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广东省珠海市2013届高三9月摸底数学理试题


珠海市 2012 年 9 月高三摸底考试 理科数学试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.

1.设全集 U ? R ,集合 A ? { x | x ? 2} , B ? { x | 0 ? x ? 5} , 则集合 ( C U A ) ? B = A. { x | 0 ? x ? 2} C. { x | 0 ? x ? 2} B. { x | 0 ? x ? 2} D. { x | 0 ? x ? 2}

? x ? y ? 1 ? 0, ? 那 么 2 x - y 的最大值为 2. 已知实数 x , y 满足 ? y ? 1 ? 0 , ? x ? y ? 1 ? 0, ?

A.—3 3.函数 f ( x ) ? a ? a
x

B.—2
?x

C.1
?x

D.2

? 1 , g (x) ? a ? a
x

,其中 a ? 0, a ? 1 ,则
B . f ( x )、 g ( x ) 均为奇函数 D . f ( x ) 为奇函数 , g ( x ) 为偶函数

A . f ( x )、 g ( x ) 均为偶函数
C . f ( x ) 为偶函数 , g ( x ) 为奇函数

4. 如图是某几何体的三视图,则此几何体的体积是 A.36 C.72 B.108 D.180

5.已知 ? , ? 为不重合的两个平面,直线 m ? ? , 那么 “ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.设 A、B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2 且 | P A | ? | P B | 若直线 PA 的方程为
x ? y ? 1 ? 0 ,则直线 PB 的方程是

A. 2 x ? y ? 7 ? 0

B. x ? y ? 5 ? 0

C. 2 y ? x ? 4 ? 0

D. 2 x ? y ? 1 ? 0

7.对100只小白鼠进行某种激素试验,其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况 统计得到如下列联表 雄性 敏感 不敏感 总计
n(ad ? bc)
2

雌性 25 15 40

总计 75 25 100

50 10 60

由K

2

?

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

? 5 .5 6

附表:
P(K
k
2

? k)

0 .0 5 0

0 .0 1 0

0 .0 0 1

3 .8 4 1

6 .6 3 5

1 0 .8 2 8

则下列说法正确的是: A.在犯错误的概率不超过 0 .1 0 0 的前提下认为“对激素敏感与性别有关”; B..在犯错误的概率不超过 0 .1 0 0 的前提下认为“对激素敏感与性别无关”; C.有 9 5 0 0 以上的把握认为“对激素敏感与性别有关”; D.有 9 5 0 0 以上的把握认为“对激素敏感与性别无关”; 8.设 U 为全集,对集合 X 、 Y ,定义运算“ ? ”,满足 X ? Y ? ( C U X ) ? Y ,则对于任 意集合 X 、 Y 、 Z , X ? (Y ? Z ) ? A. ( X ? Y ) ? ( C U Z ) C. [( C U X ) ? ( C U Y )] ? Z B. ( X ? Y ) ? ( C U Z ) D. ( C U X ) ? ( C U Y ) ? Z

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 9.在△ABC 中, a ? 5 , b ? 6 , c ? 7 ,则 cos C ?
x a
2 2

.

10. 已知双曲线

?

y b

2 2

? 1 的离心率为 2 ,它的一个焦点与抛物线 y ? 8 x 的焦点相同,
2

那么双曲线的焦点坐标为______;渐近线方程为_______.

11.不等式 x ? x ? 2 ? 3 的解集是 12.右图给出的是计算
1 2 ? 1 4 ? 1 6 ? ???? 1 20

. 的值的一个程序框图, .

其中判断框内应填入的条件是

? 1 x ?( ) ? 2 13. f ( x ) ? ? 2 ?2x ? 2 ?

x ? 0 x ? 0

, 则 f (x) ? x 的 零 点 个 数 是

________________. 14.(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,圆 ? ? 2 co s ? 的圆心到直线 ? co s ? ? 2 的距离是_____________. 15.(几何证明选讲选做题)如图,在△ABC 中,D 是 AC 的中 点,E 是 BD 的中点,AE 交 BC 于 F,则
BF FC ?

.

A D C

E
三、 解答题: 本大题共 6 小题, 满分 80 分. 解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知函数 f ( x ) ?
1 ? s in 2 x cos x

B

F

.
4 3

(1)求 f ( x ) 的定义域;(2)设 ? 是第二象限的角,且 tan ? = ?

,求 f (? ) 的值.

17.(本小题满分 12 分)A、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 x1 和 x 2 。根据市场 分析, x1 和 x 2 的分布列分别为:
x1

5% 0.8

10% 0.2

x2

2% 0.2

8% 0.5

12% 0.3

P

P

(1) A、 两个项目上各投资 100 万元,y 1 和 y 2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润, 在 B 求方差 D y 1 、 D y 2 ; (2)将 x (0 ? x ? 100) 万元投资 A 项目,1 0 0 ? x 万元投资 B 项目, f ( x ) 表示投资 A 项目 所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和. 求 f ( x ) 的最小值, 并指出 x 为何值时,
f ( x ) 取到最小值.(注: D ( a x ? b ) ? a D x )
2

18.(本小题满分 14 分) 如图 1,在直角梯形 A B C D 中, ? A D C ? 9 0 ? , C D / / A B , A B ? 2 A D , A D ? C D , M 为 线段 A B 的中点.将 ? A D C 沿 A C 折起,使平面 A D C ? 平面 A B C ,得到几何体 D ? A B C ,如

图 2 所示. (1) 求证: B C ? 平面 A C D ;(2) 求二面角 A ? C D ? M 的余弦值. D C D

C A M 图1

.

B A
第 18 题图

M 图2

B

19.(本小题满分 14 分)对于函数 f ( x ) ? a ?
b

2
x

?1

( a ? R , b ? 0 且 b ? 1)

(1)判断函数的单调性并证明; (2)是否存在实数 a 使函数 f (x)为奇函数?并说明理由. 20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F 2 (3, 0 ) ,离心率为 e .

(1)若 e ?

3 2

,求椭圆的方程;

(2)设直线 y ? kx 与椭圆相交于 A , B 两点, M , N 分别为线段 A F 2 , B F 2 的中点. 若
2 2 3 2

坐标原点 O 在以 M N 为直径的圆上,且 21.(本小题满分 14 分)

? e ?

,求 k 的取值范围.

已知正项数列 ?a n ?中 , a 1 ? 6 , 点 A n ( a n ? 1, a n ? 1 ) 在抛物线 y 点 B n ( n , b n ) 在过点(0,1),以 k ? 2 为斜率的直线上. (1)求数列 ?a n ?, ?b n ? 的通项公式; (2)若 f ( n ) ? ?
? a n , ( n 为奇数 ) ? b n , ( n 为偶数 )

2

? x 上;数列 ?b n ? 中,

, 问是否存在

k ? N , 使 f ( k ? 27 ) ? 4 f ( k ) 成立,若存

在,求出 k 值;若不存在,请说明理由; (3)对任意正整数 n,不等式
(1 ? a 1 b1 )( 1 ?
n ?1

1 b2

) ? (1 ?

1 bn

? )

a

n

n ? 2 ? an

? 0 恒成立,

求正数 a 的取值范围.

珠海市 2012 年 9 月高三摸底考试 理科数学试题与参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.

1.设全集 U ? R ,集合 A ? { x | x ? 2} , B ? { x | 0 ? x ? 5} , 则集合 ( C U A ) ? B =( A. { x | 0 ? x ? 2} C. { x | 0 ? x ? 2} B. { x | 0 ? x ? 2} D. { x | 0 ? x ? 2}

)B

? x ? y ? 1 ? 0, ? 那 么 2 x - y 的最大值为 2. 已知实数 x , y 满足 ? y ? 1 ? 0 , ? x ? y ? 1 ? 0, ?



)C

A.—3 3.函数 f ( x ) ? a ? a
x

B.—2
?x

C.1
?x

D.2

? 1 , g (x) ? a ? a
x

,其中 a ? 0, a ? 1 ,则(
B . f ( x )、 g ( x ) 均为奇函数

)C

A . f ( x )、 g ( x ) 均为偶函数
C . f ( x ) 为偶函数 , g ( x ) 为奇函数

D . f ( x ) 为奇函数 , g ( x ) 为偶函数

4.如图是某几何体的三视图, 则此几何体的体积是 A.36 C.72 B.108 D.180

B

5.已知 ? , ? 为不重合的两个平面,直线 m ? ? , 那么 “ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 )A

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.设 A、B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2 且 | P A | ? | P B | 若直线 PA 的方程为
x ? y ? 1 ? 0 ,则直线 PB 的方程是(

)B

A. 2 x ? y ? 7 ? 0

B. x ? y ? 5 ? 0

C. 2 y ? x ? 4 ? 0

D. 2 x ? y ? 1 ? 0

7.对100只小白鼠进行某种激素试验,其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况 统计得到如下列联表 雄性 敏感 不敏感 总计
n(ad ? bc)
2

雌性 25 15 40

总计 75 25 100

50 10 60

由K

2

?

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

? 5 .5 6

附表:
P(K
k
2

? k)

0 .0 5 0

0 .0 1 0

0 .0 0 1

3 .8 4 1

6 .6 3 5

1 0 .8 2 8

则下列说法正确的是:

C

A.在犯错误的概率不超过 0 .1 0 0 的前提下认为“对激素敏感与性别有关”; B..在犯错误的概率不超过 0 .1 0 0 的前提下认为“对激素敏感与性别无关”; C.有 9 5 0 0 以上的把握认为“对激素敏感与性别有关”; D.有 9 5 0 0 以上的把握认为“对激素敏感与性别无关”; 8.设 U 为全集,对集合 X 、 Y ,定义运算“ ? ”,满足 X ? Y ? ( C U X ) ? Y ,则对于任 意集合 X 、 Y 、 Z , X ? (Y ? Z ) ? A . ( X ? Y ) ? (C U Z ) D. ( C U X ) ? ( C U Y ) ? Z D C . [( C U X ) ? ( C U Y )] ? Z

B . ( X ? Y ) ? (C U Z )

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 9.在△ABC 中, a ? 5 , b ? 6 , c ? 7 ,则 cos C ? . 1/5

10. 已知双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 的离心率为 2 ,它的一个焦点与抛物线 y ? 8 x 的焦点相同,
2

那么双曲线的焦点坐标为______; ( ? 2 , 0 ) 渐近线方程为_______., 3 x ? y ? 0 (两问全对 5 分,只答对一问 3 分) 11. 不等式 x ? x ? 2 ? 3 的解集是 . ( ?? , ?
5 2 )? ( 1 2 , ?? )

12.右图给出的是计算

1 2

?

1 4

?

1 6

? ????

1 20

的值的一个程序框图, . i ? 1 0 (答案不唯一,

其中判断框内应填入的条件是 即 i>a,10<a ? 11,例如 i>10.1,i=11 等)

? 1 x ?( ) ? 2 13. f ( x ) ? ? 2 ?2x ? 2 ?

x ? 0 x ? 0

, 则 f (x) ? x 的 零 点 个 数 是

________________.2 14.(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,圆 ? ? 2 co s ? 的圆心到直线 ? co s ? ? 2 的距离是_____________;1

15.(几何证明选讲选做题)

A
如图,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BD 的中点,AE 交 BC 于 F,则
BF FC ? 1 2

.

E B F

D C

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说 明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分) 已知函数 f ( x ) ?
1 ? s in 2 x cos x



(1)求 f ( x ) 的定义域;(2)设 ? 是第二象限的角,且 tan ? = ? 16.解:(1)由 co s x ? 0 得 x ? k ? ?
?
2

4 3

,求 f (? ) 的值.

(k∈Z), ?3 分
?
2

故 f ( x ) 的定义域为{x| x ? k ? ? (2)由 tan ? = ?
4 3

,k∈Z}?5 分
2 2

,得

sin ? cos ?

? ?

4 3

,而 sin ? ? cos ? ? 1
4 5

且α 是第二象限的角, 解得 sin ? =

, cos ? = ?
4 5 ? 3 5 ? (? 3 5 )

3 5

,?9 分

故 f (? ) =

1 ? sin 2 ? cos ?

=

1 ? 2 s in ? c o s ? cos ?

1? 2?

=

=?

49 15

.?12 分

17.(本小题满分 12 分) A、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 x1 和 x 2 。根据市场分析, x1 和 x 2 的分布列分 别为:
x1

5% 0.8

10% 0.2

x2

2% 0.2

8% 0.5

12% 0.3

P

P

(1) A、 两个项目上各投资 100 万元,y 1 和 y 2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润, 在 B 求方差 D y 1 、 D y 2 ; (2)将 x (0 ? x ? 100) 万元投资 A 项目,1 0 0 ? x 万元投资 B 项目, f ( x ) 表示投资 A 项目 所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和. 求 f ( x ) 的最小值, 并指出 x 为何值时,
f ( x ) 取到最小值.(注: D ( a x ? b ) ? a D x )
2

17. 解:(Ⅰ)由题设可知 Y1 和 Y 2 的分布列分别为
Y1

5 0.8

10 0.2

Y2

2 0.2

8 0.5

12 0.3

P

P

E Y1 ? 5 ? 0 .8 ? 1 0 ? 0 .2 ? 6 ………………………………………….1 分

D Y1 ? (5 ? 6 ) ? 0 .8 ? (1 0 ? 6 ) ? 0 .2 ? 4 …………………………...3 分
2 2

EY

2

? 2 ? 0 . 2 ? 8 ? 0 . 5 ? 12 ? 0 . 3 ? 8 ………………………………..4 分
2 2 2

D Y 2 ? ( 2 ? 8) ? 0 .2 ? (8 ? 8) ? 0 .5 ? (1 2 ? 8) ? 0 .3 ? 1 2 ………..6 分

(Ⅱ) f ( x ) ? D (
? (
?

x 100

Y1 ) ? D (
2

100 ? x 100

Y 2 ) ………………………….7 分

x 100
4

) D Y1 ? (
2
2

100 ? x 100
2

) D Y 2 ……………………………………….8 分

100

2

[ x ? 3(1 0 0 ? x ) ]

?

4 100
2

( 4 x ? 6 0 0 x ? 3 ? 1 0 0 ) ……………………………………..10 分
2 2

当x ?

600 2?4

? 7 5 时, f ( x ) ? 3 为最小值。…………………………12 分

18.(本小题满分 14 分) 如图 1,在直角梯形 A B C D 中, ? A D C ? 9 0 ? , C D / / A B , A B ? 2 A D , A D ? C D , M 为 线段 A B 的中点.将 ? A D C 沿 A C 折起,使平面 A D C ? 平面 A B C ,得到几何体 D ? A B C ,如 图 2 所示. (Ⅰ) 求证: B C ? 平面 A C D ; D (Ⅱ) 求二面角 A ? C D ? M 的余弦值. D C C

A

M 图1

.

B
第 18 题图

A

M 图2

B

18.(本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)在图 1 中,设 AD ? CD ? a ,可得 A C ? B C ? 2 a ,从而 A C ? B C ? A B , 故 AC ? BC 取 A C 中点 O 连结 D O ,则 D O ? A C ,又面 A D C ? 面 A B C , 面 A D C ? 面 A B C ? A C , D O ? 面 A C D ,从而 O D ? 平面 A B C , ……4 分
2 2 2

∴OD ? BC 又 AC ? BC , AC ? O D ? O , ∴ B C ? 平面 A C D 另解:在图 1 中, 设 AD ? CD ? a ,可得 A C ? B C ?
AC ? BC
2

……6 分
2 a ,从而 A C ? B C ? A B ,故
2 2

∵面 A D C ? 面 A B C ,面 A D C ? 面 A B C ? A C , B C ? 面 A B C ,从而 B C ? 平面 A C D (Ⅱ)法一.连接 M O ,过 O 作 O E ? C D 于 E ,连接 M E ∵ M 、 O 分别是 A B 、 A C 中点 ∴ M O ? 平面 A C D ……………………………………….7 分 ∴ DC ? MO ……………………………….8 分 ∴ D C ? 平面 M O E ……………………………………….9 分 ∴ DC ? ME ∴ ? O E M 是二面角 A ? C D ? M 的平面角……………………………………….11 分

由 S ?DOC ?

1 2

OE ?a ?

1 4

a 得O E ?
2

1 2

a ,ME ?

3 2

a

∴ Rt ? M O E 中 c o s ? O E M ?

OE ME

? 3 3

3 3

……………………………………….13 分

∴二面角 A ? C D ? M 的余弦值为 ( Ⅱ
2 2 ???? ? CM ? ( 2 2 a, 2 2

.……14分 系
O ? xyz



建 立 空
2 2





角 坐 标
2 2 a)





所 示

,



M (0,

a, 0) ,C (?

a , 0, 0 ) , D (0, 0, 2 2

???? a, 0) ,C D ? (

a , 0,

2 2

a)

8分 z D

设 n1 ? ( x , y , z ) 为面 C D M 的法向量,
?? ? n1 ? 则 ? ?? ? n1 ?

??

令x ?

?? ? 又 n 2 ? (0,1, 0 ) 为面 A C D 的一个发向量 ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n 2 1 3 ? ? ∴ c o s ? n1 , n 2 ? ? ?? ?? ? 3 | n1 || n 2 | 3

? 2 2 ???? ? ax ? ay ? 0 ? ?CM ? 0 ?y ? ?x ? 2 2 即? ,解得 ? ???? ?CD ? 0 ?z ? ?x 2 ? 2 ax ? az ? 0 ? 2 ? 2 ?? ? 1 ,可得 n1 ? ( ? 1,1,1)

C O A x M y B

∴二面角 A ? C D ? M 的余弦值为 ……14分

3 3

.

19.(本小题满分 14 分) 对于函数 f ( x ) ? a ?
b 2
x

?1

( a ? R , b ? 0 且 b ? 1)

(1)判断函数的单调性并证明; (2)是否存在实数 a 使函数 f (x)为奇函数?并说明理由。 19.解:(1)函数 f (x)的定义域是 R 证明:设 x1 < x2 ; f (x1) – f (x2) = a?
b 2
x1

??2 分

?1

?( a?
b
x1

2
x2

?1

)=
(b
x1

2 (b
x1

x1

?b

x2

) ? 1)

? 1 )( b
x2

x2

当 b ? 1时

? x1<x2

? b

?b

x2

得b ? b

<0

得 f (x1) – f (x2) < 0 所以 f (x1) < f (x2) 故此时函数 f (x)在 R 上是单调增函数;

??6 分

当 0 ? b ? 1时 ? x1<x2 ? b ? b
x1

x2

得b ? b
x1

x2

?0

得 f (x1) – f (x2) ? 0 所以 f (x1) ? f (x2) 故此时函数 f (x)在 R 上是单调减函数 注:用求导法也可证明。 (2) f (x)的定义域是 R, 由 f (0) ? 0 ,求得 a ? 1 .
2 b
?x

??10 分

?11 分
b b
?x ?x

当 a ? 1 时, f ( ? x ) ? 1 ?

?1

?

?1 ?1

?

1? b 1? b

x x

, f (x) ? 1 ?

2 b ?1
x

?

b ?1
x

b ?1
x



满足条件 f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,故 a ? 1 时函数 f (x)为奇函数 20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆
x a
2 2

?14 分

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F 2 (3, 0 ) ,离心率为 e .

(1)若 e ?

3 2

,求椭圆的方程;

(2)设直线 y ? kx 与椭圆相交于 A , B 两点, M , N 分别为线段 A F 2 , B F 2 的中点. 若
2 2 3 2

坐标原点 O 在以 M N 为直径的圆上,且 20.(本小题满分 13 分)

? e ?

,求 k 的取值范围.

?c ? 3 ? 解:(1)由题意得 ? c 3 ,得 a ? 2 3 . ? ? 2 ?a

??????2 分

结合 a ? b ? c ,解得 a ? 1 2 , b ? 3 .
2 2 2 2

2

??????4 分

所以,椭圆的方程为

x

2

?

y

2

? 1.

??????5 分

12
2 2

3

?x y ? 2 ? 2 ? 1, 2 2 2 2 2 2 (2)由 ? a 得 (b ? a k ) x ? a b ? 0 . b ? y ? kx, ?

设 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) .
?a b
2 2 2 2 2

所以 x1 ? x 2 ? 0 , x1 x 2 ?

b ?a k



???7 分

依题意, O M ? O N , 易知,四边形 O M F 2 N 为平行四边形,

所以 A F 2 ? B F 2 , 因为 F 2 A ? ( x1 ? 3, y 1 ) , F 2 B ? ( x 2 ? 3, y 2 ) , 所以 F 2 A ? F2 B ? ( x1 ? 3 ) ( x2 ? 3 ) ? y1 y2 ? (1 ? k ) x1 x2 ? 9 ? 0 .
2

??????8 分
???? ?

???? ?

? ? ?? ? ? ?? ? ?

??????9 分

[即

? a ( a ? 9 )(1 ? k )
2 2 2

a k ? (a ? 9)
2 2 2
4

?9 ? 0,

??????10 分

将其整理为 k ?
2

a ? 18a ? 81
2

2

? a ? 18a
4

2

? ?1 ?

81 a ? 18a
4 2

.

因为

2 2
1 8

? e ?

3 2

,所以 2 3 ? a ? 3 2 , 1 2 ? a ? 1 8 .
2

??????12 分

所以 k ?
2

,即 k ? ( ? ? , ?

2 4

]? (

2 4

, ?? ].

??????14 分

21.(本小题满分 14 分) 已知正项数列 ?a n ?中 , a 1 ? 6 , 点 A n ( a n ? 1, a n ? 1 ) 在抛物线 y 点 B n ( n , b n ) 在过点(0,1),以 k ? 2 为斜率的直线上。 (1)求数列 ?a n ?, ?b n ? 的通项公式; (2)若 f ( n ) ? ?
? a n , ( n 为奇数 ) ? b n , ( n 为偶数 ) k ? N , 使 f ( k ? 27 ) ? 4 f ( k ) 成立,若存
2

? x 上;数列 ?b n ? 中,

, 问是否存在

在,求出 k 值;若不存在,请说明理由; (3)对任意正整数 n,不等式
(1 ? a 1 b1 )( 1 ?
n ?1

1 b2

) ? (1 ?

1 bn

? )

a

n

n ? 2 ? an

? 0 恒成立,

求正数 a 的取值范围。 21.解:(Ⅰ)将点 A n ( a n ? 1, a n ? 1 ) 代入 y ? x 中得 a n ? 1 ? a n ? 1
2

? a n ? 1 ? a n ? d ? 1,? a n ? a 1 ? ( n ? 1) ? 1 ? n ? 5 ????????2 分

∵直线 l : y ? 2 x ? 1
? b n ? 2 n ? 1 ????????????????4 分

(Ⅱ) f ( n ) ? ?

? n ? 5 , ( n 为奇数 ) ? 2 n ? 1, ( n 为偶数 )

当 k 为偶数时,k+27 为奇数,
? f ( k ? 27 ) ? 4 f ( k ), ? k ? 27 ? 5 ? 4 ( 2 k ? 1 ),
? k ? 4 ????6 分

当 k 为奇数时,k+27 为偶数,
? 2 ( k ? 27 ) ? 1 ? 4 ( k ? 5 ), ? k ? 35 2 ( 舍去 )

综上,存在唯一的 k=4 符合条件??????????????8 分 (Ⅲ)由
(1 ? a 1 b1 )( 1 ?
n ?1

1 b2

) ? (1 ?

1 bn

? )

a

n

n ? 2 ? an

? 0,

即a ?

1 2n ? 3 1

(1 ?

1 b1

)( 1 ?

1 b2

) ? (1 ?

1 bn

) ??????????9 分

记 g (n) ?

2n ? 3 1

(1 ?

1 b1

)(1 ?

1 b2

) ? (1 ?

1 bn

)

? g ( n ? 1) ?

2n ? 5

(1 ?

1 b1

)(1 ?

1 b2

) ? (1 ?

1 bn

)(1 ?

1 bn ?1

)

?

g ( n ? 1) g (n)

?

2n ? 3 2n ? 5 ?

(1 ?

1 bn ?1

)

?

2n ? 3 2n ? 5
2

?

2n ? 4 2n ? 3

2n ? 4 2n ? 5 ? 2n ? 3

?

4n ? 16n ? 16 4n ? 16n ? 15
2

?1

? g ( n ? 1) ? g ( n ), 即 g ( n ) 递增????????13 分
1 4 5 3 4 5 15

? g ( n ) m in ? g (1) ?

?

?0 ? a ?

4 5 15

?????????????14 分


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