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必修三2.3.2两个变量的线性相关


2.3.2 两个变量的线性相关(第一课时)
教材分析
两个变量的线性相关是高中人教 A 版必修 3 第二章第三节(2.3.2)的内容,本节课主要探讨如 何判断两个变量的相关性, 如何求具有线性相关关系的两个变量的回归方程, 体会最小二乘法的思想, 掌握计算回归方程的斜率与截距的方法.具体分为利用散点图判断变量的正、负相关和利用线性回归 思想对实际问题进行分析与

预测。为以后更好地研究选修 2-3 第三章 3.2 节回归分析思想的应用奠定 基础。

课时分配
本节内容用 3 课时的时间完成,主要探讨如何判断两个变量的线性相关性,本节课是第一课时.

教学目标
重点: 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系;利用散点图直观认 识两个变量之间的线性相关关系;根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程. 难点:对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解. 知识点:利用散点图判断线性相关关系,了解最小二乘法的思想及回归方程系数公式, . 能力点:类比函数的表示方法,理解变量间的相关关系. 教育点:经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程. 自主探究点:应用回归直线方程对实际问题进行分析和预测. 考试点:根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程. 易错易混点:求线性回归方程的系数. 拓展点:随机误差与残差分析.

教具准备 课堂模式

三角板、多媒体 探究导学

一、 复习引入
【师生活动】 师:上节课我们主要学习了变量间的两种关系:确定关系和相关关系,下面我们来复习一下下面两个 习题 1 下列关系中,带有随机性相关关系的是_____________. (1)正方形的边长与面积之间的关系 (2)水稻产量与施肥量之间的关系 (3)人的身高与年龄之间的关系 (4)降雪量与交通事故的发生率之间的关系 解析:两变量之间的关系有两种:函数关系与带有随机性的相关关系. (1)正方形的边长与面积之间 的关系是函数关系. (2)水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系,但是具有相关性,, 因而是相关关系. (3)人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关系,因为人的 年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了,因而他们不具备相关关系. (4)降雪量与交通事故 的发生率之间具有相关关系.因此填(2) (4) . 答案: (2) (4) 2 有关法律规定, 香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语. 吸烟是否一定会引起健康问题?你认 为“健康问题不一定是由吸烟引起的,所以可以吸烟”的说法对吗?
1

分析:学生思考,然后讨论交流,教师及时评价. 解:从已经掌握的知识来看,吸烟会损害身体的健康,但是除了吸烟之外,还有许多其他的随机因素 影响身体健康,人体健康是很多因素共同作用的结果.我们可以找到长寿的吸烟者,也更容易发现由 于吸烟而引发的患病者,所以吸烟不一定引起健康问题.但吸烟引起健康问题的可能性大.因此“健 康问题不一定是由吸烟引起的,所以可以吸烟”的说法是不对的. 【设计说明】教师设问,学生思考回答. 【设计意图】设置问题,点明主题,在探究的过程中,如果能够从两个变量的观察数据之间发现相关 关系是极为有意义的,由此可以进一步研究二者之间是否蕴涵因果关系,从而发现引起这种相关关系 的本质原因是什么.本题的意义在于让学生回顾学过的知识,明确探究方向,有利于本节课的探究.

二、探究新知
【师生活动】师:根据前面的学习,我们知道确定关系可由函数进行描述,那么相关关系应该如何表 示呢?这节课我们就来学习相关关系的表示方法:两个变量的线性相关. 请看例题:在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据: 年龄 脂肪 年龄 脂肪 23 9.5 53 29.6 27 17.8 54 30.2 38 21.2 56 31.4 41 25.9 57 30.8 45 27.5 58 33.5 49 26.3 60 35.2 50 28.2 61 34.6

思考一: 根据上述数据,人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系? 生:随着年龄增长,脂肪含量在增加. 师:有没有更直观的方式? 生:画图. 师生:用 x 轴表示年龄, y 轴表示脂肪.一组样本数据就对应着一个点. 总结:大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加. 【设计意图】用学生熟悉的生活中的例子来引出两个变量间的线性相关关系,增强学生的学习兴趣. 【设计说明】教师引导学生采用不同方法解决问题.指导学生得出结论:随着年龄的增加,人体中脂 肪的百分比也在增加. 思考二:散点图的概念:将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数 据的图形,这样的图形叫做散点图,如下图.

从散点图我们可以看出,年龄越大,体内脂肪含量越高.图中点的趋势表明两个变量之间确实存 在一定的关系,这个图支持了我们从数据表中得出的结论. 【师生活动】教师可引导学生正确画图描点. 【设计意图】进一步调动学生的思维,引导学生应用画图的方法解决典型问题,有利于培养学生的发 散思维能力. 思考三: 正相关与负相关的概念: 如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内, 称为正相关,
2

如上图.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关. 如高原含氧量与海拔 高度的相关关系,海平面以上,海拔高度越高,含氧量越少;又如汽车的载重和汽车每消耗 1 升汽油 所行使的平均路程,称它们成负相关. (注:散点图的点如果几乎没有什么规则,则这两个变量之间不具有相关关系) 大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加,呈正相关的趋势,我们可以从散点图上 来进一步分析. 【师生活动】学生讨论、交流,教师适时进行必要的点评,并对比正相关和负相关两种散点图. 【设计意图】引导学生对观察的图表进行抽象概括,形成正相关和负相关的概念,关注生活中的数学, 进一步理解概念. 思考四:线性相关关系 如下图:

从散点图上可以看出,这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近,如果散点图中点的分 布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归 直线(regression line).如果能够求出这条回归直线的方程(简称回归方程),那么我们就可以比较清楚地 了解年龄与体内脂肪含量的相关性.就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样,这条直线可以 作为两个变量具有线性相关关系的代表. 【师生活动】教师引导学生思考探究,学生作直线,得出直观结论. 【设计意图】区分相关关系与线性相关关系. 思考五:利用最小二乘法求回归方程: y ? bx ? a 【师生活动】从散点图上可以发现,人体的脂肪百分比和年龄的散点图,大致分布在通过散点图中心 的一条直线.那么,我们应当如何具体求出这个回归方程 y ? bx ? a 呢? 有的同学可能会想,我可以采用测量的方法,先画出一条直线,测量出各点与它的距离,然后移 动直线,到达一个使距离的和最小的位置,测量出此时的斜率和截距,就可得到回归方程了.但是, 这样做可靠吗? 有的同学可能还会想,在图中选择这样的两点画直线,使得直线两侧的点的个数基本相同.同样 地,这样做能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗? 还有的同学会想, 在散点图中多取几组点, 确定出几条直线的方程, 再分别求出各条直线的斜率、 截距的平均数,将这两个平均数当成回归方程的斜率和截距. 同学们不妨去实践一下,看看这些方法是不是真的可行? 学生讨论: 1.选择能反映直线变化的两个点. 2.在图中放上一根细绳,使得上面和下面点的个数相同或基本相同. 3.多取几组点对,确定几条直线方程.再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值,作为所 求直线的斜率、截距. ) 教师:分别分析各方法的可靠性.如下图:
3
^ ^

上面这些方法虽然有一定的道理,但总让人感到可靠性不强. 实际上,求回归方程 y ? bx ? a 的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看,各点与此直线的 距离最小”. 人们经过长期的实践与研究, 已经得出了计算回归方程 y ? bx ? a 的斜率与截距的一般公 式:
n ? ? ( xi ? x )( yi ? y ) ? ?b ? i ?1 n ? ? 2 ? ? ( xi ? x ) ? i ?1 ? ?a ? y ? bx. ?
^ ^

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y , (1) ? nx
2

?x
i ?1

2 i

其中, b 是回归方程的斜率, a 是截距. 推导公式(1)的计算比较复杂,这里不作推导.但是,我们可以解释一下得出它的原理. 假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),??( xn , yn ), 且所求回归方程是 y ? bx ? a ,
^

4

其中 a , b 是待定系数.当变量 x 取 xi (i ? 1, 2,?, n) 时可以得到 y ? bxi ? a (i ? 1, 2,?, n) , 它与实际收集到的 yi 之间的偏差是 yi ? y = yi ? (bxi ? a) (i ? 1, 2,?, n) .
^

^

这样,用这 n 个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的.由于( yi ? y )可正 可负,为了避免相互抵消,可以考虑用

^

? | yi ? y i | 来代替,但由于它含有绝对值,运算不太方便,
i ?1

n

^

所以改用 Q ? ( y1 ? bx1 ? a)2 ? ( y2 ? bx2 ? a)2 ? ?( yn ? bxn ? a)2 来刻画 n 个点与回归直线在整体上的偏差.

(2)

这样,问题就归结为:当 a , b 取什么值时 Q 最小,即总体偏差最小.经过数学上求最小值的运算,

a , b 的值由公式(1)给出.
通过求(2)式的最小值而得出回归直线的方法,即求回归直线,使得样本数据的点到它的距离 的平方和最小,这一方法叫做最小二乘法(method of least square). 【设计意图】此问题对学生而言在理解上有一定难度,先用几何画板动态演示并展示测量的数据,让 学生观察猜想出结论, 师生共同分析, 引导学生自己刻画回归直线的本质特征,设计具体的操作步骤, 指导学生如何将具体问题转为数学模型,突破难点,通过实践认识最小二乘法思想的巧妙之处.

三、理解新知
【师生活动】师:通过以上问题的解决,我们总结一下如何求线性回归方程 y ? bx ? a 呢 生:求线性回归方程 y ? bx ? a 的步骤,关键是求系数 b, a : (1)计算平均数 x, y ; (2)计算 xi , yi 的积,求
n

^

^

?x y ;
i ?1 i i

n

(3)计算

?x
i ?1

2

i



5

(4)将结果代入公式

n n ? ( xi ? x )( yi ? y ) ? xi yi ? nx y ? ? ?b ? i ?1 n ? i ?1n , 2 2 2 ? ? ( xi ? x ) ? xi ? nx ? i ?1 i ?1 ? ?a ? y ? bx .

求b ,a. (5)写出回归直线方程 y ? bx ? a . 【设计意图】总结解题方法,加深对线性回归方程 y ? bx ? a 的理解,突破重难点.
^ ^

四、运用新知
例 1 给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据: 施化肥量 x 水稻产量 y 15 330 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455

(1)画出上表的散点图; (2)求出回归直线的方程. 【师生活动】分析:由于数据已知,只需正确画出散点图,在根据公式求系数 b, a 时可列出表格减少 失误. 解:(1)散点图如下图.

(2)表中的数据进行具体计算,列成以下表格: i xi yi xiyi 1 15 330 4 950 2 20 345 6 900
7

3 25 365 9 125
7

4 30 405 12 150

5 35 445 15 575
7

6 40 450 18 000

7 45 455 20 475

x ? 30, y ? 399.3, ? xi2 ? 7000 ? yi2 ? 1132725? xi yi ? 87175 , ,
i ?1 i ?1 i ?1

故可得到

b?

87175 ? 7 ? 30 ? 399.3 ? 4.75 , 7000 ? 7 ? 302 a ? 399.3 ? 4.75 ? 30 ? 257 .
^

从而得回归直线方程是 y ? 4.75 x ? 257 . 【设计说明】对一组数据进行线性回归分析时,应先画出其散点图,看其是否呈直线形,再依系数 a , b
6

的计算公式,算出 a , b . 由于计算量较大,所以在计算时应借助技术手段,认真细致, 教师可引导学生思 考探究,然后让学生独立完成. 【设计意图】通过此题进一步熟悉线性回归方程的应用和求线性回归方程的步骤:计算平均数 x, y ; 计算 xi , yi 的积,求 程.

? xi yi ;计算 ? xi 2 ;将结果代入公式求 b ;用 a ? y ? bx 求 a ;写出回归直线方
i ?1 i ?1

n

n

课堂练习:
1.下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系( ) A.角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积 C.正多边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高 答案:D 2.三点(3,10),(7,20),(11,24)的线性回归方程是( )
^ ^

A. y =5.75-1.75 x
^

B. y =1.75+5.75 x
^

C. y =1.75-5.75 x

D. y =5.75+1.75 x

答案:D 3.例 2 一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间.为此进行了 10 次试验,测得 数据如下: 零件个数 x (个) 加工时间 y (分) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 请判断 y 与 x 是否具有线性相关关系,如果 y 与 x 具有线性相关关系,求线性回归方程.

解:在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图.

直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系.由测得的数据表可知:

x ? 55, y ? 91.7, ? xi2 ? 38500 ,
i ?1

10

? yi2 ? 87777 ,
i ?1

10

?x y
i ?1 i

10

i

? 55950 .

b?

? x y ? 10 x y
i ?1 10 i i

10

?x
i ?1

?

2 i

? 10 x 2

55950 ? 10 ? 55 ? 91.7 ? 0.668 . 38500 ? 10 ? 552

a ? y ? bx ? 91.7 ? 0.668 ? 55 ? 54.96 .
7

因此,所求线性回归方程为 y ? bx ? a ? 0.668 x ? 54.96 .

^

五、课堂小结
1.求线性回归方程的步骤: (1)计算平均数 x, y ; (2)计算 xi , yi 的积,求
n

?x y ;
i ?1 i i

n

(3)计算

?x
i ?1

2

i


n n ? ? ( xi ? x )( yi ? y ) ? xi yi ? nx y ? ?b ? i ?1 n ? i ?1n , 2 2 2 ? ? ( xi ? x ) ? xi ? nx ? i ?1 i ?1 ? a ? y ? bx . ?

(4)将结果代入公式

求b ,a. (5)写出回归直线方程 y ? bx ? a . 2.本节课用到了哪些思想方法? (1)经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程, (2)知道最小二乘法的思想, (3)转化 与化归的方法, (4)数学建模的思想. 【设计意图】使学生把解题过程中的思想方法总结出来,达到思维能力的提升,从而更广泛的应用于 以后的学习中.
^

六、布置作业
1.必做题: 课本习题 2.3A 组 3、4 2.选做题: B 组 1、2. 【设计意图】巩固基础知识,设置分层作业,满足每一位学生,增强学生学习数学的愿望和信心.

七、教后反思
本节知识容量较大,思维量较高,教师利用实例分析了散点图的分布规律,推导出了线性回归直 线的方程的求法,运用实例帮助同学们分析比较,通过选取一些学生特别关心的身边事例,对学生进 行思想情操教育、意志教育和增强学生的自信心,养成良好的学习态度,树立时间观,培养勤奋、刻 苦的精神. 本节课遵循新课标的指导思想,把课堂交给学生,尽量让学生自己通过探究得到知识,对于学生 有难度的知识老师给予有梯度的提示,引导学生思考,自己获得知识,效果良好.教师可让学有余力 的学生课下继续探讨,达到灵活运用.

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八、板书设计

§2、3 变量间的相关关系
一、散点图:正相关、负相关 二、线性相关 三、回归直线: y ? bx ? a 四、回归方程的求解步骤
?

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