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函数的最大小值教案


课题:1.3.2 函数的最大(小)值
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课标(考纲)要求 学情分析 教学目标

使用人 理解概念,掌握性质

学完单调性,对图像变化有一定的认识 知识与能力 (1)理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. (2)理解函数的最大(小)值是在整个定义域上研究函数. 体会 求

函数最值是函数单调性的应用之一 过程与方法 借助函数的单调性,结合函数图象,形成函数最值的概念. 培养应 用函数的单调性求解函数最值问题

情感态度价 在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想,感知数学问 值观 题求解途径与方法,探究的基本技巧,享受成功的快乐 教学重难点
重点:应用函数单调性求函数最值; 难点:理解函数最值可取性的意义

媒体及方法 课堂类型

多媒体 新授课

教学环节与设计
一、 创设情境,导入新课
( 1) .函数 f (x) = x2. 在( – ∞,0)上是减函数,在[0,+∞)上是增函数. 当 x≤0 时,f (x)≥f (0), x≥0 时, f (x)≥f (0). 从而 x?R. 都有 f (x) ≥f (0). 因此 x = 0 时,f (0)是函数值中的最小值. ( 2) .函数 f (x) = –x2 同理可知 x?R. 都有 f (x)≤f (0). 即 x = 0 时, f (0)是函数值中的最大值. 师生活动 师生合作回顾增函数、减函数的定义及图象特征; 师生合作定性分析函数 f (x)的图象特征, 通过图象观察, 明确函数图象在整个定义域上有最低点和最高点, 从而认识到最低点和最高点的函数值是函数的最小值和最大值.

二、

合作探究、学习新知

函数最大值概念: 一般地,设函数 y = f (x)的定义域为 I. 如果存在实数 M 满足: (1)对于任意 x 都有 f (x) ≤M. (2)存在 x0?I,使得 f (x0) = M. 那么,称 M 是函数 y = f (x) 的最大值. 函数最小值概念. 一般地:设函数 y = f (x)的定义域为 I,如果存在实数 M,满足: (1)对于任意 x?I,都有 f (x)≥M. (2)存在 x0?I,使得 f (x0) = M. 那么,称 M 是函数 y = f (x)的最小值. 师生活动:
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函数最小值概念. 一般地:设函数 y = f (x)的定义域为 I,如果存在实数 M,满足: (1)对于任意 x?I,都有 f (x)≥M. (2)存在 x0?I,使得 f (x0) = M. 那么,称 M 是函数 y = f (x)的最小值. 师:怎样理解最大值. 生:最大值是特别的函数值,具备存在性、确定性. 师:函数最小值怎样定义? 师生合作,学生口述,老师评析并板书定义.

三、

巩固练习,提升能力

例 1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面 的高度 h m 与时间 t s 之间的关系为 h (t) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时 刻?这时距地面的高度是多少(精确到 1m)? 训练题 1: 已知函数 f (x) = x2 – 2x – 3,若 x?[t,t +2]时,求函数 f (x)的最值. 例 2 已知函数 y =
2 (x?[2,6]),求函数的最大值和最小值. x ?1

训练题 2:设 f (x)是定义在区间[–6,11]上的函数. 如果 f (x) 在区间[–6,–2]上递减,在区间[–2,11]上 递增,画出 f (x) 的一个大致的图象,从图象上可以发现 f (–2)是函数 f (x)的一个 . 训练题 3:甲、乙两地相距 s km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,已知汽车每小时的运输成本(单位:元) 由可变部分和固 定部分组成, 可变部分与速度 x (km / h)的平方成正比, 比例系数为 a, 固定部分为 b 元, 请问,是不是汽车的行驶速度越快,其全程成本越小?如果不是,那么为了使全程运输成本最小,汽车应以 多大的速度行驶? 师生活动 师生合作讨论例 1、例 2 的解法思想,并由学生独立完成训练题 1、2、3. 老师点评. 阐述解题思想,板 书解题过程. 例 1 解:作出函数 h(t) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18 的图象(如图). 显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高 点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面的高度.

由二次函数的知识,对于函数 h (t) = – 4.9t 2 + 14.7t +18,我们有: 当 t =? h=
14.7 =1.5 时,函数有最大值 2 ? ( ?4.9)

4 ? (?4.9) ?18 ? 14.7 2 ≈29. 4 ? (?4.9)

于是,烟花冲出后 1.5 s 是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度约为 29m. 师:投影训练题 1、2.
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生:学生相互讨论合作交流完成. 训练题 1 解:∵对称轴 x = 1, (1)当 1≥t +2 即 t≤–1 时, f (x)max = f (t) = t 2 –2t –3, f (x)min = f (t +2) = t 2 +2t –3. (2)当
t ?t ?2 ≤1<t +2,即–1<t≤0 时, 2

f (x)max = f (t) = t 2 –2t–3, f (x)min= f (1) = – 4. (3)当 t≤1<
t ?t ?2 ,即 0<t≤1, 2

f (x)max = f (t +2) = t 2 + 2t – 3, 例 2 分析: 由函数 y =
2 2 2 (x?[2, 6])的图象可知, 函数 y = 在区间[2, 6])的图象可知, 函数 y = x ?1 x ?1 x ?1 2 在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值和最小值. x ?1

在区间[2,6]上递减. 所以,函数 y =

解:设 x1,x2 是区间[2,6]上的任意两个实数,且 x1<x2,则 f (x1) – f (x2) = = =
2 2 ? x1 ? 1 x2 ? 1 2[( x2 ? 1) ? ( x1 ? 1)] ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 2( x2 ? x1 ) . ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

由 2≤x1<x2≤6,得 x2 –x1>0,(x1–1) (x2–1)>0, 于是 f (x1) – f (x2)>0, 即 f (x1)>f (x2). 所以,函数 y =
2 是区间[2,6]上是减函数. x ?1

因此,函数 y =

2 在区间[2,6]的两个端点上分别取得最 x ?1

大值与最小值,即在 x =2 时取得的最大值,最大值是 2,在 x = 6 时的最小值,最小值是 0.4

四、

小结归纳,布置作业

1.最值的概念 2.应用图象和单调性求最值的一般步骤. 作业:课本 39 页 B 组 1,2

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