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双曲线及其标准方程


双曲线
定义及标准方程

从椭圆到双曲线
平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a(大 于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆. 把距离之和改为距离之差,那么点的轨迹是什么?

①如图(A), |MF1|-|MF2|=2a

②如图(B), |MF2|-|MF1|=2a

|

由①②可得: |MF1|-|MF2| | = 2a 上面两条曲线合起来 叫做双曲线,每一条叫 (差的绝对值) 做双曲线的一支

椭圆定义与双曲线定义对比
椭圆 双曲线

平面内到两定点F1、F2 的距离的和为定值2a(大 于|F1F2|)的点的轨迹叫做 椭圆 |PF1|+|PF2|=2a |F1F2|=2c(焦距)

平面内到两定点F1、F2的 距离的差的绝对值为定值 2a (小于|F1F2|)的点的轨迹 叫做双曲线 ||PF1|-|PF2||=2a |F1F2|=2c(焦距)

当0<a<c时,轨迹为双曲线 当a>c时,轨迹为椭圆 当a=c时,轨迹为两条射线 当a=c时,轨迹为线段F1F2 当a>c时,无轨迹 当a<c时,无轨迹 当a=0时,轨迹为垂直平分线

双曲线的标准方程
如图建立坐标系,使x轴经过F1、F2, 并且 原点O与线段F1F2的中点重合。设M(x , y)为 双曲线上任一点,双曲线焦距为2c(c>0),则 F1(-c,0), F2(c,0)
p ? ?M | MF 1 ? MF 2 ? ? 2 a ?
2 2 2 2

y
M

F1

o F x 2
y F2

( x ? c) ? y ?

( x ? c ) ? y ? ? 2a

移项平方整理得 cx ? a 2 ? ? a ( x ? c ) 2 ? y 2 再次平方,得: ( c 2 ? a 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 ( c 2 ? a 2 ) 由双曲线的定义知,2c>2a,即c>a,故c2-a2>0, 令c2-a2=b2,其中b>0,代入整理得:
x a
2 2

o F1

x

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

焦点在y轴时, 怎样变换得到?

标准方程(画图标出所有量)
椭圆
焦点 x 轴上 焦点 y 轴上 x a y a
2 2 2 2

双曲线
2

? ?

y b x b

2 2 2

? 1( a ? b ? 0 ) ? 1( a ? b ? 0 )

焦点 x 轴上 焦点 y 轴上

x a y a

2 2 2 2

? ?

y b x b

2 2 2 2

? 1( a , b ? 0 ) ? 1( a , b ? 0 )

(看x2,y2哪个分母大)
a ?b ?c
2 2 2

(看x2,y2哪个系数正)
c
2

?a ?b
2

2

(a ? b ? 0, a ? c )

( c ? a,c ? b,a,b 无大小关系 )

一个闭合图形

|PF1|-|PF2|=2a, 为靠近F2的一个分支 |PF2|-|PF1|=2a, 为靠近F1的一个分支

定义辨析
1.已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=10, 则P点的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.直线 D.一条射线
2.k>1,方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是( ) A.焦点在x轴上的椭圆; B.焦点在y轴上的椭圆 C.焦点在y轴上的双曲线;D.焦点在x轴上的双曲线 3.若mn<0,方程mx2-my2=n所表示的曲线是( ) A.焦点在x轴上的椭圆; B.焦点在y轴上的椭圆 C.焦点在y轴上的双曲线;D.焦点在x轴上的双曲线

待定系数法求标准方程
4 .求下列双曲线的标准方 程: (1) a ? 4 , b ? 2 , 焦点在 x 轴上; 2 )焦点为 ( 0 , ? 6 ), ( 0 , 6 ), 经过点 ( 2 , ? 5 ); ( ( 3 )焦点为 ( ? 5 , 0 ), ( 5 , 0 ), 双曲线上一点 P 到两焦点距离差的绝对 15 4 ), ( 16 3 ,5 ) 值为 6 ;

( 4 ) a ? 2 5 , 经过点 A ( ? 5 , 2 ); ( 5 )过点 ( 3 ,

1、如果明确了双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上, 那么所求的双曲线一定是标准形式. 2、常用的待定系数法可设
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1,

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1,

mx

2

? ny

2

? 1( m , n 同号 )

焦点在x轴上

焦点在y轴上

不知焦点所在轴

待定系数法求标准方程
5 . 根据下列条件 , 分别求双曲线的标准方 x
2

程:

(1 ) 过点 ( 3 2 , 2 ), 且与双曲线 ( 2 )与椭圆 x
2

?

y

2

? 1 有公共焦点 . , 且与椭圆相交 , 在第一

16 ? y
2

4

? 1 有共同的焦点

27

36

象限的交点 A 的纵坐标为 4 . 6 .已知直线 l : 5 x ? 7 y ? 1 ? 0 与标准型的双曲线 C 交于 A , B 两点 , 形 , 求双曲

点 P ( 5 ,14 )与 A , B 构成以 AB 为斜边的等腰直角三角 线 C 的方程 .

7 . 在周长为 48 的 Rt ? MPN 中 , ? MPN ? 90 ? , tan ? PMN ? M , N 为焦点 , 且过点 P 的双曲线方程 .

3 4

, 求以

由双曲线方程确定参数的值或范围
8 .如果方程 变 1 : 方程 变 2 : 方程 x
2 2

2?m x ? ?

?

y
2

2

m ?1 y

? 1 表示双曲线 , 求 m 的取值范围 .

2?m x
2

m ?1 y
2

? 1 表示双曲线 , 求 m 的取值范围 . ? 1 表示焦点在 y 轴的双曲线 ,

2?m

m ?1
2

求 m 的取值范围 . 9 . 3 ? m ? 5 是方程 A .充分非必要条件 C .充要条件 10 .已知双曲线 8 kx
2

x

m ?5

?

y
2

2

m ?m ?6

? 1 表示双曲线的

(

)

B .必要非充分条件 D .既不充分也不必要条件 ? ky
2

? 8的一个焦点为 ( 0 , 3 ), 求 k 的值 .

利用定义解题
11 .已知双曲线 x
2

?

y

2

? 1上一点 P 到双曲线的一个焦点的 离为多少?

9

16

距离为 9 , 则它到另一个焦点的距 变 1 : 若把 9改为 3,则答案如何?
椭圆上一点 P 到焦点 F ( c , 0 )的距离 a ? c ? PF ? a ? c (1 ) 若 PF ? a ? c , P 不存在 ( 2 ) 若 PF ? a ? c , P 唯一 ( 3 ) 若 a ? c ? PF ? a ? c , P 有 2 个 ( 4 ) 若 PF ? a ? c , P 唯一 ( 5 ) 若 PF ? a ? c , P 不存在

双曲线上一点

P 到焦点 F ( c , 0 )的距离

P 在右支时 PF ? c ? a , P 在左支时 PF ? c ? a . (1 ) 若 PF ? c ? a , P 不存在 ( 2 ) 若 PF ? c ? a , P 唯一 ( 3 ) 若 c ? a ? PF ? c ? a , P 有 2 个在一支 ( 4 ) 若 PF ? a ? c , P 有 3 个 ( 5 ) 若 PF ? a ? c , P 有 4 个

利用定义解题
12 .已知 A , B 两地相距 800 m , 在 A 地听到炮弹爆炸声比在 2 s , 且声速为 340 m / s , 求炮弹爆炸点的轨迹方 变 1 : 某中心接到其正东、正 正西、正北两个观测点 巨响的时间比其它两观 程. 点的报告 : B 地晚 西、正北方向三个观测

同时听到了一声巨响

, 正东观测点听到 的距

测点晚 4 s ,已知各观测点到该中心

离都是 1020 m , 试确定该巨响发生的位 置 ( 声速为 340 m / s ). 2 2 x y 13 . P 为双曲线 ? ? 1的右支上一点 , M , N 分别是圆 9 16
( x ? 5 ) ? y ? 4 和 ( x ? 5 ) ? y ? 1上的点 , 求 PM ? PN 的最大值 .
2 2 2 2

14 .已知定圆 C : x ? y ? 10 x ? 24 ? 0 , 定圆 D : x ? y ? 10 x ? 9 ? 0 ,
2 2 2 2

动圆 M 与定圆 C 、 D 都外切 , 求动圆圆心 M 的轨迹方程 .

定义法求轨迹,注意轨迹方程中变量的范围.

椭圆与双曲线综合
15 .若椭圆 16 .椭圆 x
2

x a

2 2

? y
2

y

2

? 1( a ? 0 )与双曲线

x

2

? x s
2

y

2

? 1的焦点相同 , 求 a . y t 点 , 求 PF 1 ? PF 2 .
2

4 ? 1( m ? n ? 0 ) 和双曲线

3

2 ? ? 1( s , t ? 0 ) 有相

?

m

n

同的焦点 F 1 和 F 2 , 而 P 是这两条曲线的一个交 17 .椭圆 x m
2 2

? y ? 1( m ? 1 ) 和双曲线
2

x n

2 2

? y ? 1( n ? 0 ) 有相同的焦点
2

F 1 和 F 2 , 而 P 是这两条曲线的一个交

点 , 求 ? F 1 PF 2的面积 .

双曲线焦点三角形问题
18 .双曲线 x
2

?

y

2

? 1的两个焦点为

9

16

F1 和 F 2 , 点 P 在双曲线上 ,

(1 ) 若 PF 1 ? PF 2 , 求点 P 到 x 轴的距离 . ( 2 ) 若满足 PF 1 ? PF 2 ? 32 , 求 ? F1 PF 2 . 19 . 设 F1 和 F 2 为双曲线 x
2

? y ? 1的两个焦点 , 点 P 在双曲线上
2

4
椭圆: S △ F1 PF 2= b tan
2 2

且满足 ? F1 PF 2 ? 90 ? , 求 ? F1 PF 2的面积 . 变 1 : 一般地 , 若 ? F1 PF 2 ? ? , S ? F1 PF 2 ? ? 20 . 设 P 为双曲线 x ?
2

?
2



双曲线: S △ F1 PF 2= b cot

?
2

y

2

12

? 1上的一点 , F1 和 F 2 是该双曲线的两

个焦点 , 若 PF 1 : 2 ? 3:, 求 ? F1 PF 2的面积 . PF 2


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