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TI—图形计算器与高中数学教学整合案例 - 李湖南 广东省中山市第一


TI—图形计算器与高中数学教学整合案例

李湖南 广东省中山市第一中学

内容提要 TI—图形计算器是一种现代手持技术,它具有代数功能、数据处理功能、函数功 能、图形功能、简单编程功能和进行一些数理实验的功能,具有很好的交互性.它是基于教 师的教和学生的学而专门设计的, 它不同于一般意义的计算机软件和掌上电脑, 它更符合学 科教学的要求,更适应学生学习的要求.它可以直观的绘制各种图形,并进行动态演示、跟 踪轨迹等.利用这些功能学生可以充分地参与探究活动,主动地构建知识,不仅能增强动手 实验能力,同时还能体会到归纳、猜想等合情推理的重要数学思想、方法,也有助于促进学 生在学习和实践的过程中形成和发展数学应用意识.本文是选摘自作者在教学实践中,对 TI —图形计算器与高中数学教学整合的一些案例.

主题词:TI—图形计算器

数学教学

问题探究

《TI—图形计算器与高中数学教学整合案例》

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TI—图形计算器与高中数学教学整合案例

提要 TI—图形计算器是一种现代手持技术,它具有代数功能、数据处理功能、函数功能、 图形功能、简单编程功能和进行一些数理实验的功能,具有很好的交互性.它是基于教师的 教和学生的学而专门设计的, 它不同于一般意义的计算机软件和掌上电脑, 它更符合学科教 学的要求,更适应学生学习的要求.它可以直观的绘制各种图形,并进行动态演示、跟踪轨 迹等.利用这些功能学生可以充分地参与探究活动,主动地构建知识,不仅能增强动手实验 能力,同时还能体会到归纳、猜想等合情推理的重要数学思想、方法,也有助于促进学生在 学习和实践的过程中形成和发展数学应用意识. 本文是选摘自作者在教学实践中, TI—图 对 形计算器与高中数学教学整合的一些案例.

现代手持教育技术在国外已经广泛地应用于数学教学之中,并推动着教学改革.比如, 美国全美数学教师协会(NCTM)在 1999 年颁布的《课程与评价标准》中写道:任何学生 在任何时间都可以使用图形计算器.在美国,以图形计算器为主的现代手持教育技术已经广 泛地应用于中学和大学的教学之中. 近几年, 在我国的北京、 上海、 广东、 浙江等地也在开展现代手持教育技术的应用实验, 并取得了初步的进展. 我作为一名普通的高中数学教师,也参与了一些实验研究,对 TI—图形计算器与高中 数学教学整合积累了一些经验. 下面摘录作者在参与《高中数学课程教材与信息技术整合实验的研究》 (由人民教育出 版社主持)的课题研究和《使用国家课程标准实验教材的研究》 (由广东省教研室主持)的 实验研究过程中,对 TI—图形计算器与高中数学教学整合的一些案例,供各位同仁们参考. 一、利用 TI—图形计算器求超越方程的近似解 利用 TI—图形计算器的图象功能和交点功能可以求出两个函数图象的交点,从而进一 步得到两个函数图象的交点的坐标,这为通过数形结合求超越方程的近似解提供技术支持,
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也为利用二分法求方程的近似解提供技术帮助,同时也培养了学生的数形结合的数学思想, 华罗庚先生指出:数缺形时少自觉,形少数时难入微,数形结合百般好,割裂分家万事非. 说的正是要求我们在数学教学中多培养学生的数形结合的思想. 例 1、求方程 x = 3 ? lg x 的近似解(精确到 0.01 ). 分析: 画出两个函数 y = x 和 y = 3 ? lg x 的图象, 其交点的横坐标便是所求方程的近似 解,于是通过 TI—图形计算器测量其交点坐标进而求得方程的近似解. 解答如下: ①在函数编辑器中输入函数 y = x 和 y = 3 ? lg x 并在同一坐标系下画出它们的图象, 如 图 1、图 2.

图2 ②在图象窗口下,按下 F5 ,选择 5,利用求交点的功能便可以作出函数 y = x 和

图1

y = 3 ? lg x 图象的交点,并显示交点的坐标为 (2.587, 2.587) ,如图 3.
于是所求方程的近似解为 x ≈ 2.59 . 这种题型, 在传统的教学中, 最多只能让学生判断方程的解的个数, 而具体的解是什么, 则基本上回避.这样给学生有一种隔靴挠痒的感觉,不利于培养学生的探究精神,甚至有时 由于手工作图的误差太大, 连方程的解的个数也可能会判断失误, 而这时我们教师虽然知道 学生判断失误,但也不能迅速、准确、直观地给出学生的失误原因.但是利用 TI—图形计算 器就可以很好地解决这个问题. 在《普通高中数学课程标准》教材中,有利用二分法求方程的近似解的内容,我们也可 以利用 TI—图形计算器,画出两个函数的图象并观察到交点的大致位置,这样就可以确定 方程根所在的大致区间,为二分法奠定基础.

图3 《TI—图形计算器与高中数学教学整合案例》

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当然这个问题也还可以利用 TI—图形计算器的“solve”功能,直接求解该方程,可以 节约大量的课堂教学时间,如图 4. 二、利用 TI—图形计算器探讨函数模型 利用 TI—图形计算器的函数拟合功能可以探讨实际问题的函数模型,通过对各种函数 模型进行分析、判断、选择,这可以使学生在本质上认识函数的概念,同时也培养了学生的 科学世界观. 例 2、我国 1990 年—2000 年的国内生产总值如下表所示: 单位:亿元 年份 国内生产总值 年份 国内生产总值 1990 18598.4 1996 66850.5 1991 21662.5 1997 73142.7 1992 26651.9 1998 76967.1 1993 34560.5 1999 80422.8 1994 46670.0 2000 89404.0 1995 57494.9

(1)描点画出 1990 年—2000 年国内生产总值的图象; (2)建立一个能基本反映这一时期国内生产总值发展变化的函数模型,并画出其图象; (3)根据所建立的函数模型,预测 2004 年的国内生产总值. 分析: 将所给数据输入图形计算器中, 通过画出所给数据的散点图的大致形势选择合适 的函数模型. 解答如下: (1)将数据输入 TI—图形计算器中,并画出散点图,如图 5,6.

图5

《TI—图形计算器与高中数学教学整合案例》

图6

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(2)根据散点图的形势,可以试着选择一次函数模型进行模拟,并定义该函数为 y1 , 如图 7. 同时画出散点图和模拟函数的图象,观察模拟函数与散点图的拟合情况,如图 8.

图7

图8

从模拟函数与散点图的拟合情况来看, 拟合程度比较低, 于是一次函数模型不太适合作 为解决本问题的函数模型. 于是改用三次函数模型来进行模拟, 其过程和用一次函数模拟的过程类似, 并定义三次 函数为 y2 ,其结果如图 9、10.

图9

图 10

从三次函数的图象与散点图的拟合情况来看, 要比一次函数要好, 但是随着横坐标的增 大,图象会逐渐下降,这与实际情况不相符合. 于是再改用四次函数模型来进行模拟, 其过程也和用一次函数模拟的过程类似, 并定义 四次函数为 y3 ,其结果如图 11、12.

图 11

图 12

从 y3 的图象与散点图的拟合情况来看,能较准确反映这一时期国内生产总值发展变化 的情况,于是取模拟函数为
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y3 = 30.6343x 4 ? 833.3665 x3 + 7484.9600 x 2 ? 16924.6211x + 29784.6121
作为本问题的函数模型;其图象如图 12. (3)利用 TI—图形计算器的表格功能可以计算出当 x = 15 时,函数值 y3 = 198279.2 , 据此,预测我国 2004 年的国内生产总值大约为 198279.2 亿元,如图 13.

图 13 本问题还可以利用 TI—图形计算器的代数功能,通过计算函数的值,也可以得到当

x = 15 时, y3 = 198279.2 ,如图 14.

图 14 对于这种数据分析的题型, 如果没有技术的支持, 是很难突破传统的方式——先给定若 干个函数的模型,然后让学生再根据几个数据代入模型中进行检验,然后再进行预测.学生 的感觉就好象是云里雾里,既不知道所给模型是如何来的,也不知道所选模型是否合适.如 果我们利用 TI—图形计算器,不仅可以让学生自主地选择函数模型,即使选得不合适,也 可以重新选择,还可以对各种模型进行定量的分析,既调动了学生的学习积极性,同时还培 养了学生的实事求是的科学研究态度. 三、利用 TI—图形计数器探究数列问题 利用 TI—图形计算器的数列作图功能、函数图象的追踪功能可以使学生获得未知数列 的感性认识, 然后再在客观现象中探索、 发现规律, 从而为利用所学知识解决问题奠定基础. 例 3、 某城市 2000 年末汽车保有量为 30 万辆, 预计此后每年报废上一年末保有量的 6%, 并且每年新增汽车数量相同, 为了保护城市环境和缓解交通压力, 要求该城市汽车保有量不 超过 60 万辆,市政府规定每年新增汽车数量不应超过 3.6 万辆,请问这一规定是否合理? 多少年后达到 60 万辆?
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用 TI—图形计算器分析、探索如下: ①在函数编辑窗口输入递推数列表达式“ u1(n) = 3.6 + (1 ? 0.06) × u1(n ? 1) ” ,并输入 初始值“ ui1 = 30 ” ,如图 15.

图 15 ②设置显示窗口,如图 16. ③画出递推数列的图象,如图 17.

图 16

图 17

图 18

图 19

图 20

发现当 nc ≤ 216 时,yc < 60 , nc ≥ 217 当 ④在图象窗口下, 按下 F3 追踪数列的图象, 时, yc = 60 ,如图 18,19,20. 利用 TI—图形计算器可以得到结论:市政府的这种规定“每年新增汽车数量不超过 3.6 万辆”是合要求的,即可以保证该市的汽车保有量不超过 60 万辆,并且当经过 217 年后即 2218 年,该市的汽车保有量将达到 60 万辆. 利用上面的方法,还可以验证市政府的“规定”不仅合要求,而且“每年新增汽车数量 为 3.6 万辆”已经是符合要求的极限,若“每年新增汽车数量超过 3.6 万辆” ,将达不到“汽 车保有量不超过 60 万辆”的要求. 例如, “每年新增汽车数量改为 3.6001 万辆”利用以上的方法可以发现, nc = 159 , 将 , 当
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yc < 60 ,当 nc = 160 时, yc = 60.001 > 60 ,即“该市的汽车保有量超过 60 万辆”.
从数列的理论上来分析:由于 u1( n) = 3.6 + (1 ? 0.06) × u1(n ? 1) 且 ui1 = 30 ,实际上可 以定义数列 {an } : a1 = 30 , an +1 = (1 ? 0.06)an + 3.6 , n ≥ 1 , n ∈ N*. 根据以上定义,可得 an +1 = 60 ? 30 × 0.94 ,且 lim an = 60 ,所以,该市政府的规定
n
n →∞

是有数学道理的. 四、利用 TI—图形计算器的统计功绘制统计图表和进行回归分析 在现时的全日制普通高级中学教科书(选修)中,已经有了统计的内容,而且这也是最 直接地来源于生产生活中的数学知识, 但是这一块内容对于使用传统的教学手段来说, 无疑 是非常棘手的,大量的统计图表,大量的数据,一节课下来可能一个图表也不能画好,但是 利用图形计算器的统计功能,不仅可以很轻松的完成教学,还可以引发学生的学习兴趣,课 后进行大量的统计练习,更好地理解统计知识和统计原理. 例 4、一个工厂在某年里每月产品的总成本 y (万元)与该月产量 x (万件)之间有如 下一组数据:

x

1.08 2.25

1.12 2.37

1.19 2.40

1.28 2.55

1.36 2.64

1.48 2.75

1.59 2.92

1.68 3.03

1.80 3.14

1.87 3.26

1.98 3.36

2.07 3.50

y

(1)画出散点图; (2)求月产品的总成本 y (万元)与该月产量 x (万件)之间的回归直线方程. 对于这个问题用图形计算器来进行操作,方便快捷. 解答如下: (1)将数据输入 TI—图形计算器中,并画出散点图,如图 21、22.

图 21

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图 22 (2)根据散点图,选择回归函数类型——一次回归函数,并得到一次回归函数的有关参 数和线性相关系数,如图 23.

图 24 图 23 (3)同时绘制散点图和回归函数图象,得到线性相关系数的直观意义,如图 24. 在 2004 年国家教育部颁发的《普通高中数学课程标准》中明确规定:教学中可以在处 理某些内容时,提倡使用计算器或计算机,帮助学生理解数学概念、探索数学结论,还应鼓 励学生使用现代技术手段处理繁杂的计算、 解决实际问题, 以取得更多的时间和精力去探索 和发现数学的规律,培养创新精神和实践能力. 以上仅仅是, TI—图形计算器与高中数学整合的管中窥豹, 还有许许多多的例子在此不 再一一列举.

参考文献: 1. 课题组 (章建跃执笔) 中学数学课程教材与信息技术整合的思考.课程·教材·教 法,2002,(10)

2. 何美兰 刘晓东 TI 图形计算器辅助高中数学教学的实践与思考.数学通报,2005, (4,5)

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