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广东省吴川四中2013届高三8月摸底考试数学(文)试题


吴川四中 2013 届高三 8 月摸底考试 数 学 (文科) 参考公式:
V ? 1 3 4 3 Sh

锥体的体积公式:
V球 ?

( S 是锥体的底面积, h 是锥体的高)
3

?R

球体体积公式:

( R 是半径)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求.) 1. 设集合 A.
U ? ?1, 2, 3, 4, 5, 6 ? M ? ?1, 3, 5?

,

,则 C U M ? D. U





? 2,4,6?

B.

?1 ,3 ,5?

C.
1? i

?1 ,2 ,4 ?

2.复平面上点 P 表示复数 1 ? i (其中 i 为虚数单位),点 P 坐标是 A.(1,0) B.(一 1,0) C.(0,一 1) D.(0,1) 3.命题“ ? x ? R , x ? 2 x ? 4 ? 0 ”的否定为(
2


2

A. ? x ? R , x ? 2 x ? 4 ? 0
2

B. ? x ? R , x ? 2 x ? 4 ? 4 D. ? x ? R , x ? 2 x ? 4 ? 0
2

C. ? x ? R , x ? 2 x ? 4 ? 0
2

4.若 a ? R ,则“ a =3”是“ a 2=9”的( A.充分而不必要 B.必要而不充分 5、下列函数为偶函数的是( )
3 A. y ? sin x B. y ? x x C. y ? e

)条件 D.既不充分又不必要

C.充要

2 D. y ? ln x ? 1

6、若方程 f ( x ) ? 2 ? 0 在 ( ? ? , 0 ) 内有解,则 y ? f ( x ) 的图象是(



7.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序, 输出的结果是( ).

A. 3 C.33

B.13 D.123

3 2 9.设图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( A. 9 ? ? 4 2
9



3 正视图

侧视图

B. 3 6 ? ? 1 8
9

? ? 12

? ? 18

C. 2 10.若实数 t 满足
g( x ) ? e
x

D. 2
f(t) ? ? t

俯视图
f( x)

,则称 t 是函数

的一个次不动点.设函数

f ( x ) ? ln x

与函数

(其中 e 为自然对数的底数)的所有次不动点之和为 m ,则 B. m
? 0

A. m

? 0

C. 0 ?

m ?1

D. m

?1

二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.) (一)必做题(第 11 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答。) 11.已知向量 a = (1,—1),b = (2,x).若 a ·b = 1,则 x =___
?x2 ? 1 ? f (x) ? ? 2 ? ?x 12.设函数 x ?1 x ?1

,则 f ( f (3)) ? ___

?x ? y ? 3 ? 0 ? ?2x ? 3 ? 0 ?y ? 0 13.目标函数 z=2x+y 在约束条件 ? 下取得的最大值是_____

(二)选做题(14 ~15 题,考生只能从中选做一题;两道题都做的,只记第 14 题的分。) 14.(坐标系与参数方程选做题)已知圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? ,则圆 C 上点到直线
l : ? cos ? ? 2 ? sin ? ? 4 ? 0 的最短距离为



P C

A O ·

B

15. (几何证明选讲选做题)如图 3,PAB、PCD 为⊙O 的两条割线, 若 PA=5,AB=7,CD=11, A C ? 2 ,则 BD 等于 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明 过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)

D 图3

已知等差数列 (1)求数列 (2)若数列

? a n ? 中, a1

?1



a3 ? ? 3



? a n ? 的通项公式; ? a n ? 的前 k 项和 S k
? ?35

,求 k 的值.

17.(本小题满分 12 分)
?? 1? ? , ? 已知函数 f(x)=Asin(x+ ? )(A>0,0< ? < ? ),x ? R 的最大值是 1,其图像经过点 M ? 3 2 ? .

(1)求 f ( x ) 的解析式;
? ? (? ? ?
, 3 2 ), f (? ?

?
3

)?

1 3 ,求

sin ( 2 ? ?

2? 3

)

(2)若

的值.

18.(本小题满分 14 分) 在三棱锥 P ? A B C 中, ? P A C 和 ? P B C 是边长为 2 的等边三角形, A B ? 2 ,O , D 分别是
A B, P B
P

的中点.

(Ⅰ)求证: O D ∥平面 P A C ;
D

(Ⅱ)求证:平面 P A B ⊥平面 A B C ;
A

(Ⅲ)求三棱锥 P ? A B C 的体积.
O
B

C

19.(本题满分 14 分) 2012 年春节前,有超过 20 万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿 321 国 道长途跋涉返乡过年.为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶,手脚僵硬影响驾驶操作而引 发交事故,肇庆市公安交警部门在 321 国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息 站,让过往返乡过年的摩托车驾驶人员有一个停车休息的场所. 交警小李在某休息站连续 5

天对进站休息的驾驶人员每隔 50 辆摩托车,就进行省籍询问一次,询问结果如图 4 所示: (1)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法? (2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样, 若广西籍的有 5 名,则四川籍的应抽取几名? (3)在上述抽出的驾驶人员中任取 2 名,求至少有 1 名驾驶 人 员是广西籍的概率.

20.(本小题满分 14 分)
f ( x) ? e
x 2



1 ? ax

,其中 a ? 0

a ?

4 3 时,求 f ( x ) 的极值点;

(Ⅰ)当

(Ⅱ)若 f ( x ) 为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围。 21.(本题满分 14 分)
f (x) ? 1 3 x ?
3

a ?1 2

x ? bx ? a (a , b ? R )
2

已知函数

? ,且其导函数 f ( x ) 的图像过原点.

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的图像在 x ? 3 处的切线方程;
? (2)若存在 x ? 0 ,使得 f ( x ) ? ? 9 ,求 a 的最大值;

(3)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的零点个数。

吴川四中 2013 届高三年级 8 月摸底考试 数学(文)试卷 答题卡 选择题答案填入下表 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

填空题答案 11、

12、

13、

(选做)14、 (选做)15、 三、解答题:(本题共 6 小题,共 80 分) 16.(本小题满分 12 分)

17.(本小题满分 12 分)

18.(本小题满分 14 分)

P

D

A

C

O
B

19.(本题满分 14 分)

20.(本小题满分 14 分)

21.(本题满分 14 分)

参考答案与评分标准 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1、A 2、C 3、C 4、A 5、D 6、D 7、B 8、C 9、D 10、B 二.填空题(本大题每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题后的横线上)
13

11、1 12、 9

13、6

14.

5 ? 1 .;

15. 6
? ?PAC ? ?PDB ? PA PD ? AC DB ? BD ? 6

15.【解析】由 PA ? PB ? PC ?PD 得 P D ? 15 又

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 解:(1)设等差数列 由题设,

? a n ? 的公差 d ,则 a n

? a1 ? ? n ? 1 ? d



a 3 ? ? 3 ? a1 ? 2 d ? 1 ? 2 d

,所以 d ? ? 2 . ??????????? 6 分

a n ? 1 ? ? n ? 1? ? ? 2 ? ? 3 ? 2 n



(2)因为
2

Sk ?

k ? a1 ? a k 2

?

?

k ?1 ? 3 ? 2 k ? 2

? k ? 2 ? k ? ? ?35



所以 k ? 2 k ? 35 ? 0 ,解得 k ? 7 或 k ? ? 5 . 因为
k ? N?

,所以 k ? 7 .

??????????? 12 分
M(

?

sn ? 17. (1) 解: 依题意有 A ? 1 , f (x ) ?i ( x ) ? , 则 将点

,

1

)

sin (

?
3

??) ?

1 2,

3 2 代入得

而0 ? ? ? ? ,

?

?
3

?? ?

5 6

?

?? ?

?
2 ,故

f ( x ) ? sin ( x ?

?
2

) ? co s x


1 3

;???5 分
5? 6

co s(? ?

?
3

)?

,? ? ? ( ?

? ?
, 3 2

)

?? ?

?
3

? (0,

)

(2)由已知得
sin (? ?





?
3

)?

2 2 3




?
3 ) co s(? ?

???8 分
?
3 )? 4 2 9

?

sin ( 2 ? ?

2? 3

) ? 2 sin (? ?



???12 分

18. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)? O , D 分别为 A B , P B 的中点,
? OD ∥ PA

P

D

又 P A ? 平面 P A C , O D ? 平面 P A C
A

? OD

∥平面 P A C . ??????5 分

C
O
B

(Ⅱ)连结 O C , O P
? AC ? CB ?
? OC

2 , O 为 A B 中点, A B ? 2 ,

⊥ AB ,OC ? 1 .

同理, P O ⊥ A B , P O ? 1 . 又 PC ?
2 ,? P C ? O C ? P O ? 2 ,
2 2 2 ?

? ? PO C ? 90

,? P O ⊥ O C .

? PO ⊥ O C , PO ⊥ AB , AB ? OC ? O ,

? P O ⊥平面 A B C .

又? P O ? 平面 P A B ,? 平面 P A B ⊥平面 A B C . ??????????????10 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知 O P 垂直平面 A B C
? OP 为三棱锥 P ? A B C 的高,且 O P ? 1

? V P ? ABC ?

1 3

S ? ABC ? OP ?

1 3

?

1 2

? 2 ?1 ?

1 3 . ??????????14 分

19.(本题满分 14 分) 解:解:(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法.(3 分) (2) 从图中可知, 被询问了省籍的驾驶人员广西籍的有: 5 ? 20 ? 25 ? 20 ? 30 ? 100 人, (4 分) 四川籍的有: 15 ? 10 ? 5 ? 5 ? 5 ? 40 人,(5 分)
5 ? x 4 0 ,(6 分)

设四川籍的驾驶人员应抽取 x 名,依题意得 1 0 0 解得 x ? 2 ,即四川籍的应抽取 2 名. (7 分) (3)(方法 1)用
a1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5

表示被抽取的广西籍驾驶人员,

b1 , b 2

表示被抽取的四川 ,

籍驾驶人员,则所有基本事件的总数为:

{ a1 , a 2 } ,{ a1 , a 3 } ,{ a1 , a 4 } ,{ a1 , a 5 } ,{ a1 , b1 } ,{ a1 , b 2 }

{ a 2 , a 3 } ,{ a 2 , a 4 } ,{ a 2 , a 5 } ,{ a 2 , b1 } ,{ a 2 , b 2 } { a 4 , a 5 } ,{ a 4 , b1 } ,{ a 4 , b 2 }



{ a 3 , a 4 } ,{ a 3 , a 5 } ,{ a 3 , b1 } ,{ a 3 , b 2 }





{ a 5 , b1 } ,{ a 5 , b 2 } ,{b1 , b 2 }

共 21 个,(10 分)

其中至少有 1 名驾驶人员是广西籍的基本事件的总数为:
{ a1 , a 2 } ,{ a1 , a 3 } ,{ a1 , a 4 } ,{ a1 , a 5 } ,{ a1 , b1 } ,{ a1 , b 2 } { a 2 , a 3 } ,{ a 2 , a 4 } ,{ a 2 , a 5 } ,{ a 2 , b1 } ,{ a 2 , b 2 }

, ,



{ a 3 , a 4 } ,{ a 3 , a 5 } ,{ a 3 , b1 } ,{ a 3 , b 2 }

{ a 4 , a 5 } ,{ a 4 , b1 } ,{ a 4 , b 2 }



{ a 5 , b1 } ,{ a 5 , b 2 }

共 20 个.(12 分)
P ? 20 21

所以,至少有 1 名驾驶人员是广西籍的概率为 (方法 2)所有基本事件的总数同方法 1, 其中,2 名驾驶人员都是四川籍的基本事件为:

(14 分)

{b1 , b 2 }
1

,1 个.(12 分)

所以,抽取的 2 名驾驶人员都是四川籍的概率为

P1 ?

2 1 (11 分) 1 21 ? 20 21

所以,至少有 1 名驾驶人员是广西籍的概率为
2

P ? 1 ? P1 ? 1 ?

(14 分)

f '( x) ? e

x

1 ? ax ? 2 ax (1 ? ax )
2 2

20.解:对 f ( x ) 求导得
a ? 4

①?????2 分

(Ⅰ)当
x1 ? 3 2

3 时,若 f ' ( x ) ? 0,则 4 x ? 8 x ? 3 ? 0 ,
2

解得

, x2 ?

1 2 . ?????4 分

综合①,可知
x
f ?( x ) f (x)

( ?? ,

1 2

)

1 2

(

1 3 , ) 2 2

3 2

(

3 2

, ?? )

+ ↗

0 极大值

- ↘

0 极小值

+ ↗

所以,

x1 ?

3 2 是极小值点,

x2 ?

1 2 是极大值点. ?????8 分

(II)若 f ( x ) 为 R 上的单调函数,则 f ' ( x ) 在 R 上不变号, 结合①与条件 a>0,知 ax 因此
? ? 4a
2

2

? 2 ax ? 1 ? 0 在 R 上恒成立,?????10 分

? 4 a ? 4 a ( a ? 1) ? 0

由此并结合 a ? 0 ,知 0 ? a ? 1 。

所以 a 的取值范围为

?a 0 ?

a ? 1?.

?????14 分

f (x) ?

1 3

x ?
3

a ?1 2

x ? bx ? a
2

21.解:
? 由 f (0) ? 0 得

2 ? , f ( x ) ? x ? ( a ? 1) x ? b

b ? 0 , f ? ( x ) ? x ( x ? a ? 1) .

---------------------2 分

(1) 当 a ? 1 时,

f (x) ?

1 3

x ? x ?1
3 2

? ? , f ( x ) ? x ( x ? 2) , f (3) ? 1 , f (3) ? 3

所以函数 f ( x ) 的图像在 x ? 3 处的切线方程为 y ? 1 ? 3( x ? 3) ,即 3 x ? y ? 8 ? 0 ------------4 分
? (2) 存在 x ? 0 ,使得 f ( x ) ? x ( x ? a ? 1) ? ? 9 ,
? a ?1 ? ? x 9 ? x (? x? ) (? 9 x ?) 2 ? 9 ( x ?) ( ? ? ) ? 6 x , a ? ?7 ,

当且仅当 x ? ? 3 时, a ? ? 7 . 所以 a 的最大值为 ? 7 .
? (3) 当 a ? 0 时, x , f ( x ), f ( x ) 的变化情况如下表:

--------------- -----------------9 分

x
f ?( x )

(?? , 0)

0
0

( ? ? , a ? 1)

a ?1
0

( a ? 1, ? ? )

?

?

?

f(x)

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

----11 分
f (x)

的极大值 f (0) ? a ? 0 ,
f ( a ? 1) ? a ? 1 6 ( a ? 1) ? ?
3

f (x)

的极小值
14 3

1? 3 1 2 1? a ? 3( a ? ) ? ?0 ? 6? 2 4? ?

f (?2) ? ? a ?

? 0, f ( x ) ?

1 3

x

2



3 ? ? 3 x ? ( a ? 1) ? a f ( ( a ? 1)) ? a ? 0 ? ? 2 ? ? , 2 .

所以函数 f ( x ) 在区间

? ? 2, 0 ? , (0, a ? 1), ( a ? 1,

3 2

( a ? 1))

内各有一个零点,

故函数 f ( x ) 共有三个零点。--------------------14 分
f ( a ? 1) ? a ? 1 6 ( a ? 1) ? 0 ( a ? 0 )
3

注:①证明 f ( x ) 的极小值

也可这样进行:

g (a ) ? a ?

1 6

( a ? 1) ? ?
3

1 6

( a ? 3 a ? 6 a ? 1)
3 2


g ?( a ) ? ? 1 6


1 2 ( a ? 3)( a ? 1)

(3 a ? 6 a ? 6 ) ? ?
2



? ? 当 0 ? a ? 1 时, g ( a ) ? 0 ,当 a ? 1 时, g ( a ) ? 0 ,

函数 g ( a ) 在区间

? 0,1? 上是增函数,在区间 ?1, ? ? ? 上是减函数,
1 6 (1 ? 1) ? ?
3

? 0, ? ? ? 上的最大值为 g (1) ? 1 ? 故函数 g ( a ) 在区间
f ( a ? 1) ? a ? 1 6
3

1 3

?0

,

从而

f (x)

( a ? 1) ? 0 ( a ? 0 )

的极小值

.

②证明函数 f ( x ) 共有三个零点。也可这样进行: f ( x ) 的极大值 f (0) ? a ? 0 ,
f ( a ? 1) ? a ? 1 6 ( a ? 1) ? ?
3

f (x)

的极小值

1? 3 1 2 1? a ? 3( a ? ) ? ?0 ? 6? 2 4? ? ,

当 x 无限减小时, f ( x ) 无限趋于 ?? ; 当 x 无限增大时, f ( x ) 无限趋于 ? ? .

? ? ? , 0 ? , (0, a ? 1), (a ? 1, ? ? ) 内各有一个零点,故函数 f ( x ) 共有三个 故函数 f ( x ) 在区间
零点。


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