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名师辅导 立体几何 第4课 线面垂直(含答案解析)


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名师辅导 立体几何 第 4 课

线面垂直(含答案解析)

●考试目标 主词填空 1.直线和平面垂直 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理 判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两

条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这 个平面. 判定定理:如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一平面. 判定定理:一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面. 性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. 3.三垂线定理和它的逆定理. 三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它和 这条斜线垂直. 逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线 在该平面上的射影垂直. ●题型示例 点津归纳 【例 1】 如图所示,已知点 S 是平面 ABC 外一点, ∠ABC=90°,SA⊥平面 ABC,点 A 在直线 SB 和 SC 上的 射影分别为点 E、F,求证:EF⊥SC. 【解前点津】 用分析法寻找解决问题的途径,假设 EF⊥SC 成立,结合 AF⊥SC 可推证 SC⊥平面 AEF,这样 SC⊥AE,结合 AE⊥SB,可推证 AE⊥平面 SBC,因此证明 AE⊥平面 SBC 是解决本题的关键环节.由题设 SA⊥平面 ABC, ∠ABC=90°,可以推证 BC⊥AE,结合 AE⊥SB 完成 AE⊥平 面 SBC 的证明.

例 1 题图

SA ? 平面ABC ? SA ? BC? ? 【规范解答】 ?ABC ? 90? ? AB ? BC ? ? BC ? 平面SA ? BC ? AE. ? SA ? AB ? A ? AE ? BC(已证)? ? AE ? SB(题设) ? ? AE ? 平面SBC ? EF 为 AF 在平面 SBC 上的射影. SB ? BC ? B ? ?
又∵SC⊥AF,∴SC⊥EF. 【解后归纳】 题设中条件多,图形复杂,结合题设理清图形中基本元素之间的位置关 系是解决问题的关键. 【例 2】 已知:M∩N=AB,PQ⊥M 于 Q,PO⊥N 于 O,OR⊥M 于 R,求证:QR⊥AB. 【解前点津】 由求证想判定, 欲证线线垂直, 方法有 (1) a∥b,a⊥c ? b⊥c;(2)a⊥α ,b ? α ? a⊥b;(3)三垂线定理及其逆定理. 由已知想性质,知线面垂直,可推出线线垂直或线线平行. 【规范解答】 证法一 如图所示,

?M ? N ? AB ∵? ?PO ? N

∴PO⊥AB,

又 PQ⊥M,∴PQ⊥AB, ∴AB⊥平面 PQO, 又 OR⊥M,∴PQ∥OR, ∴PQ 与 OR 确定平面 PR(即平面 RQP). 例 2 题图 ∵QR ? 面 PR,∴QR⊥AB. 证法二 ∵PQ⊥M,OR⊥M, ∴RQ 是直线 PO 在平面 M 上的射影. ∵PO⊥N,AB ? N,∴PO⊥AB,AB ? M, ∴QR⊥AB(三垂线定理的逆定理). 【解后归纳】 处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题,要抓住“一 个面”、“四条线”. 所谓“一个面”:就是要确定一个垂面,三条垂线共处于垂面之上. 所谓“四条线”:就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线,这四条线中垂线是关 键的一条线,牵一发而动全身,应用时一般可按下面程序进行操作:确定垂面、抓准斜线、 作出垂线、连结射影,寻第四条线. 【例 3】 已知如图(1)所示,矩形纸片 AA′A′1A1,B、C、B1、C1 分别为 AA′,A1A′ 的三等分点,将矩形纸片沿 BB1,CC1 折成如图(2)形状(正三棱柱),若面对角线 AB1⊥BC1, 求证:A1C⊥AB1.

例 3 题图解(1) 【解前点津】 题设主要条件是 AB1⊥BC,而结论是 AB1⊥A1C,题设,题断有对答性, 可在 ABB1A1 上作文章, 只要取 A1B1 中点 D1, 就把异面直线 AB1 与 BC1 垂直关系转换到 ABB1A1 同一平面内 AB1 与 BD1 垂直关系,这里要感谢三垂线逆定理.自然想到题断 AB1 与 A1C 垂直 用同法(对称原理)转换到同一平面,取 AB 中点 D 即可,只要证得 A1D 垂直于 AB1,事实 上 DBD1A1,为平行四边形,解题路子清楚了. 【规范解答】 证法一 作 C1D1⊥A1B1 于 D1, ∵A1C1=B1C1,∴D1 为 A1B1 中点. ∵AA1⊥平面 A1B1C1,BD1 为 BC1 在平面 ABB1A1 内的射影, 由 AB1⊥BC1 得 AB1⊥BD1,取 AB 中点 D, 同理可证 A1D 为 A1C 在平面 ABB1A1 内的射影, ∵A1D1 BD,∴A1D1BD 为平行四边形, 由 AB1⊥BD1,得 AB1⊥A1D,∴AB1⊥A1C. 证法二 作 AD∥BC,BD∥AC 交于 D,

作 A1D1∥B1C1,B1D1∥A1C1 交于 D1. 连 BD1,DD1(如图(2)), ∵A1C1B1D1 为菱形, ∴A1B1⊥D1C1, 又 AA1⊥平面 A1D1B1C1, ∴AA1⊥D1C1, 又 D1C1⊥平面 ABB1A1,∴D1C1⊥AB1, 又 AB1⊥BC1,∴AB1⊥平面 BC1D1,∴AB1⊥BD1, 又 BD1∥CA1,∴AB1⊥A1C. 【解后归纳】 证线线垂直主要途径是: (1)三垂线正逆定理,(2)线面,线线垂直互相转化. 利用三垂线正逆定理完成线线归面工作,在平面内完成作解任务. 证线线垂直,线面垂直,常常利用线面垂直,线线垂直作为桥梁过渡过来,这种转化思 想有普遍意义, 利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式, 也是不容忽视的常 用方法. 【例 4】 空间三条线段 AB,BC,CD,AB⊥BC,BC⊥CD,已知 AB=3,BC=4,CD=6,则 AD 的 取值范围是 . 【解前点津】 如图,在直角梯形 ABCD1 中,CD1=6, AD1 的长是 AD 的最小值,其中 AH⊥CD1,AH=BC=4,HD1=3, ∴AD1=5;在直角△AHD2 中,CD2=6,AD2 是 AD 的最大值为
2 HD2 ? AH 2 ? (6 ? 3) 2 ? 4 2 ? 97

【规范解答】 [5, 97 ]

例 4 题图

【解后归纳】 本题出题形式新颖、灵活性大,很多学生对此类题感到无从入手,其实 冷静分析,找出隐藏的条件很容易得出结论. ●对应训练 分阶提升 一、基础夯实 1.设 M 表示平面,a、b 表示直线,给出下列四个命题: ①

a // b ? ??b ? M a ? M?



a ? M? ? ? a // b b?M?



a ? M? ? ? b∥M a?b ?



a // M ? ? ? b⊥M. a?b ?

其中正确的命题是 ( ) A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 2.下列命题中正确的是 ( ) A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面 B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线垂直于这个平面 C.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线 D.若一条直线垂直于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面 3.如图所示,在正方形 ABCD 中,E、F 分别是 AB、BC 的中点.现在沿 DE、DF 及 EF 把△ADE、△CDF 和△BEF 折起,使 A、B、C 三点重合,重合后的点记为 P.那么,在四面 体 P—DEF 中,必有 ( )

第 3 题图

A.DP⊥平面 PEF B.DM⊥平面 PEF C.PM⊥平面 DEF D.PF⊥平面 DEF 4.设 a、b 是异面直线,下列命题正确的是 ( ) A.过不在 a、b 上的一点 P 一定可以作一条直线和 a、b 都相交 B.过不在 a、b 上的一点 P 一定可以作一个平面和 a、b 都垂直 C.过 a 一定可以作一个平面与 b 垂直 D.过 a 一定可以作一个平面与 b 平行 5.如果直线 l,m 与平面α ,β ,γ 满足:l=β ∩γ ,l∥α ,m ? α 和 m⊥γ ,那么必有 ( ) A.α ⊥γ 且 l⊥m B.α ⊥γ 且 m∥β C.m∥β 且 l⊥m D.α ∥β 且α ⊥γ 6.AB 是圆的直径,C 是圆周上一点,PC 垂直于圆所在平面,若 BC=1,AC=2,PC=1,则 P 到 AB 的距离为 ( ) A.1 B.2 C.

2 5 5

D.

3 5 5

7.有三个命题: ①垂直于同一个平面的两条直线平行; ②过平面α 的一条斜线 l 有且仅有一个平面与α 垂直; ③异面直线 a、b 不垂直,那么过 a 的任一个平面与 b 都不垂直 其中正确命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.d 是异面直线 a、b 的公垂线,平面α 、β 满足 a⊥α ,b⊥β ,则下面正确的结论是 ( ) A.α 与β 必相交且交线 m∥d 或 m 与 d 重合 B.α 与β 必相交且交线 m∥d 但 m 与 d 不重合 C.α 与β 必相交且交线 m 与 d 一定不平行 D.α 与β 不一定相交 9.设 l、m 为直线,α 为平面,且 l⊥α ,给出下列命题 ① 若 m⊥α ,则 m∥l;②若 m⊥l,则 m∥α ;③若 m∥α ,则 m⊥l;④若 m∥l,则 m⊥α ,

其中真命题的序号是 ( ) ... A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 10.已知直线 l⊥平面α ,直线 m 平面β ,给出下列四个命题: ①若α ∥β ,则 l⊥m;②若α ⊥β ,则 l∥m;③若 l∥m,则α ⊥β ;④若 l⊥m,则α ∥β . 其中正确的命题是 ( ) A.③与④ B.①与③ C.②与④ D.①与② 二、思维激活 11.如图所示,△ABC 是直角三角形,AB 是斜边,三个顶点在平面α 的同侧,它们在α 内的射影分别为 A′,B′,C′,如果△A′B′C′是正三角形,且 AA′=3cm,BB′=

5cm,CC′=4cm,则△A′B′C′的面积是

.

第 11 题图

第 13 题图 时, 时,

12.如图所示,在直四棱柱 A1B1C1D1—ABCD 中,当底面四边形 ABCD 满足条件 有 A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形) 13.如图所示, 在三棱锥 V—ABC 中, 当三条侧棱 VA、 VC 之间满足条件 VB、 有 VC⊥AB.(注:填上你认为正确的一种条件即可)

三、能力提高 14.如图所示,三棱锥 V-ABC 中,AH⊥侧面 VBC,且 H 是△VBC 的垂心,BE 是 VC 边上的 高. (1)求证:VC⊥AB; (2)若二面角 E—AB—C 的大小为 30°,求 VC 与平面 ABC 所成角的大小.

第 14 题图

15.如图所示,PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:MN∥平面 PAD. (2)求证:MN⊥CD. (3)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面 PCD.

第 15 题图

16.如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,∠BAD=60°,AB =4,AD=2,侧棱 PB= 15 ,PD= 3 .

(1)求证:BD⊥平面 PAD. (2)若 PD 与底面 ABCD 成 60°的角,试求二面角 P—BC—A 的大小.

第 16 题图

17.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1, 1= 6 , 是 CC1 AA M 的中点,求证:AB1⊥A1M.

18.如图所示,正方体 ABCD—A′B′C′D′的棱长为 a,M 是 AD 的中点,N 是 BD′ 上一点,且 D′N∶NB=1∶2,MC 与 BD 交于 P. (1)求证:NP⊥平面 ABCD. (2)求平面 PNC 与平面 CC′D′D 所成的角. (3)求点 C 到平面 D′MB 的距离.

第 18 题图

第 4 课 线面垂直习题解答 1.A 两平行中有一条与平面垂直,则另一条也与该平面垂直,垂直于同一平面的两直线平 行.

2.C 由线面垂直的性质定理可知. 3.A 折后 DP⊥PE,DP⊥PF,PE⊥PF. 4.D 过 a 上任一点作直线 b′∥b,则 a,b′确定的平面与直线 b 平行. 5.A ?依题意,m⊥γ 且 m ? α ,则必有α ⊥γ ,又因为 l=β ∩γ 则有 l ? γ ,而 m⊥γ 则 l⊥m, 故选 A. 6.D ? 过 P 作 PD ⊥ AB 于 D , 连 CD , 则 CD ⊥ AB , AB=
AC 2 ? BC 2 ? 5 ,

CD ?

AC ? BC 2 , ? AB 5 4 3 5 . ? 5 5

∴PD= PC 2 ? CD 2 ? 1 ?

7.D 由定理及性质知三个命题均正确. 8.A 显然α 与β 不平行. 9.D 垂直于同一平面的两直线平行,两条平行线中一条与平面垂直,则另一条也与该平面 垂直. 10.B ∵α ∥β ,l⊥α ,∴l⊥m

3 2 cm 设正三角 A′B′C′的边长为 a. 2 2 ∴AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB =a2+4, 又 AC2+BC2=AB2,∴a2=2. 3 2 3 S△A′B′C′= cm2. ?a ? 4 2 12.在直四棱柱 A1B1C1D1—ABCD 中当底面四边形 ABCD 满足条件 AC⊥BD(或任何能推导出 这个条件的其它条件,例如 ABCD 是正方形,菱形等)时,有 A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确 的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形). 点评:本题为探索性题目,由此题开辟了填空题有探索性题的新题型,此题实质考查了 三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活. 13.VC⊥VA,VC⊥AB. 由 VC⊥VA,VC⊥AB 知 VC⊥平面 VAB. 14.(1)证明:∵H 为△VBC 的垂心, ∴VC⊥BE,又 AH⊥平面 VBC, ∴BE 为斜线 AB 在平面 VBC 上的射影,∴AB⊥VC. (2)解:由(1)知 VC⊥AB,VC⊥BE, ∴VC⊥平面 ABE,在平面 ABE 上,作 ED⊥AB,又 AB⊥VC, ∴AB⊥面 DEC. ∴AB⊥CD,∴∠EDC 为二面角 E—AB—C 的平面角, ∴∠EDC=30°,∵AB⊥平面 VCD, ∴VC 在底面 ABC 上的射影为 CD. ∴∠VCD 为 VC 与底面 ABC 所成角,又 VC⊥AB,VC⊥BE, ∴VC⊥面 ABE,∴VC⊥DE, ∴∠CED=90°,故∠ECD=60°, ∴VC 与面 ABC 所成角为 60°. 15.证明:(1)如图所示,取 PD 的中点 E,连结 AE,EN,
11.

则有 EN∥CD∥AB∥AM,EN=

1 1 CD= AB=AM,故 AMNE 为平行四边形. 2 2

∴MN∥AE. ∵AE 平面 PAD,MN 平面 PAD,∴MN∥平面 PAD. (2)∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥AB. 又 AD⊥AB,∴AB⊥平面 PAD. ∴AB⊥AE,即 AB⊥MN. 又 CD∥AB,∴MN⊥CD. (3)∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥AD. 又∠PDA=45°,E 为 PD 的中点. ∴AE⊥PD,即 MN⊥PD.又 MN⊥CD, ∴MN⊥平面 PCD. 16.如图(1)证:由已知 AB=4,AD=2,∠BAD=60°, 1 故 BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos60°=4+16-2×2×4× =12. 2 又 AB2=AD2+BD2, ∴△ABD 是直角三角形,∠ADB=90°, 即 AD⊥BD.在△PDB 中,PD= 3 ,PB= 15 ,BD= 12 , ∴PB2=PD2+BD2,故得 PD⊥BD.又 PD∩AD=D, ∴BD⊥平面 PAD. (2)由 BD⊥平面 PAD,BD 平面 ABCD. ∴平面 PAD⊥平面 ABCD.作 PE⊥AD 于 E, 又 PE 平面 PAD, ∴PE⊥平面 ABCD,∴∠PDE 是 PD 与底面 ABCD 所成的角. ∴∠PDE=60°,∴PE=PDsin60°= 3 ? 作 EF⊥BC 于 F,连 PF,则 PF⊥BF, ∴∠PFE 是二面角 P—BC—A 的平面角. 又 EF=BD= 12 ,在 Rt△PEF 中,

第 15 题图解

第 16 题图解

3 3 ? . 2 2

3 PE 3 tan∠PFE= . ? 2 ? EF 2 3 4
故二面角 P—BC—A 的大小为 arctan

3 . 4

17.连结 AC1,∵

AC ? MC1

3 6 2

? 2?

CC1 . C1 A1

∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1, ∴∠AC1C=∠MA1C1, ∴∠A1MC1+∠AC1C=∠A1MC1+∠MA1C1=90°.

∴A1M⊥AC1,又 ABC-A1B1C1 为直三棱柱, ∴CC1⊥B1C1,又 B1C1⊥A1C1,∴B1C1⊥平面 AC1M. 由三垂线定理知 AB1⊥A1M. 点评:要证 AB1⊥A1M,因 B1C1⊥平面 AC1,由三垂线定理可转化成证 AC1⊥A1M,而 AC1⊥ A1M 一定会成立. 18.(1)证明:在正方形 ABCD 中, 1 ∵△MPD∽△CPB,且 MD= BC, 2 ∴DP∶PB=MD∶BC=1∶2. 又已知 D′N∶NB=1∶2, 由平行截割定理的逆定理得 NP∥DD′,又 DD′⊥平面 ABCD, ∴NP⊥平面 ABCD. (2)∵NP∥DD′∥CC′, ∴NP、CC′在同一平面内,CC′为平面 NPC 与平面 CC′D′D 所成二面角的棱. 又由 CC′⊥平面 ABCD,得 CC′⊥CD,CC′⊥CM, ∴∠MCD 为该二面角的平面角. 在 Rt△MCD 中可知 1 ∠MCD=arctan ,即为所求二面角的大小. 2 (3)由已知棱长为 a 可得,等腰△MBC 面积 S1=

a2 6 2 ,等腰△MBD′面积 S2= a ,设所 2 4

求距离为 h,即为三棱锥 C—D′MB 的高. 1 1 ∵三棱锥 D′—BCM 体积为 S1 ? DD ? ? S 2 h , 3 3 ∴h?

S1 ? a 6 ? a. S2 3


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