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山东省德州市乐陵、庆云、宁津地区2015-2016学年高二上学期联考数学试题


2015—2016 学年度上学期高二期中考试

数学试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知直线 l1 : ? k ? 3? x ? ? 4 ? k ? y ?1 ? 0, 与l2 : 2 ? k ? 3? x ? 2y ? 3 ? 0 平行, 则 k 的值

是 A.1 或 3 B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2
0

2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45 ,腰和上底均为 1 的等腰 梯形,那么原平面图形的面积是 A. 2 ?

2

B.

1? 2 2

C.

2? 2 2

D. 1 ? 2

3.已知直线 l1:ax-y-2=0 和直线 l2:(a+2)x-y+1=0 互相垂直,则实数 a 的值为 A.-1 B.0 C.1 D.2 4.与 x 轴相切,半径为 6,圆心的横坐标为-203 的圆的方程是 2 2 2 2 A.( x +203) +( y -6) =36 B.( x +203) +( y +6) =36 2 2 2 2 C.( x +203) +( y -6) =36 或( x +203) +( y +6) =36 D.以上都不对 5.用 a,b,c 表示三条不同的直线,γ 表示平面,给出下列命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a⊥b,b⊥c,则 a⊥c; ③若 a∥γ ,b∥γ ,则 a∥b; ④若 a⊥γ ,b⊥γ ,则 a∥b. 其中真命题的序号是 A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 2 2 6.方程 x +y +x+y-m=0 表示一个圆,则 m 的取值范围是 1 1 1 1 A.(- ,+∞) B.(-∞,- ) C.(-∞,- ] D.[- ,+∞) 2 2 2 2 7.若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径,则圆柱、圆锥、球的体积的比为 A.1:2:3 B.2:3:4 C. 3:2:4 D.3:1:2

? x ? y ? ?1, ? 8.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 4, 则目标函数的 z ? 2 x ? 4 y 最大值为 ?y ? 2 ?
A.10 B.12 C.13 D.14

9.如右下图,是一个空间几何体的三视图,则 这个几何体的外接球的表面积是 A. 56? cm
2

B. 77? cm

2

2 C. 72 2? cm

2 D. 85 2? cm

2 2 2 10.已知点 P (a, b) (ab ? 0) 是圆 O : x ? y ? r 内一点,直线 m 是以 P 为中点的弦所在

的直线,若直线 n 的方程为 ax ? by ? r 2 ,则

A. m ∥ n 且 n 与圆 O 相离 C. m 与 n 重合且 n 与圆 O 相离

B. m ∥ n 且 n 与圆 O 相交 D. m ⊥ n 且 n 与圆 O 相离

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11.点 P(1,2,3)关于 y 轴的对称点为 P1,P 关于坐标平面 xOz 的对称点为 P2,则 |P1P2|=________ 12.和直线 3x+4y-7=0 垂直,并且在 x 轴上的截距是-2 的直线方程是____________ 13.一个高为 2 的圆柱,底面周长为 2π ,该圆柱的表面积为____________ 14.两平行直线 x ? 3 y ? 4 ? 0与2 x ? 6 y ? 9 ? 0 的距离是 15.一块正方形薄铁片的边长为 4 cm,以它的一个顶点为圆心, 边长为半径画弧,沿弧剪下一个扇形(如图),用这块扇形铁片 3 围成一个圆锥筒,则这个圆锥筒的容积等于________cm .

三、解答题:(本大题 6 个小题,共 75 分.解答须写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤.) 16. (本小题满分 12 分) 已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A(-1,5) 、B(-2,-1) 、C(4,3) ,M 是 BC 边上的中点。 (Ⅰ)求 AB 边所在的直线方程; (Ⅱ)求中线 AM 的长 (Ⅲ)求 AB 边的高所在直线方程。 17. (本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 为矩形, AD? 平面 ABE , D C

?AEB? 90o , F 为 CE 上的点.
F (Ⅰ)求证: AD // 平面 BCE ; A E B

(Ⅱ)求证: AE ? BF . 18.(本小题满分 12 分) 已知三个点 A(0, 0) , B(4, 0) , C (3,1) ,圆 M 为△ ABC 的外接圆. (Ⅰ)求圆 M 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? kx ? 1 与圆 M 交于 P, Q 两点,且 PQ ? 5 ,求 k 的值.

19.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥底面 ABC,AC=BC=2,AB=2 2,CC1=4, M 是棱 CC1 上一点. (Ⅰ)求证:BC⊥AM; (Ⅱ)若 M,N 分别为 CC1,AB 的中点,求证:CN∥平面 AB1M.

20.(本小题满分 13 分) 已知直线 l1 : 2 x ? y ? 5 ? 0 ,直线 l 2 : x ? y ? 5 ? 0 (Ⅰ)求点 P(3,0)到直线 l1 的距离; (Ⅱ)直线 m 过点 P(3,0),与直线 l1 、直线 l 2 分别交于点 M、N,且点 P 是线段 MN 的中点,求直线 m 的方程; (Ⅲ)已知⊙Q 是所有过(Ⅱ)中的点 M、N 的圆中周长最小的圆,求圆⊙Q 的 标准方程.

21. (本小题满分 14 分) 已知四棱锥 P-ABCD(图 1)的三视图如图 2 所示,△PBC 为正三角形, PA 垂直底面 ABCD,俯视图是直角梯形.

(Ⅰ)求正视图的面积; (Ⅱ)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (Ⅲ)求证:AC⊥平面 PAB.

高二期中考试试题参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 1.C 2.A 3.A 4.C 5.C 6.A 7.D 8.C 9.B 10.A 15 3 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11. 2 14 π 12. 4x-3y+8=0 13. 6π 14.
10 20

15.

三、解答题:(本大题 6 个小题,共 75 分.解答须写出必要的文字说 明、证明过程及演算步骤.)
16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由两点式写方程得 即
y ?5 x ?1 ? , ……………2 分 ?1? 5 ? 2 ?1 6x-y+11=0 ……………4 分

或 直线 AB 的斜率为 直线 AB 的方程为

k?

?1? 5 ?6 ? ?6 ? 2 ? (?1) ? 1

……………2 分 …………4 分

y ? 5 ? 6( x ? 1)



6x-y+11=0

(Ⅱ)设 M 的坐标为( x0 , y0 ) ,则由中点坐标公式得
x0 ? ?2?4 ?1? 3 ? 1, y 0 ? ?1 2 2

故 M(1,1)

……………6 分 ……………8 分

AM ? (1 ? 1) 2 ? (1 ? 5) 2 ? 2 5

(Ⅲ)因为直线 AB 的斜率为 kAB=

?1? 5 ?6 ? ?6 ? 2 ? (?1) ? 1

设 AB 边的高所在直线的斜率为 k

?k ? 则有 k ? k AB ? k ? 6 ? -1,

1 6

……………10 分 ……………

1 所以 AB 边高所在直线方程为 y - 3 ? - (x - 4) , 即 x ? 6y - 22 ? 0 6 12 分 17. (本小题满分 12 分) D (Ⅰ)证明:因为四边形 ABCD 为矩形,

C

所以 AD // BC .

……………… 2 分
A F E B

又因为 BC ? 平面 BCE , AD ? 平面 BCE , ………………4 分 所以 AD // 平面 BCE . ………………5 分

(Ⅱ)证明:因为 AD ? 平面 ABE , AD // BC , 所以 BC ? 平面 ABE ,则 AE ? BC . ………………7 分 又因为 ?AEB ? 90o , 所以 AE ? BE . ………………9 分

所以 AE ? 平面 BCE . ………………10 分 BF ? BCE 又 平面 , ………………11 分 所以 AE ? BF . ………………12 分 18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)设圆 M 的方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 因为点 A(0, 0) , B(4, 0) , C (3,1) 在圆 M 上,则 ?F ? 0 , ? 2 ?4 ? 4 D ? F ? 0, ?32 ? 12 ? 3D ? E ? F ? 0. ? 解得 D ? ?4 , E ? 2 , F ? 0 . 所以 ?ABC 外接圆的方程为 x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 0 . (Ⅱ)由(Ⅰ)圆 M 的圆心为 (2, ?1) ,半径为 5 .

………………1 分

………………4 分 ………………6 分 ………………7 分

又 PQ ? 5 , 所 以 圆 M 的 圆 心 到 直 线 y ? kx ? 1 的 距 离 为
15 .………………9 分 2 2k 15 所以 , ? 2 2 1+k

………………11 分 ………………12 分

解得 k 2 ? 15 . k ? ? 15 . 19. (本小题满分 12 分)

【证明】 (Ⅰ)因为三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥平面 ABC, 所以 CC1⊥BC. …………… 2 分

因为 AC=BC=2,AB=2 2, 所以由勾股定理的逆定理知 BC⊥AC. …………… 4 分

又因为 AC∩CC1=C,所以 BC⊥平面 ACC1A1. …………… 5 分 因为 AM?平面 ACC1A1,所以 BC⊥AM. …………… 6 分

(Ⅱ)过 N 作 NP∥BB1 交 AB1 于 P,连接 MP,则 NP∥CC1. 1 1 因为 M,N 分别为 CC1,AB 中点,所以 CM= CC1,NP= BB1. 2 2 因为 BB1=CC1,所以 NP=CM. 所以四边形 MCNP 是平行四边形.…………… 所以 CN∥MP. …………… 10 分 9分

因为 CN?平面 AB1M,MP?平面 AB1M,……………11 分 所以 CN∥平面 AB1M. ……………12 分

21. (本小题满分 14 分) 解 (Ⅰ)过 A 作 AE∥CD,根据三视图可知,E 是 BC 的中点,且 BE=CE=1, AE=CD=1.

又∵△PBC 为正三角形, ∴BC=PB=PC=2,且 PE⊥BC, ∴PE2=PC2-CE2=3. ∵PA⊥平面 ABCD,AE?平面 ABCD,∴PA⊥AE. ∴PA2=PE2-AE2=2,即 PA= 2. 1 正视图的面积为 S= ×2× 2= 2. 2 ………………2 分

……………… 3 分 ………………5 分

(Ⅱ)由(1)可知,四棱锥 P-ABCD 的高 PA= 2, 底面积为 S= AD+BC 1+2 3 ·CD= ×1= ,………………7 分 2 2 2

1 1 3 2 ∴四棱锥 P-ABCD 的体积为 VP-ABCD= S·PA= × × 2= .……………… 3 3 2 2 9分 (Ⅲ)证明:∵PA⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,∴PA⊥AC. ……………… 11 分

∵在直角三角形 ABE 中,AB2=AE2+BE2=2, 在直角三角形 ADC 中,AC2=AD2+CD2=2, ∴BC2=AA2+AC2=4,∴△BAC 是直角三角形.∴AC⊥AB. 13 分 又∵AB∩PA=A,∴AC⊥平面 PAB. ………………14 分 ………………


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