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(江苏专用)2016高考数学二轮专题复习 第二部分 考前增分指导三4 数列、不等式课件 理


4.数列、不等式
1.等差数列的有关概念及运算 (1)等差数列的判断方法:定义法 an+1-an=d(d 为常数)或 an+1-an =an-an-1(n≥2). (2)等差数列的通项:an=a1+(n-1)d 或 an=am+(n-m)d. n(a1+an) n(n-1) (3)等差数列的前 n 项和:Sn= ,Sn=na1+ d. 2 2 [回扣问题 1] 已知等差

数列{an}的前 n 项和为 Sn,S7=49,a4 和 a8 的等差中项为 11,则 an=________,Sn=______________.

答案 2n-1

n2

2.等差数列的性质 (1)当公差 d≠0 时,等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d=dn+ a1-d 是关于 n 的一次函数,且斜率为公差 d;前 n 项和 Sn=na1 n(n-1) d 2 d + d= n +(a1- )n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0. 2 2 2 (2)若公差 d>0,则为递增等差数列;若公差 d<0,则为递减等 差数列;若公差 d=0,则为常数列. (3)当 m+n=p+q 时,则有 am+an=ap+aq,特别地,当 m+n= 2p 时,则有 am+an=2ap. (4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等差数列.

Sn [回扣问题 2] 等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,且T = n 3n-1 a8 ,则 =________. b8 2n+3
4 答案 3

3.等比数列的有关概念及运算 an+1 (1)等比数列的判断方法:定义法 a =q(q 为常数),其中 q≠0, n an+1 an an ≠ 0 或 a = (n≥2). an-1 n (2)等比数列的通项:an=a1qn-1 或 an=amqn-m. (3)等比数列的前 n 项和:当 q=1 时,Sn=na1;当 q≠1 时,Sn a1(1-qn) a1-anq = = . 1-q 1-q

(4)等比中项:若 a,A,b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等比中 项.值得注意的是,不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存 在等比中项,且有两个,即为± ab.如已知两个正数 a,b(a≠b)的等 差中项为 A,等比中项为 B,则 A 与 B 的大小关系为 A>B. 3 9 [回扣问题 3] 已知等比数列{an}中,a3= ,S3= ,求 a1 与 q. 2 2 3 1 答案 a1=2,q=1 或 a1=6,q=-2

4.等比数列的性质

(1)若{an},{bn}都是等比数列,则{anbn}也是等比数列;
(2) 若数列 {an} 为等比数列,则数列 {an} 可能为递增数列、递减 数列、常数列和摆动数列; (3)等比数列中,当m+n=p+q时,aman=apaq; [回扣问题4] 在等比数列{an}中,a3+a8=124,a4a7=-512,

公比q是整数,则a10=________. 答案 512

5.数列求和的常见方法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序 相加.关键找通项结构. (1)分组法求数列的和:如 an=2n+3n;(2)错位相减法求和:如 1 1 an=(2n-1)2 ;(3)裂项法求和:如求 1+ + +?+ 1+2 1+2+3
n

1 ;(4)倒序相加法求和. 1+2+3+?+n 1 [回扣问题 5] 数列{an}满足 an+an+1= (n∈N, n≥1), 若 a2=1, 2 Sn 是{an}前 n 项和,则 S21 的值为________. 9 答案 2

6.求数列通项常见方法 (1) 已知数列的前 n 项和 Sn ,求通项 an ,可利用公式 an =
? ?S1(n=1), ? 由 Sn 求 ? ?Sn-Sn-1(n≥2).

an 时,易忽略 n=1 的情况.

(2)形如 an+1=an+f(n)可采用累加求和法,例如{an}满足 a1=1, an=an-1+2n,求 an; (3)形如 an+1=can+d 可采用构造法,例如 a1=1,an=3an-1+2, 求 an . (4)归纳法,例如已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S2 n-(an+2)Sn +1=0,求 Sn,an.

[回扣问题6] 已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则an=________.

答案

? ?2,n=1 ? ? ?2n-1,n≥2

7.不等式的基本性质
(1)a>b?b<a; (2)a>b,b>c?a>c; (3)a>b?a+c>b+c; (4)若c>0,则a>b?ac>bc; 若c<0,则a>b?ac<bc; (5)若a>0,b>0,则a>b?an>bn(n∈N*,n≥2)

[回扣问题7] 已知-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3,则3x-y的取值
范围是________. 答案 [1,7]

8.解不等式包括一元一次不等式, 一元二次不等式, 分式不等式和含 绝对值的不等式等. 在求不等式的解集、定义域及值域时,其结果一定要用集合或区 间表示,不能直接用不等式表示. 1 [回扣问题 8] 不等式-1<x <1 的解集为________.

答案 (-∞,-1)∪(1,+∞)

a+b 9.基本不等式: ≥ ab(a,b>0) 2 (1)推广: a2+b2 a+b 2 2 ≥ 2 ≥ ab≥1 1(a,b∈R+). a+b

(2)用法:已知 x,y 都是正数,则 ①若积 xy 是定值 p,则当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 p; 12 ②若和 x+y 是定值 s,则当 x=y 时,积 xy 有最大值 s . 4 利用基本不等式求最值时,要注意验证“一正、二定、三相等” 的条件.

1 4 [回扣问题 9] 已知 a>0,b>0,a+b=1,则 y=a+b的最小值是 ________.

答案 9

10.解线性规划问题, 要注意边界的虚实; 注意目标函数中 y 的系数 的正负;注意最优整数解. ?x-y+2≥0, ? [回扣问题 10] 已知?x+y-4≥0, ?2x-y-5≤0. ? 求:①可行域所在区域面积________; ②z=x+2y 的最大值________; ③z=x2+y2-10y+25 的最小值________. y+1 ④z= 的范围是________; x+1 ⑤z=ax+y 仅在 C(3,1)处取最小值,求 a 的范围______. 9 1 答案 ①12 ②25 ③ ④[ ,2] ⑤(-2,1) 2 2


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