当前位置:首页 >> 数学 >> 湖北省黄冈中学2015届高三上学期期末数学试卷(理科)

湖北省黄冈中学2015届高三上学期期末数学试卷(理科)


湖北省黄冈中学 2015 届高三上学期期末数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)若直线 l1:2x+(m+1)y+4=0 与直线 l2:mx+3y﹣2 =0 平行,则 m 的值为() A.﹣2 B . ﹣3 C.2 或﹣3 D.﹣2 或﹣3 2. (5 分)设全集 U=R,A={x||x+1|<1},B={x|( ) ﹣2≥0},则图中阴影部分所表示的集合 ()
x

A.(﹣2,0)

B.(﹣2,﹣1]

C.(﹣1,0]

D.(﹣1,0)

3. (5 分)下列有关命题的说法正确的是() A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1” 2 B. “x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 C. 命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 2 2 D.命题“?x∈R 使得 x +x+1<0”的否定是“?x∈R 均有 x +x+1<0” 4. (5 分)设向量 向的投影为() A. B. C. D.1 , 是夹角为 的单位向量,若 =3 , = ﹣ ,则向量 在 方
2 2

5. (5 分)已知等比数列{an}的首项 a1=2014,公比为 q= ,记 bn=a1a2a3…an,则 bn 达到最大 值时,n 的值为() A.10

B.11

C.12

D.不存在

6. (5 分) 在如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz 中, 一个四面体的顶点坐标分别是 (0, 0, 2) , (2,2,0) , (2,1,1) , (2,2,2) .给出编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体 的侧视图和俯视图分别为()

A.①和②

B.①和③

C.③和②

D.④和②

7. (5 分)已知在△ ABC 中,边 a、b、c 的对角为 A、B、C,A=30°,b=6,C∈[60°,120°], 2 则此三角形中边 a 的取值使得函数 f(x)=lg(ax ﹣ax+1)的值域为 R 的概率为() A. B. C. D.

8. (5 分)近期由于雨雪天气,路况不好,某人驾车遇到紧急情况而刹车,以速度 v(t)=7 ﹣3t+ (t 为时间单位 s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;m)是() B.4+25ln5 C.8+25ln D.4+50ln2

A.1+25ln5

9. (5 分)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,若双曲线右支上

存在一点 P,使得 F2 关于直线 PF1 的对称点恰在 y 轴上,则该双曲线的离心率 e 的取值范围 为() A.1<e< B.e> C . e> D.1<e<

10. (5 分)已知函数 f(x)= ﹣2x+1 的取值范围() A.(1,10) B.[2,10]

+

,若 x,y 满足 f(x+1)﹣f(y)>0,则 x +y

2

2

C. (





D.[

,+∞]

二、填空题:本大题共 4 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在 答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11-14 题) 11. (5 分)复平面内与复数 z=
8

所对应的点关于实轴对称的点为 A,则 A 对应的复数为.
7 8

12. (5 分)设(1﹣x) =a0+a1x+…+a7x +a8x ,则|a1|+…+|a7|+|a8|=. 13. (5 分)已知实数 x,y,z 满足 2x+y+3z=32,则 为. 的最小值

14. (5 分)定义在(0,+∞)上的函数 f(x)满足 :①当 x∈[1,3)时,f(x)=1﹣|x﹣2|; ②f(3x)=3f(x) .设关于 x 的函数 F(x)=f(x)﹣a 的零点从小到大依次为 x1,x2,…, xn,….若 a=1,则 x1+x2+x3=;若 a∈(1,3) ,则 x1+x2+…+x2n=.

三、 【选修 4-1:几何证明选讲】 (共 1 小题,满分 5 分) 15. (5 分)如图,圆 O 的直径 AB=8,C 为圆周上一点,BC=4,过 C 作圆的切线 l,过 A 作 直线 l 的垂线 AD,D 为垂足,AD 与圆 O 交于点 E,则线段 AE 的长为.

[来源:学#科#网 Z#X#X#K] 四、 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (共 1 小题,满分 0 分)

16. 直线 l 的参数方程是

(其中 t 为参数) , 圆 c 的极坐标方程为 ρ=2cos (θ+

) ,

过直线上的点向圆引切线,则切线长的最小值是.[来源:学科网 ZXXK]

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (12 分)已知向量 =(2cosωx,2) , =(2cos(ωx+ 的图象与直线 y=﹣2+ 的相邻两个交点之间的距离为 π. (Ⅰ)求函数 f(x)在[0,2π]上的单调递增区间; (Ⅱ)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 y=g(x)的图象.若 y=g(x)在[0, ) ,0) (ω>0) ,函数 f(x)= ?

b](b>0)上至少含有 6 个零点,求 b 的最小值. 18. (12 分)已知等差数列{an}满足:an+1>an(n∈N ) ,a1=1,该数列的前三项分别加上 1,1, 3 后顺次成为等比数列{bn}的前三项. (Ⅰ)分别求数列{an},{bn}的通项公式 an,bn; (Ⅱ)设 最小值. 19. (12 分)私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生活中我们应该提倡 低碳生活,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾出一份力.为此,很多城市实 ,若 恒成立,求 c 的
*

施了机动车车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了 50 人, 将调查情况进行整理后制成下表: 年龄(岁) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75] 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 4 6 9 6 3 4

(Ⅰ)完成被调查人员的频率分布直方图; (Ⅱ)若从年龄在[15,25) ,[25,35)的被调查者中各随机选取 2 人进行追踪调查,求恰有 2 人不赞成的概率; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,再记选中的 4 人中不赞成“车辆限行”的人数为 ξ,求随机变量 ξ 的 分布列和数学期望. 20. (12 分)如图 1 所示,直角梯形 ABCD,AD∥BC,AD⊥AB,AB=BC=2AD=4,E、F 为 线段 AB、CD 上的点,且 EF∥BC,设 AE=x,沿 EF 将梯形 ABCD 翻折,使平面 AEFD⊥平 面 EBCF(如图 2 所示) . (Ⅰ)若以 B、C、D、F 为顶点的三棱锥体积记为 f(x) ,求 f(x)的最大值及取最大值时 E 的位置; (Ⅱ)在(1)的条件下,试在线段 EF 上的确定一点 G 使得 CG⊥BD,并求直线 GD 与平面 BCD 所成的角 θ 的正弦值.

21. (13 分)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点 的四边形是一个面积为 8 的正方形(记为 Q) . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设点 P 是直线 x=﹣4 与 x 轴的交点,过点 P 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点,当 线段 MN 的中点落在正方形 Q 内(包括边界)时,求直线 l 斜率的取值范围.

22. (14 分)已知函数 f(x)=a(x+1)ln(x+1)图象上的点(e ﹣1,f(e ﹣1) )处的切线 与直线 x+3 y+1=0 垂直(e=2.71828) . (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)求函数 y=2f(x﹣1)与 y=x ﹣mx(m>1)的图象在区间[ ,e]上交点的个数;[来源:Z。 xx。k.Com] (Ⅲ)证明:当 m>n>0 时, (1+e ) <(1+e ) .
m en n em 3

2

2

湖北省黄冈中学 2015 届高三上学期期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)若直线 l1:2x+(m+1)y+4=0 与直线 l2:mx+3y﹣2=0 平行,则 m 的值为() A.﹣2 B . ﹣3 C.2 或﹣3 D.﹣2 或﹣3 考点: 两条直线平行的判定. 专题: 计算题. 分析: 根据两直线平行,且直线 l2 的斜率存在,故它们的斜率相等,解方程求得 m 的值. 解答: 解:∵直线 l1:2x+(m+1)y+4=0 与直线 l2:mx+3y﹣2=0 平行,∴ = ,[来

源:Zxxk.Com] 解得 m=2 或﹣3, 故选 C. 点评: 本题考查两直线平行的性质,两直线平行,它们的斜率相等或者都不存在.
x

2. (5 分)设全集 U=R,A={x||x+1|<1},B={x|( ) ﹣2≥0},则图中阴影部分所表示的集合 ()

A.(﹣2,0) 考点: 专题: 分析: 解答:

B.(﹣2,﹣1]

C.(﹣1,0]

D.(﹣1,0)

Venn 图表达集合的关系及运算. 集合. 由图象可知阴影部分对应的集合为 A∩(?UB) ,然后根据集合的基本运算求解即可. 解:由 Venn 图可知阴影部分对应的集合为 A∩(?UB) ,

∵A={x||x+1|<1}={x|﹣2<x<0},B={x|( ) ﹣2≥0}={x|x≤﹣1}, ∴?UB={x|x>﹣1}, 即 A∩(?UB)={x|﹣1<x<0}, 故选:D 点评: 本题主要考查集合的基本运算,利用图象先确定集合关系是解决本题的关键,比较 基础. 3. (5 分)下列有关命题的说法正确的是() 2 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1” 2 B. “x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 C. 命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 D.命题“?x∈R 使得 x +x+1<0”的否定是“?x∈R 均有 x +x+1<0” 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: A.利用否命题的定义即可判断出; B.由 x ﹣5x﹣6=0 解得 x=﹣1 或 6,即可判断出; C.利用命题与逆否命题之间的关系即可判断出; D.利用命题的否定即可判断出. 解答: 解:A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x ≠1,则 x≠1”,因此不正确; 2 2 B.由 x ﹣5x﹣6=0 解得 x=﹣1 或 6,因此“x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件,不正 确; C.命题“若 x=y,则 sinx=siny”为真命题,其逆否命题为真命题,正确; D.命题“?x∈R 使得 x +x+1<0”的否定是“?x∈R,均有 x +x+1≥0”,因此不正确. 综上可得:只有 C 正确. 故选:C. 点评: 本题考查了简易逻辑的判定,属于基础题.
2 2 2 2 2 2 2

x

4. (5 分)设向量 向的投影为() A.



是夹角为

的单位向量,若 =3

, =



,则向量 在 方

B.

C.

D.1

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用数量积的定义及其运算性质、投影计算公式即可得出. 解答: 解:∵向量 ∴ = =1, =3, , 是夹角为 = 的单位向量, =﹣ .



=

=

=

= .

∴向量 在 方向的投影为=

= = .

故选:A. 点评: 本题考查了数量积的定义及其运算性质、投影计算公式,考查了计算能力,属于基 础题.

5. (5 分)已知等比数列{an}的首项 a1=2014,公比为 q= ,记 bn=a1a2a3…an,则 bn 达到最大 值时,n 的值为() A.10

B.11

C.12

D.不存在

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由等比数列的通项公式,得出数列{an}的通项公式,再用同底数幂乘法法则得出 bn 的表达式,最后讨论二次函数,可得 bn 达到最大值时 n 的值. n﹣1 12﹣n 解答: 解:由等比数列的 通项公式,得 an=a1?q <2 ∴bn=a1?a2?a3…an<2 ?2 ?2 ?2 ?…?2 ∵2>1 ∴ 达到最大值时,bn 达到最大值
11 10 9 8 12﹣n

=

结合二次函数图象的对称轴,可得当 n=11 时,bn 达到最大值. 故选:B. 点评: 本题着重考查了等差数列、等比数列的有关知识点,属于中档题.解题的一个规律 是等比数列各项为正数,这个积化作同底的幂的乘法,由此可得积的最值的解决方法. 6. (5 分) 在如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz 中, 一个四面体的顶点坐标分别是 (0, 0, 2) , (2,2,0) , (2,1,1) , (2,2,2) .给出编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体 的侧视图和俯视图分别为()

A.①和②

B.①和③

C.③和②

D.④和②

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 作图题;空间位置关系与距离. 分析: 在坐标系中,标出已知的四个点,根据三视图的画图规则,可得结论.

解答: 解:在坐标系中,标出已知的四个点,根据三视图的画图规则,可得四面体的侧视 图和俯视图分别为③② 故选:C

点评: 本题考查三视图的画法,做到心中有图形,考查空间想象能力,是基础题. 7. (5 分)已知在△ ABC 中,边 a、b、c 的对角为 A、B、C,A=30°,b=6,C∈[60°,120°], 2 则此三角形中边 a 的取值使得函数 f(x)=lg(ax ﹣ax+1)的值域为 R 的概率为() A. B. C. D.

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 2 分析: 由题意,首先求出三角形中 a 的范围以及使得函数 f(x)=lg(ax ﹣ax+1)的值域为 R 的 a 的范围,再由几何概型的公式解答. 解答: 解:由已知在△ ABC 中,边 a、b、c 的对角为 A、B、C,A=30°,b=6,C∈[60°,120°], 则 B∈[30°,90°],由正弦定理
2

,得到 a=

=

∈[3,6],

使得函数 f(x)=lg(ax ﹣ax+1)的值域为 R 的 a 的范围为
2

,解得 a≥4,

所以由几何概型,此三角形中边 a 的取值使得函数 f(x)=lg(ax ﹣ax+1)的值域为 R 的概率 为 ;

故选 D. 点评: 本题考查了解三角形以及对数函数与几何概型相结合的知识,属于中档题. 8. (5 分)近期由于雨雪天气,路况不好,某人驾车遇到紧急情况而刹车,以速度 v(t)=7 ﹣3t+ (t 为时间单位 s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;m)是() B.4+25ln5 C. 8+25ln D. 4+50ln2

A.1+25ln5

考点: 定积分. 专题: 导数的概念及应用.

分析: 令 v(t)=0,解得 t=4,则所求的距离 S= 解答: 解:令 ,

v(t)dt ,解得即可

,则 t=4.汽车刹车的距离

故选 B. 点评: 熟练掌握导数的运算法则和定积分的几何意义是解题的关键.

9. (5 分)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,若双曲线右支上

存在一点 P,使得 F2 关于直线 PF1 的对称点恰在 y 轴上,则该双曲线的离心率 e 的取值范围 为() A.1<e< B.e> C . e> D.1<e<

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 运用对称性,可得 MF1=F1F2=2c,设直线 PF1:y=
2 2

(x+c) ,代入双曲线方程,得

到 x 的二次方程,方程有两个异号实数根,则有 3b ﹣a >0,再由 a,b,c 的关系,及离心率 公式,即可得到范围. 解答: 解:设点 F2(c,0) , 由于 F2 关于直线 PF1 的对称点恰在 y 轴上,不妨设 M 在正半轴上, 由对称性可得,MF1=F1F2=2c, 则 MO= 设直线 PF1:y= = c,∠MF1F2=60°,∠PF1F2=30°,

(x+c) ,
2 2 2 2 2 2 2 2

代入双曲线方程,可得, (3b ﹣a )x ﹣2ca x﹣a c ﹣3a b =0, 则方程有两个异号实数根, 则有 3b ﹣a >0,即有 3b =3c ﹣3a >a ,即 c> 则有 e= > .
2 2 2 2 2 2

a,

故选:B. 点评: 本题考查双曲线的性质和方程,考查对称性的运用,考查直线方程和双曲线方程, 联立消去 y,运用韦达定理,考查运算能力,属于中档题和易错题. 10. (5 分)已知函数 f(x)= ﹣2x+1 的取值范围() A.(1,10) B.[2,10] + ,若 x,y 满足 f(x+1)﹣f(y)>0,则 x +y
2 2

C. (





D.[

,+∞]

考点: 简单线性规划; 基本不等式;圆的一般方程. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 求函数的定义域,判断函数的奇偶性和单调性,将不等式转化为不等式组,利用线 性规划的知识进行求解. 解答: 解:由 ,得 ,即﹣1≤x≤1,

故函数的定义域为[﹣1,1], f(﹣x)= + =f(x) ,

则函数 f(x)是偶函数, 当 0≤x≤1 时,函数的导数 f′(x)= 即此时函数单调递减, 则 f(x+1)﹣f(y)>0 等价为 f(x+1)>f(y) , 即 f(|x+1|)>f(|y|) , = <0,









作出不等式组对应的平面区域如图: 2 2 2 2 x +y ﹣2x+1=(x﹣1) +y 的几何意义是区域内的点到点 Q(1,0)的距离的平方, 2 2 由图象可知,OQ 的距离最小为 1,AQ 或 BQ 的距离最大,此时最大值为(﹣2﹣1) +1 =10, 2 2 故 x +y ﹣2x+1 的取值范围是(1,10) , 故选: A

点评: 本题主要考查线性规划的应用以及两点间的距离公式,利用数形结合是解决本题 的 关键.

二、填空题:本大题共 4 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在 答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11-14 题) 11. (5 分)复平面内与复数 z= ﹣i. 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、几何意义、轴对称即可得出. 解答: 解:复平面内与复数 z= = = =1+i 所对应的点(1,1)关 所对应的点关于实轴对称的点为 A,则 A 对应的复数为 1

于实轴对称的点为 A(1,﹣1) , 则 A 对应的复数为 1﹣i. 故答案为:1﹣i. 点评: 本题考查了复数的运算法则、几何意义、轴对称,属于基础题. 12. (5 分)设(1﹣x) =a0+a1x+…+a7x +a8x ,则|a1|+…+|a7|+|a8|=255. 考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题;二项式定理.[来源:学#科#网] 8 7 8 分析: 由题意可得(1+x) =|a0|+|a1|x+…+|a7|x +|a8|x ,在此等式中,令 x=1,可得 |a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|的值,又 x=0 时,|a0|=1,可得|a1|+…+|a7|+|a8|=255. 8 7 8 解答: 解:由题意可得 (1+x) =|a0|+|a1|x+…+|a7|x +|a8|x , 8 在此等式中,令 x=1,可得|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|=2 =256, 又 x=0 时,|a0|=1, 所以|a1|+…+|a7|+|a8|=255, 故答案为:255. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,注意根据题意,分析所给代数式的特点,通过给 二项式的 x 赋值,求展开式的系数和,可以简便的求出答案,属于基础题. 13. (5 分)已知实数 x,y,z 满足 2x+y+3z=32,则 为 .[来源:Z,xx,k.Com] 的最小值
8 7 8

考点: 二维形式的柯西不等式. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 2 2 2 2 2 2 2 2 分析: 由条件利用柯西不等式 (2 +1 +3 ) [ (x﹣1) + (y+2) +z ]≥ (2x﹣2+y+2+3z) =32 , 求得
2 2 2

的最小值.
2 2 2 2 2 2

解答: 解:1 +2 +3 =14,∴由柯西不等式可得(2 +1 +3 )[(x﹣1) +(y+2) +z ]≥(2x 2 2 ﹣2+y+2+3z) =32 ,

∴ , 故答案为: .



,即

的最小值是

点评: 本题主要考查了函数的最值,以及柯西不等式的应用,解题的关键是利用柯西不等 式(2 +1 +3 )[(x﹣1) +(y+2) +z ]≥(2x﹣2+y+2+3z) =32 ,进行解决. 14. (5 分)定义在(0,+∞)上的函数 f(x)满足:①当 x∈[1,3)时,f(x)=1﹣|x﹣2|; ②f(3x)=3f(x) .设关于 x 的函数 F(x)=f(x)﹣a 的零点从小到大依次为 x1,x2,…, n xn,….若 a=1,则 x1+x2+x3=14;若 a∈(1,3) ,则 x1+x2+…+x2n=6(3 ﹣1) . 考点: 进行简单的合情推理;函数的零点;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 当 a=1 时,根据已知,可得 x1=2,x2+x3=12,代入可得 x1+x2+x3 的值,当 x∈[0,1) 时,不必考虑.利用已知可得:当 x∈[3,6]时,由 ∈[1,2],可得 f(x)=3f( ) ,f(x)∈[0, 3];同理,当 x∈(6,9)时,f(x)∈[0,3];此时 f(x)∈[0,3].分别作出 y=f(x) ,y=a, 则F (x) =f (x) ﹣a 在区间 (3, 6) 和 (6, 9) 上各有一个零点, 分别为 x1, x2, 且满足 x1+x2=2×6, n 依此类推:x3+x4=2×18,…,x2n﹣1+x2n=2×2×3 .利用等比数列的前 n 项和公式即可得出.
2 2 2 2 2 2 2 2

解答: 解: ∵①当 x∈[1,3)时,f(x)=1﹣|x﹣2|∈[0,1];②f(3x)=3f(x) . ∴当 ≤x<1 时,则 1≤3x<3,由 f(x)= f(3x)可知:f(x)∈[0, ]. 同理,当 x∈(0, )时,0≤f(x)<1, 当 x∈[3,6]时,由 ∈[1,2],可得 f(x)=3f( ) ,f(x)∈[0,3]; 同理,当 x∈(6,9)时,由 ∈(2,3) ,可得 f(x)=3f( ) ,f(x)∈[0,3];

此时 f(x)∈[0,3]. 当 a=1 时,x1=2,x2+x3=12, ∴x1+x2+x3=14 当 a∈(1,3)时. 则F (x) =f (x) ﹣a 在区间 (3, 6) 和 (6, 9) 上各有一个零点, 分别为 x1, x2, 且满足 x1+x2=2×6, n 依此类推:x3+x4=2×18,…,x2n﹣1+x2n=2×2×3 . ∴当 a∈(1,3)时,x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=4×(3+3 +…+3 )=4×
n 2 n

=6×(3 ﹣1) .

n

故答案为:14,6×(3 ﹣1) 点评: 本题考查了函数的图象与性质、区间转换、对称性、等比数列的前 n 项和公式等基 础知识与基本技能,属于难题. 三、 【选修 4-1:几何证明选讲】 (共 1 小题,满分 5 分) 15. (5 分)如图,圆 O 的直径 AB=8,C 为圆周上一点,BC=4,过 C 作圆的切线 l,过 A 作 直线 l 的垂线 AD,D 为垂足,AD 与圆 O 交于点 E,则线段 AE 的长为 4.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 推理和证明. 分析: 连接 OC,BE,由已知得△ OBC 为等边三角形,∠COB=60°,OC⊥直线 l,AD∥OC, 从而 Rt△ AB E 中∠A=∠COB=60°,由此能求出 AE. 解答: 解:连接 OC,BE,如下图所示, ∵圆 O 的直径 AB=8,BC=4, ∴△OBC 为等边三角形,∠COB=60° 又∵直线 l 是过 C 的切线,故 OC⊥直线 l 又∵AD⊥直线 l,∴AD∥OC, 故在 Rt△ ABE 中∠A=∠COB=60°, ∴AE= AB=4. 故答案为:4.

点评: 本题考查与圆有关的线段长的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意圆的简单 性质的合理运用. 四、 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (共 1 小题,满分 0 分)

16. 直线 l 的参数方程是

(其中 t 为参数) , 圆 c 的极坐标方程为 ρ=2cos (θ+

) ,

过直线上的点向圆引切线,则切线长的最小值是 2



考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 首先把圆的极坐标方程转化成直角坐标方程,进一步求出圆心和半径,再把直线的 参数方程转化成普通方程进一步利用圆心到直线的距离求出最小值,最后用勾股定理求出结 果. 解答: 解:圆 c 的极坐标方程为 ρ=2cos(θ+ 转化成普通方程为: 整理成标准方程为: 所以:圆心坐标为: ,半径为 1. ) ,

直线 l 的参数方程是

(t 为参数) ,转化成直角坐标方程为:y=x+

要使切线长最小,只有圆心 C 到直线 l 上的点 P 的距离最小. 而 CP 的最小值为点 C 到直线 l 的距离,即 d= 故切线长的最小值为: 故答案为: 点评: 本题考查的知识要点:圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化,直线的参数方程和 直角坐标方程的互化,点到直线的距离公式的应用,属于基础题型. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (12 分)已知向量 =(2cosωx,2) , =(2cos(ωx+ 的图象与直线 y=﹣2+ 的相邻两个交点之间的距离为 π. (Ⅰ)求函数 f(x)在[0,2π]上的单调递增区间; ) ,0) (ω>0) ,函数 f(x)= ? ,

(Ⅱ)将函数 f(x)的图象向右平移

个单位,得到函数 y=g(x)的图象.若 y=g(x)在[0,

b](b>0)上至少含有 6 个零点,求 b 的最小值. 考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;平面向量数量积的运算. 专题: 三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析: (I) 运用向量的数量积的坐标表示以及二倍角公式和两角和的余弦公式, 化简 f (x) , 再由余弦函数的周期和单调增区间,解不等式即可得到; (II)由图象变换的特点,可得 y=g(x) ,令 g(x)=0,求得零点,每个周期恰有 2 个零点, 要恰有 6 个零点,则 b 不小于 6 个零点的横坐标即可. 解答: 解: (I)由于向量 =(2cosωx,2) , =(2cos(ωx+ f(x)= =2 即有 由题意得 T=π,所以 ω=1,所以 由 ,解得 , , 或 ,k∈Z, ]和[ , ]; ? =4cosωxcos(ωx+ ﹣sin2ωx, , , ,[来源:学科网] )=4cosωx( ) ,0) (ω>0) ,

cosωx﹣ sinωx)

又 x∈[0,2π],则所求单调增区间为[ (II)由题意得 令 g(x)=0 得

每个周期恰有 2 个零点,要恰有 6 个零点, 则 b 不小于 6 个零点的横坐标即可, 即 .

点评: 本题考查向量的数量积的坐标运算以及二倍角公式和两角和的余弦公式的运用,主 要考查余弦函数的周期公式和单调性和图象变换,以及零点的判断,属于中档题. 18. (12 分)已知等差数列{an}满足:an+1>an(n∈N ) ,a1=1,该数列的前三项分别加上 1,1, 3 后顺次成为等比数列{bn}的前三项. (Ⅰ)分别求数列{an},{bn}的通项公式 an,bn; (Ⅱ)设 最小值. 考点: 数列与不等式的综合;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列的求和. 专题: 综合题. ,若 恒成立,求 c 的
*

分析: (Ⅰ) 设 d、 q 分别为数列{an}、 数列{bn}的公差与公比, a1=1. 由题可知, a1=1, a2=1+d, a3=1+2d,分别加上 1,1,3 后得 2,2,+d,4+2d 是等比数列{bn}的前三项,从而可得(2+d) 2 =2(4+2d) ,根据 an+1>an,可确定公差的值,从而可求数列{an}的通项,进而可得公比 q, 故可求{bn}的通项公式 (Ⅱ)表示出 ,利用错位相减法求和,即可求

得 c 的最小值. 解答: 解: (Ⅰ)设 d、q 分别为数列{an}、数列{bn}的公差与公比,a1=1. 由题可知,a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分别加上 1,1,3 后得 2,2,+d,4+2d 是等比数列{bn} 的前三项, ∴(2+d) =2(4+2d)?d=±2. ∵an+1>an, ∴d>0. ∴d=2, * ∴an=2n﹣1(n∈N ) . 由此可得 b1=2,b2=4,q=2, n * ∴bn=2 (n∈N ) . (Ⅱ) ,①
2



.②

①﹣②,得 ∴Tn=3﹣ ∴Tn+ .

= +2(

+

+…+

)﹣



﹣ =3﹣ ≤2, 恒成立的最小整数值为 c=2.

∴满足条件

点评: 本题以等差数列与等比数列为载体,考查数列通项公式的求解,考查数列与不等式 的综合,考查错位相减法求数列的和,综合性强 19. (12 分)私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生活中我们应该提倡 低碳生活,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾出一份力.为此,很多城市实 施了机动车车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了 50 人, 将调查情况进行整理后制成下表: 年龄(岁) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75] 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 4 6 9 6 3 4

(Ⅰ)完成被调查人员的频率分布直方图; (Ⅱ)若从年龄在[15,25) ,[25,35)的被调查者中各随机选取 2 人进行追踪调查,求恰有 2 人不赞成的概率; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,再记选中的 4 人中不赞成“车辆限行”的人数为 ξ,求随机变量 ξ 的 分布列和数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)由已知求出各组的频率和纵坐标,由此能作出被调查人员的频率分布直方图. (Ⅱ)由表知年龄在[15,25)内的有 5 人,不赞成的有 1 人,年龄在[25,35)内的有 10 人, 不赞成的有 4 人,由此利用互斥事件概率计算公式能求出恰有 2 人不赞成的概率. (Ⅲ)ξ 的所有可能取值为:0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量 ξ 的分 布列和数学期望. 解答: 解: (Ⅰ)由已知得各组的频率分别是: 0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1, ∴图中各组的纵坐标分别是: 0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01, 由此能作出被调查人员的频率分布直方图,如右图: (Ⅱ)由表知年龄在[15,25)内的有 5 人, 不赞成的有 1 人, 年龄在[25,35)内的有 10 人,不赞成的有 4 人, ∴恰有 2 人不赞成的概率为: P(ξ=2)= + = .…(7 分)

(Ⅲ)ξ 的所有可能取值为:0,1,2,3,…(6 分) P(ξ=0)= = ,

P(ξ=1)=

=



P(ξ=3)=

=

,[来源:学科网]

所以 ξ 的分布列是:…(10 分) ξ 0 1 P

2

3

所以 ξ 的数学期望 Eξ= .…(12 分)

点评: 本题考查频率分布直方图的作法,考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列 和数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意排列组合知识的合理运用. 20. (12 分)如图 1 所示,直角梯形 ABCD,AD∥BC,AD⊥AB,AB=BC=2AD=4,E、F 为 线段 AB、CD 上的点,且 EF∥BC,设 AE=x,沿 EF 将梯形 ABCD 翻折,使平面 AEFD⊥平 面 EBCF(如图 2 所示) . (Ⅰ)若以 B、C、D、F 为顶点的三棱锥体积记为 f(x) ,求 f(x)的最大值及取最大值时 E 的位置; (Ⅱ)在(1)的条件下,试在线段 EF 上的确定一点 G 使得 CG⊥BD,并求直线 GD 与平面 BCD 所成的角 θ 的正弦值.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定;直线与平面所成的角. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)根据题意,证明 AE⊥面 BCF,求得棱锥的高,再根据体积公式求三棱锥的体 积,利用配方法即可得出结论. (Ⅱ)可利用空间向量求解,求出平面 BCD 的法向量,利用向量的夹角公式求直线 GD 与平 面 BCD 所成的角 θ 的正弦值. 解答: 解: (Ⅰ)由题意知,平面 AEFD⊥平面 EBCF,AE⊥EF,

所以 AE⊥面 BCF,…(2 分) 以 B、C、D、F 为顶点的三棱锥底面为△ BCF,高为 AE, 所以 当 x=2 时, ,…(4 分) ,此时对应的点 E 为 AB 的中点.…(6 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)中知 EA、EF、EB 两两互相垂直,以 E 为原点,以 EB 为 x 轴、EF 为 y 轴、 EA 为 z 轴建立空间直角坐标系,则 E(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(2,4,0) ,D(0,2,2) ,设 G(0,yo,0) 由 CG⊥BD 得 所以 ,设平面 BCD 的法向量为 ,解得 yo=2.…(8 分) ,





可取 =(1,0,1) , 所以 sinθ=|cos< , >= 即为所求.…(12 分)

点评: 本题考查三棱锥体积和线面角的求解.解题的关键是在求三棱锥体积时主要是高的 求解这要充分分析题中条件找到高或‘等价的高'. 21. (13 分)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点 的四边形是一个面积为 8 的正方形(记为 Q) . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设点 P 是直线 x=﹣4 与 x 轴的交点,过点 P 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点,当 线段 MN 的中点落在正方形 Q 内(包括边界)时,求直线 l 斜率的取值范围. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)设出椭圆的方程,根据正方形的面积求出椭圆中参数 a 的值且判断出参数 b,c 的关系,根据椭圆的三个参数的关系求出 b,c 的值得到椭圆的方程.

(II)设出直线的方程,将直线的方程与椭圆方程联立,利用二次方程的韦达定理得到弦中点 的坐标,根据中点在正方形的内部,得到中点的坐标满足的不等关系,求出 k 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)依题意,设椭圆 C 的方程为 由题设条件知,a =8,b=c 所以 =4,
2

,焦距为 2c,

故椭圆的方程为



(II)椭圆 C 的左准线方程为 x=﹣4,所以点 P 的坐标为(﹣4,0) 显然直线 l 的斜率存在,所以设直线 l 的方程为 y=k(x+4) 设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) ,线段 MN 的中点为 G(x0,y0) 2 2 2 2 由直线代入椭圆方程得(1+2k )x +16k x+32k ﹣8=0.① 由△ =(16k ) ﹣4(1+2k ) (32k ﹣8)>0 解得﹣ 因为 x1,x2 是方程①的两根, 所以 x1+x2=﹣ ,于是 x0= =﹣ ,y0= .
2 2 2 2

<k<

.②

因为 x0=

=﹣

≤0,所以点 G 不可能在 y 轴的右边,

又直线 F1B2,F1B1 方程分别为 y=x+2,y=﹣x﹣2 所以点 G 在正方形 Q 内(包括边界)的充要条件为 ,即

解得 故直线 l 斜率的取值范围是

,此时②也成立. .

点评: 求圆锥曲线的方程时,一般利用待定系数法;解决直线与圆锥曲线的位置关系时, 一般采用的方法是将直线方程与圆锥曲线方程联立得到关于某个未知数的二次方程, 利用韦达 定理来找突破口. 22. (14 分)已知函数 f(x)=a(x+1)ln(x+1)图象上的点(e ﹣1,f(e ﹣1) )处的切线 与直线 x+3y+1=0 垂直(e=2.71828) . (Ⅰ)求 f(x)的单调区间;
2 2

(Ⅱ)求函数 y=2f(x﹣1)与 y=x ﹣mx(m>1)的图象在区间[ ,e]上交点的个数; (Ⅲ)证明:当 m>n>0 时, (1+e ) <(1+e ) . 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线 上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求函数的导数根据导数的几何意义先求出 a 的值,即可求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)将函数 y=2f(x﹣1)与 y=x ﹣mx(m>1)的图象在区间[ ,e]上交点的个数,转化为 程 m=x ﹣2lnx 在区间[ ,e]上有两个不同的实数解;利用导数求出函数的最值即可. (Ⅲ)利用换元法,利用构造函数即可证明不等式. 解答: 解: (1)f′(x)=aln(x+1)+a(x+1)
2 2 2 3 m en n em

3

=a[1+ln(x+1)],﹣﹣﹣﹣﹣(1 分)

由于 f(x)在点(e ﹣1,f(e ﹣1) )处的切线与直线 x+3y+1=0 垂直, 2 2 所以 f′(e ﹣1)=a(lne +1)=3, 解得 a=1, ∴f(x)=(x+1)ln(x+1) ,f′(x)=ln(x+1)+1.…(2 分)[来源:Z|xx|k.Com] 令 f′(x)=0,解得 x= 由 f′(x)>0 得 x> 由 f′(x)<0 得 x< , , , ],单调递增区间为( ,+∞)…(4 分)

故 f(x)的单调递减区间为[﹣1,
3

(Ⅱ)函数 y=2f(x﹣1)与 y=x ﹣mx(m>1)的图象在区间[ ,e]上交点的个数, ?方程 2xlnx=x ﹣mx 在区间[ ,e]上有两个不同的实数解[来源:学,科,网] ?方程 m=x ﹣2lnx 在区间[ ,e]上有两个不同的实数解. ?函数 y=m 与 g(x)=x ﹣2lnx 图象在区间[ ,e]上有两个不同的交点.﹣…(6 分) g′(x)=2x﹣ = 由 g′(x)=0 得,x=1; 当 0<x<1 时,g′(x)<0, 当 x>1 时,g′(x)>0, 故 g(x)在[ ,1]上是减函数,在[1,e]是增函数;在区间[ ,e]上 g(x)的最小值为 g(1) =1, , (x>0) ,
2 2 3

∵g( )= ∴g(x)的最大值为 g(e)=e ﹣2,
2



其大致图象如右图: 由图象可知, 当 m 的取值范围是(1,2+ 两个不同的交点; 当 m>2+ (9 分) (Ⅲ)令 u=e ,v=e , ∵m> n>0,∴u>v>0,
m n 3

…(8 分) ]时,函数 y=2f(x﹣1)与 y=x ﹣mx 的图象在区间[ ,e]上有

时, 函数 y=2f (x﹣1) 与 y=x ﹣mx 的图象在区间[ , e]上有 1 个交点

3



要证(1+e ) <(1+e ) . ,只需证 vln(1+u)<uln(1+v) , 这等价于 令 h(x)= , ,

m

en

n

em

h′(x)=

=



令 k(x)=x﹣(1+x)ln(1+x) , (x>0) , ∵x>0,x+1>1, ∴k′(x)=1﹣ln(x+1)﹣1=﹣ln(x+1)<0, 故 k(x)在(0,+ ∞)单调递减, ∴k(x)<k(0)=0, 故 h′(x)<0,故 h(x)= ∵u>v>0, ∴h(u)<h(v) , 即 就是 , 成立.…(14 分) ,是减函数,

点评: 本题主要考查导数的综合应用,利用导数的几何意义求出 a 的值是解决本题的关 键.综合考查导数的应用,综合性较强,运算量较大.


更多相关文档:

【百强校】2015届湖北省黄冈中学高三上学期期末考试理...

绝密★启用前 【百强校】2015 届湖北省黄冈中学高三上学期期末考试理科 数学试卷(带解析) 试卷副标题 考试范围:xxx;考试时间:147 分钟;命题人:xxx 学校:___姓名...

...届湖北省黄冈中学高三上学期期末考试数学(理科)试题...

【恒心】2015届湖北省黄冈中学高三上学期期末考试数学(理科)试题及参考答案【纯word版】_数学_高中教育_教育专区。2015届湖北省黄冈中学高三上学期期末考试数学(理科...

湖北省黄冈中学2015届高三上学期期中考试数学理试卷含答案

湖北省黄冈中学2015届高三上学期期中考试数学理试卷含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。湖北省黄冈中学2015届高三上学期期中考试数学理试卷含答案 ...

黄冈中学2015届高三上期末考试数学

黄冈中学2015届高三上期末考试数学_数学_高中教育_教育专区。2015年秋湖北省黄冈中学高三(上)期末考试数学试题黄冈中学 2015 届高三(上)期末考试数学试题(理科)一、...

湖北省黄冈中学2015届高三上学期期中考试数学理试题(解...

湖北省黄冈中学2015届高三上学期期中考试数学理试题(解析版)_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 湖北省黄冈中学2015届高三上学期期中考试...

湖北省黄冈中学2015届高三上学期期中考试数学理试题

湖北省黄冈中学2015届高三上学期期中考试数学理试题_数学_高中教育_教育专区。黄冈中学 2014 年秋季高三年级 11 月月考数学(理科)一.选择题(本大题共 10 小题,...

数学理卷·2015届湖北省黄冈中学高三上学期期中考试(20...

数学理卷·2015届湖北省黄冈中学高三上学期期中考试(2014.11)_数学_高中教育_教育专区。黄冈中学 2014 年秋季高三年级上学期期中考试数学(理科)一.选择题(本大题...

湖北省黄冈中学2015届高考数学模拟试卷(理科)(5月份)

湖北省黄冈中学2015届高考数学模拟试卷(理科)(5月份)_数学_高中教育_教育专区。...(图一)为 2015 届高三某班 50 名学生的化学考试成绩,图(二) 的算法框图中...

湖北省黄冈中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试...

湖北省黄冈中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理(含解析)_数学_高中教育_教育专区。湖北省黄冈中学 2015-2016 学年高二上学期期末考试数学试题 (理科)...

湖北省黄冈中学2015届高三5月模拟考试理科数学试卷及答案

2015 届黄冈中学高三下 5 月模拟考试命题:董明秀 审题:汤彩仙 数学试题(理)校对:陈思锦 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com