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10-4高中数学核动力


第 10 章

第4节

1.甲:A1、A2 是互斥事件;乙:A1、A2 是对立事件,那么( A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件

)

【解析】 ∵对立事件的定义是其中必有一个发生的互斥事件, ∴对立事件一定是互斥 事件.而互斥事件可能是多个事件彼此互斥,其中的几个互斥事件不一定必有一个发生, ∴互斥事件不一定是对立事件. 【答案】 B 2.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于 160 cm 的概率为 0.2,该同学 的身高在[160,175]的概率为 0.5,那么该同学的身高超过 175 cm 的概率为( A.0.2 C.0.7 B.0.3 D.0.8 )

【解析】 由对立事件的概率可求该同学的身高超过 175 cm 的概率为 1-0.2-0.5=0.3. 【答案】 B 3.(2011· 陕西高考)甲乙两人一起去游“2011 西安世园会”,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号景点中任选这 4 个进行游览,每个景点参观 1 小时,则最后一小时他们同在一个景 点的概率是( 1 A. 36 5 C. 36 ) 1 B. 9 1 D. 6

【解析】 若用{1,2,3,4,5,6}代表 6 处景点,显然甲、乙两人选择结果为{1,1}、{1,2}、 {1,3}、 ?、 {6,6}, 36 种, 共 其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1,1}、 {2,2}、 {3,3}、 ?、 1 {6,6},共 6 个基本事件,所以所求的概率值为 . 6 【答案】 D 4.(2013· 郑州模拟)抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为出现奇数点,事件 B 1 1 为出现 2 点,已知 P(A)= ,P(B)= ,则出现奇数点或 2 点的概率为________. 2 6 1 1 2 【解析】 因为事件 A 与事件 B 是互斥事件,所以 P(A∪B)=P(A)+P(B)= + = . 2 6 3

【答案】

2 3

5.盒中仅有 4 只白球,5 只黑球,从中任意取出一只球. (1)“取出的球是黄球”是什么事件?它的概率是多少? (2)“取出的球是白球”是什么事件?它的概率是多少? (3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件?它的概率是多少? 【解】 (1)“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生,因此,它是不可能事

件,它的概率为 0. 4 (2)“取出的球是白球”是随机事件,它的概率是 . 9 (3)“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要发生,因此,它是必然事件,它的 概率为 1.

课时作业 【考点排查表】 考查考点及角度 事件的判断 随机事件的概率与频率 互斥事件、对立事件的概率 一、选择题 1.从 1,2,3?9 中任取两数,其中:①恰有 1 个偶数和恰有 1 个奇数,②至少有 1 个奇 数和 2 个都是奇数, ③至少有 1 个奇数和 2 个都是偶数; 在上述事件中是对立事件的是( A.① C.③ B.② D.①③ ) 难度及题号 基础 1 2 3,4 中档 7 9 5,8,10 6,11, 12,13 稍难 错题记录

【解析】 从 1,2,3?9 中任取两数,有以下三种情况:(1)两个均为奇数,(2)两个均为 偶数,(3)一个奇数和一个偶数;由对立事件的性质知,只有③为对立事件,故选 C. 【答案】 C 2.下列叙述中事件的概率是 0.5 的是( )

A.抛掷一枚骰子 10 次,其中数字 6 朝上出现了 5 次,抛掷一枚骰子数字 6 向上的概 率 B.某地在 8 天内下雨 4 天,某地每天下雨的概率 C.进行 10 000 次抛掷硬币试验,出现 5 001 次正面向上,那么抛掷一枚硬币正面向上 的概率

D.某人买了 2 张体育彩票,其中一张中 500 万大奖,那么购买一张体育彩票中 500 万 大奖的概率 【解析】 在实际问题中,我们常常通过做大量的重复试验,用随机事件发生的频率来 估计它的概率,在大量重复试验的前提下,频率可近似看作事件发生的概率.本题中只有选 项 C 进行了大量重复试验,其余三个选项都是事件的频率,并非大量重复试验. 【答案】 C 3.现有语文、数学、英语、物理和化学共 5 本书,从中任取 1 本,取出的是理科书的 概率为( 1 A. 5 3 C. 5 ) 2 B. 5 4 D. 5

【解析】 记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件 A、B、C、D、E,则 A、B、C、D、E 是彼此互斥的,取到理科书的概率为事件 B、D、E 的概率的和.P(B∪D 1 1 1 3 ∪E)=P(B)+P(D)+P(E)= + + = . 5 5 5 5 【答案】 C 4.在一次随机试验中,彼此互斥的事件 A、B、C、D 的概率分别是 0.2、0.2、0.3、0.3, 则下列说法正确的是( )

A.A+B 与 C 是互斥事件,也是对立事件 B.B+C 与 D 是互斥事件,也是对立事件 C.A+C 与 B+D 是互斥事件,但不是对立事件 D.A 与 B+C+D 是互斥事件,也是对立事件 【解析】 由于 A,B,C,D 彼此互斥,且 A+B+C+D 是一个必然事件,故其事件 的关系可由如图所示的韦恩图表示, 由图可知, 任何一个事件与其余 3 个事件的和事件必然 是对立事件,任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件.

【答案】 D 1 1 5.甲、乙两人下棋,和棋的概率为 ,乙获胜的概率为 ,则下列说法正确的是( 2 3 1 A.甲获胜的概率是 6 1 B.甲不输的概率是 2 2 C.乙输了的概率是 3 )

1 D.乙不输的概率是 2 【解析】 “甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件,所以“甲获胜”的概率是 P=1 1 1 1 - - = ; 2 3 6 设事件 A 为“甲不输”,则 A 是“甲胜”、“和棋”这两个互斥事件的并事件, 1 1 2 所以 P(A)= + = ; 6 2 3 乙输了即甲胜了, 1 1 5 所以乙输了的概率为 ;乙不输的概率为 1- = . 6 6 6 【答案】 A 6.(2013· 兰州模拟)从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球,那么互斥而不对 立的事件是( )

A.至少有一个红球与都是红球 B.至少有一个红球与都是白球 C.至少有一个红球与至少有一个白球 D.恰有一个红球与恰有二个红球 【解析】 对于 A 中的两个事件不互斥,对于 B 中两个事件互斥且对立,对于 C 中两 个事件不互斥,对于 D 中的两个互斥而不对立. 【答案】 D 二、填空题 7.(1)某人投篮 3 次,其中投中 4 次是________事件; (2)抛掷一枚硬币,其落地时正面朝上是________事件; (3)三角形的内角和为 180° 是________事件. 【解析】 (1)共投篮 3 次,不可能投中 4 次;(2)硬币落地时正面和反面朝上都有可能; (3)三角形的内角和等于 180° . 【答案】 (1)不可能 (2)随机 (3)必然

8.向三个相邻的军火库投一枚炸弹,击中第一个军火库的概率是 0.025,击中另两个军 火库的概率各为 0.1,并且只要击中一个,另两个也爆炸,则军火库爆炸的概率为________. 【解析】 设事件 A、B、C 分别表示击中第一、二、三个军火库,易知 A、B、C 彼此 互斥, P(A)=0.025, P(B)=P(C)=0.1.设事件 D 表示军火库爆炸, P(D)=P(A)+P(B)+P(C) 则 =0.025+0.1+0.1=0.225. ∴军火库爆炸的概率为 0.225. 【答案】 0.225 9.某家庭电话,打进电话响第 1 声时被接的概率是 0.1,响第 2 声时被接的概率为 0.2, 响第 3 声时被接的概率是 0.3, 响第 4 声时被接的概率是 0.3, 则电话在响 5 声之前被接的概

率为________. 【解析】 记“电话响第 i 声时被接”为事件 Ai(i=1,2,3,4),“电话响 5 声之前被接” 为事件 A,由于 A1,A2,A3,A4 互斥,所以 P(A)=P(A1+A2+A3+A4) =P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4) =0.1+0.2+0.3+0.3=0.9. 【答案】 0.9 三、解答题 10.在数学考试中,小明的成绩在 90 分及以上的概率是 0.18,在 80~89 分的概率是 0.51,在 70~79 分的概率是 0.15,在 60~69 分的概率是 0.09,计算小明在数学考试中取得 80 分及以上成绩的概率和小明考试不及格(低于 60 分)的概率. 【解】 设小明的数学考试成绩在 90 分及以上,在 80~89 分,在 70~79 分,在 60~ 69 分分别为事件 B,C,D,E,这 4 个事件是彼此互斥的. 根据互斥事件的概率加法公式,小明的考试成绩在 80 分及以上的概率为 P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69. 小明考试及格的概率,即成绩在 60 分及以上的概率为 P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E) =0.18+0.51+0.15+0.09=0.93. 而小明考试不及格与小明考试及格是互为对立事件,所以小明考试不及格的概率为 1- P(B∪C∪D∪E)=1-0.93=0.07. 11.(2013· 温州模拟)甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜 利,比赛结束.假设在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相 互独立.已知前 2 局中,甲、乙各胜 1 局. (1)求再赛 2 局结束这次比赛的概率; (2)求甲获得这次比赛胜利的概率. 【解】 记 Ai 表示事件:第 i 局甲获胜,i=3,4,5,Bj 表示事件:第 j 局乙获胜,j=3,4. (1)记 A 表示事件:再赛 2 局结束比赛. A=A3A4+B3B4. 由于各局比赛结果相互独立,故 P(A)=P(A3A4+B3B4)=P(A3A4)+P(B3B4)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4)=0.6×0.6+0.4×0.4 =0.52. (2)记 B 表示事件:甲获得这次比赛的胜利. 因前两局中,甲、乙各胜一局,故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中,甲 先胜 2 局,从而 B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5, 由于各局比赛结果相互独立,故

P(B)=P(A3A4)+P(B3A4A5)+P(A3B4A5)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5) =0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648. 12.(文)袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、黄绿、绿球,从中任取一球,得到红 1 5 5 球的概率为 ,得到黑球或黄球的概率是 ,得到黄球或绿球的概率也是 ,试求得到黑球、 3 12 12 得到黄球、得到绿球的概率各是多少? 【解】 从袋中任取一球,记事件“得到红球”、“得到黑球”、“得到黄球”、“得 到绿球”分别为 A、B、C、D,则有 5 P(B∪C)=P(B)+P(C)= ,① 12 5 P(C∪D)=P(C)+P(D)= ,② 12 P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A) 1 2 =1- = .③ 3 3 1 1 联立①②③求解得 P(B)= ,P(C)= , 4 6 1 P(D)= . 4 1 1 1 即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是 、 、 . 4 6 4 (理)甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋装有 2 个红球,2 个白球;乙袋装有 2 个红球,n 个白球.现从甲、乙两袋中各任取 2 个球. (1)若 n=3,求取到的 4 个球至少有一个是白球的概率; 3 (2)若“取到的 4 个球中至少有 2 个红球”的概率为 ,求 n. 4 【解】 (1)记“取到的 4 个球全是红球”为事件 A, C2 C2 1 1 1 1 59 2 2 则 P(A)= 2· 2= · = , 4 个球至少有一个是白球的概率 P=1-P(A)=1- = . 而 C4 C5 6 10 60 60 60 (2)记“取到的 4 个球至多有 1 个红球”为事件 B, “取到的 4 个球只有 1 个红球”为事 件 B1,“取到的 4 个球全是白球”为事件 B2. 3 1 由题意,得 P(B)=1- = . 4 4 C1C1 C2 C2 C1C1 2 2 n 2 2 n P(B1)= 2 · 2 + 2· 2 C4 Cn+2 C4 Cn+2 = 2n2 ; 3?n+2??n+1?

n?n-1? C2 C2 2 n P(B2)= 2· 2 = ; C4 Cn+2 6?n+2??n+1? 所以 P(B)=P(B1)+P(B2)



n?n-1? 2n2 + 3?n+2??n+1? 6?n+2??n+1?

1 = , 4 化简,得 7n2-11n-6=0, 3 解得 n=2 或 n=- (舍去),故 n=2. 7 四、选做题 13.(文)某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为 0.3、0.2、0.1、 0.4. (1)求他乘火车或乘飞机去开会的概率; (2)求他不乘轮船去开会的概率; (3)如果他乘某种交通工具去开会的概率为 0.5,请问他有可能是乘何种交通工具去开会 的? 【解】 (1)记“他乘火车去开会”为事件 A1,“他乘轮船去开会”为事件 A2,“他乘 汽车去开会”为事件 A3,“他乘飞机去开会”为事件 A4,这四个事件不可能同时发生,故 它们是彼此互斥的,故(P1+A4)=P(A1)+P(A4)=0.3+0.4=0.7. (2)设他不乘轮船去开会的概率为 P, 则 P=1-P(A2)=1-0.2=0.8. (3)由于 0.3+0.2=0.5,0.1+0.4=0.5,1-(0.3+0.2)=0.5,1-(0.1+0.4)=0.5,故他有可能 乘火车或轮船去开会,也有可能乘汽车或飞机去开会. (理)一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球.已知袋中共有 10 个球,从中任意摸 2 7 出 1 个球,得到黑球的概率是 ;从中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是 .求: 5 9 (1)从袋中任意摸出 2 个球,得到的都是黑球的概率. (2)袋中白球的个数. 2 【解】 (1)由题意知,袋中黑球的个数为 10× =4. 5 记“从袋中任意摸出 2 个球,得到的都是黑球”为事件 A,则 P(A)= C2 2 4 = . C2 15 10

(2)记“从袋中任意摸出 2 个球, 至少得到 1 个白球”为事件 B, 设袋中白球的个数为 x, C2 -x 7 10 则 P(B)=1-P( B )=1- 2 = ,解得 x=5. C10 9 即袋中白球的个数为 5.


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