)(n+2)(n+3)+12 可表成两个自然数的平方和的自然数的 n 的个数是( ) (A)0 (B)1 (C)有限的(但多于 1) (D)无限多的 二、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 7.(x+y)(x-y)+4(y-1)因式分解后的结果是_________________________。 8.关于 x 的方程 x2+mx+m=0 的两个实根的平方和为 3,则 m=_________。 9.已知三角形的一边长为 13cm,该边上的中线长为 6.5cm,面积为 30cm2,则三角形的周 长 为________cm。 10.已知 x=-2-
5

,则 x5+6x4+7x3-4x2-8x+1 的值为_________。

11.已知三角形三边长为连续自然数,且一条中线垂直于一个内角的 A 平分线,则三角形的三边长分别为_________。 12.如图,△ABC 中,DE//BC,EF//AB, D E 若△ADE、△EFC 的面积分别为 20cm2、 45cm2,则四边形 BFED 的面积为_________cm2。 B C F 13.已知 a 为整数,直线 y=10x+a 与两坐标轴所围成的三角形的面 积数为质数,则这个质数 是________。 14.△ABC 中,∠A=70°,D 为边 AC 上一点,∠A 的平分线 AE 交 BD 于 H,且 AH: HE =3:1,BH:HD=5:3,则∠C=_________。 三、解答题(18 分) 15.△ ABC 中,∠C=30°,BM 是中线,AC=2a,若沿 BM 将三角形对折起来,那么两

个小三角形 ABM 和 BCM 重叠部分的面积恰好等于△ABC 面积的四分之一。试求△ ABC 的面积。

四、综合题(18 分) 16.有三堆小石子的个数分别是 19、8、9,现在进行如下的操作:每次从这三堆中的任意 两堆中分别取出一个石子, 然后把这 2 个石子都加到另一堆中去, 试问能否经过若干次 这样的操作后,使得 (1)三堆的石子数有一堆是 2,有一堆是 12,有一堆是 22 (2)三堆的石子数都是 12


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