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汕头市金山中学2017届高三上学期摸底考试数学(理)试题


汕头市金山中学 2016-2017 学年度第一学期摸底考试 高三理科数学 试题卷
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.已知集合 A

? A. ?1, 2 ?

?? x, y ? | y ? x ?1?, B ? ?? x, y ? | y ? 4 ? 2x?,则 A ? B ? (
B. ?1, 2 ? C. ?1, 2?



?

?

D. ?1, 2? , ? ?1, ?2?

?

?


2.如果复数 A. ? 6

2 ? bi (其中 i 为虚数单位, b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那么 b 等于( 1 ? 2i 2 2 B. ? C. D.2 3 3

3.已知命题 p :在 ?ABC 中,若 AB ? BC ,则 sin C ? sin A ;命题 q :已知 a ? R , 则“ a ? 1 ”是“ 命题个数为( A. 1

1 ? 1 ”的必要不充分条件。在命题 p ? q, p ? q, (?p) ? q, (?p) ? q 中,真 a
) B. 2 C. 3 D. 4

4. 执行如图所示程序框图, 若输出的结果为 2, 则输入的正整数 a 的可能取值集合是 ( ) A. ?1,2,3,4,5? B. ?1,2,3,4,5,6? C. ?2,3,4,5? D. ?2,3, 4,5,6?

5.已知数列 ?an ? ,?bn ? ,满足 a1 ? b1 ? 3 ,an?1 ? an ?
足 cn ? ban ,则 c2017 =( A. 92016 ) C. 92017

bn?1 ? 3, n ? N ? ,若数列 ?cn ? 满 bn
第 4 题图 D. 272017

B. 272016

6.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 2,则正(主)视图的面积等于( ) A.2 B.

9 2

C.

3 2

D.3

7.已知 a, b 为同一平面内的两个向量,且 a ? (1,2), b ?

1 a ,若 a ? 2b 与 2

2a ? b 垂直,则 a 与 b 的夹角为(



第 6 题图

A. 0

B.

? 4

C.

2? 3

D. ?

8.已知函数 g ? x ? ? 2cos 2x ,若在区间 ? 0, ? ? 上随机取一个数 x ,则事件“ g ? x ? ? 3 ”发生的概率 为( A. )

1 4

B.

1 3

C.

1 6

D.

2 3

9.某校在暑假组织社会实践活动,将 8 名高一年级学生,平均分配甲、乙两家公司,其中两名英语 成绩优秀学生不能分给同一个公司;另三名电脑特长学生也不能分给同一 个公司,则不同的分配方 案有( A. 18 )种 B. 24 C. 36 D. 72

10.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的增函数,函数 y ? f ? x ?1? 的图象关于点 ?1,0 ? 对称,若对任意的

x, y ? R ,等式 f ? y ? 3? ? f
A. ? 2 ?

?

4x ? x2 ? 3 ? 0 恒成立,则
C. ?1, 2 ?

?

y 的取值范围是( x
D. ?1,3?
2



? ?

? 2 3 ? 2 3 2 3? ,2? ,3? ? B. ? 2 ? 3 3 ? 3 ? ?
2

? ?

2 3? ? 3 ?

11.已知点 A 是抛物线 M : y ? 2 px ? p ? 0? 与圆 C : x 2 ? ? y ? 4 ? ? a 2 在第一象限的公共点,且点 若抛物线 M 上一动点到其准线的距离与到圆心 C 的距离之和的 A 到抛物线 M 焦点 F 的距离为 a , 最小值为 2 a , O 为坐标原点,则直线 OA 被圆 C 所截得的弦长为( A.2 B. 2 3 C. )

7 2 3

D.

7 2 6

12.若过点 P ? a, a ? 与曲线 f ? x ? ? x ln x 相切的直线有两条,则实数 a 的取值范围是( ) A. ? ??, e ? B. ? e, ??? C. ? 0, ?

? ?

1? e?

D. ?1, ?? ?

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.求值

?

?1 ? ? x ?dx = ? 2 ?x ?
4



? 1 ? 1 14.如果 ? 3x ? 的展开式中各项系数之和为 128,则展开式中 3 的系数是 ? 3 2 x x ? ?
答)

n

。(用数字作

15.正三角形 ABC 的边长为 2,将它沿高 AD 翻折,使点 B 与点 C 间的距离为 3 ,此时四面体

ABCD 外接球表面积为



16.已知正数 a , b 满足 5 ? 3a ? b ? 4 ? a,ln b ? a ,则

b 的取值范围是 a



三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 凸四边形 中,其中 为定点, AB ? 3 , P, Q 为动点,满足 AP ? PQ ? QB ? 1 。

(Ⅰ)写出 cos A 与 cos Q 的关系式; (Ⅱ)设 ?APB 和 ?PQB 的面积分别为 S 和 T ,求 S 2 ? T 2 的最大值,及此时凸四边形 PABQ 的面 积. 18. (本小题满分 12 分) 某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别的关系,随机抽取 50 名学生,得到下面的数据表: 倾向“几何证明选讲” 倾向“坐标系与参数方程” 男生 女生 合计 16 4 20 4 8 12 倾向“不等式选讲” 6 12 18 合计 26 24 50

(Ⅰ)根据表中提供的数据,选择可直观判断“选课倾向与性别有关系”的两种,作为选修倾向变量 的取值,并分析哪两种选择倾向与性别有关系的把握最大; (Ⅱ)在抽取的 50 名学生中,按照分层抽样的方法,从倾向“几何证明选讲”与倾向“坐标系与参数 方程”的学生中抽取 8 人进行问卷,若从这 8 人中任选 3 人,记倾向 “几何证明选讲”的人数减去倾向 “ 坐 标 系 与 参 数 方 程 ” 人 数 的 差 为 ? , 求 ? 的 分 布 列 及 数 学 期 望 。 附 :

K2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.100 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635 0.005
7.879

P ? k 2 ? k0 ?

0.001 10.828

k0

[来源:学&科&网]

19. (本小题满分 12 分)

已知三棱柱在 ABC ? A1B1C1 中,侧面 ABB1 A1 为正方形, 延长 AB 到 D ,使 得 AB ? BD ,平面 AAC 1C1 ? 2 A 1A 1 , ?C1 A 1A 1 ? 1 1C ? 平面 ABB 1A 1,A (Ⅰ)若 E , F 分别为 C1 B1 , AC 的中点, 求证: EF ? 平面 ABB1 A 1; (Ⅱ)求平面 A1B1C1 与平面 CB1D 所成的锐二面角的余弦值.

? 。 4

第 19 题图

20. (本小题满分 12 分) 已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 ,点 F ( 3,0) ,以线段 MF 为直径的圆内切于圆 O ,记点 M 的轨迹为 C 。 (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)若过 F 的直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,问:在 x 轴上是否存在点 N ,使得 NA ? NB 为 定值?若存在,求出点 N 坐标;若不存在,说明理由。 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? xe ? e ? 1,其中 t ? R, e 是自然对数的底数.
tx x

??? ? ??? ?

(Ⅰ)若方程 f ? x ? ? 1 无实数根,求实数 t 的取值范围; (Ⅱ)若函数 y ? f ? x ? 在 ? 0, ??? 内为减函数,求实数 t 的取值范围。 选做题:请在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, AB 是 ? O 的直径, C , F 是 ? O 上的两点, OC ? AB ,过点 F 作 ? O 的切线 FD 交 AB 的延长线于点 D .连接 CF 交 AB 于点 E . (Ⅰ)求证: DE 2 ? DB ? DA ; (Ⅱ)若 DB ? 2, DF ? 4 ,试求 CE 的长.
[来源:学|科|网]

第 22 题图

23. (本小题满分 10 分)选修 4 - 4 :坐标系与参数方程 以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为

? 1? ? ? 2 ? sin ? ? cos? ? ? 。 ?? ?
(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程;

(Ⅱ)在曲线 C 上任取一点 P ,过点 P 作 x 轴, y 轴的垂线,垂足分别为 A, B ,求矩形 OAPB 的 面积的最大值。 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 。 (Ⅰ)若 a ? 2 ,求函数 f ? x ? 的最小值; (Ⅱ)如果关于 x 的不等式 f ? x ? ? 2 的解集不是空集,求实数 a 的取值范围。

2017 届高三理科数学摸底考试 参考答案
题号 答案
[来源:

1

[来 m]

2 B

3 A

4 C

5 D

6 A

7 D

8 C

9 C

10 B

11 C

12 B

A

学#科#网 Z#X#X#K]

13. ln 2 ? 6 ; 17.解: (Ⅰ)在 由 ∴ (Ⅱ)根据题意得: ∴ 余 弦

14. 21 ; 中,由余弦定理得: 定 理 得

15. 7? ;

16. ?e,7? ,在 中, ,



……………………6 分

3 1 1 ?cos Q ? 3 cos A ?1 ? S 2 ? T 2 ? sin 2 A ? ? 4 4 4
当 时, , 此时

?

2 3 3 3 3 cos A ? 1 ? ? cos 2 A ? cos A ? , 2 2 4

?

,所以

.

所以 12 分 18.

。 ……………………………………………………………………

(Ⅱ)倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数比例为 20 :12 ? 5 : 3 ,所以抽取的 8 人中倾向“平面几何选讲”的人数为 5,倾向“坐标系与参数方程”的人数为 3。 依题意,得 ? ? ?3, ?1,1,3 , P(? ? ?3) ?
1 C52C3 30 P(? ? 1) ? 3 ? C8 56 1 2 C33 1 C5 C3 15 , ? P ( ? ? ? 1) ? ? , 3 C8 56 C83 56



3 C5 10 P(? ? 3) ? 3 ? C8 56

















…………………………………………9 分 故 ? 的分布列如下:





E? ? 3


1 5

.……………………………………………………… 12 ?

6

(

19.解: (Ⅰ)取 AC ?GE ? A1B1 ,?GE ? 1 1 的中点 G ,连接 FG, EG ,在 ?A 1B 1C1 中, EG 为中位线, 平面 ABB , A ? 1 A 1 1 B 1 平 面 ABB 1A 1 ,?GE ? 平 面 ABB 1A 1 , 同 理 可 得 GF ? 平 面 ABB 1A 1 ,又

GF ? GE ? G , 所 以 平 面 GEF ? 平 面 ABB1 A1 , ? EF ? 平 面 G E ,F ?

E ?F 平 面

ABB1 A1 ;…………………………………6 分
(Ⅱ)连接 AC1 ,在 ?AA1C1 中, ?C1 A1 A ?

?
4

, A1C1 ? 2 AA1 , 所以由余弦定理

2 2 2 得 AC12 ? AA 1 ? AC1 , ?A 1 AC1 1 ? AC 1 1 ? 2 AA 1 ? AC 1 1 cos ?AAC 1 1 ? AA 1 , ? AA

是 等 腰 直 角 三角 形 , AC1 ? AA1 , 又 因 为 平 面 AAC 1 1C ? 平 面 ABB 1A 1 ,平面

AAC B 1? 1 1C ? 平 面 A B1 A

A ,? AC ? 1 平 面 ABB1 A1 , ? AB ? 平 面 1A

ABB1 A1 ,? AC1 ? AB ,又因为侧面 ABB1 A1 为正方形 ,? AA1 ? AB ,
分 别以 AA 1 , AB, AC1 所在 直线作为 x 轴 , y 轴 , z 轴 建立 如图所示 的空 间直角坐 标系 , 设

AB ? 1 , 则

A? 0,0,0? , A1 ?1,0,0? , B1 ?1,1,0? , C1 ?0,0,1? , C ? ?1,0,1? , D ?0,2,0 ? ?CB1 ? ? 2,1, ?1? , CD ? ?1,2, ?1? , AC 1 1 ? ? ?1,0,1, ? , A 1B 1 ? ? 0,1,0? ,
设 平 面 A1B1C1 的 一 个 法 向 量 为 m ? ? x1 , y1 , z1 ? , 则 m?AC A1B1 ? 0 , 即 ? 1 1 ? 0, m?

??

??

??

?? x1 ? z1 ? 0 ,令 ? y1 ? 0

?? x1 ? 1 ,则 y1 ? 0, z1 ? 1 ,故 m ? ?1,0,1? 为平面 A1 B1C1 的一个法向量 , 设平面 CB1 D 的一个法向量为
? ???? ? ??? ? ? ?2 x2 ? y2 ? z2 ? 0 , 令 x2 ? 1 , 则 y2 ? 1, z2 ? 3 , 故 CB1 ? 0, n? CD ? 0 , 即 ? n ? ? x2 , y2 , z2 ? , 则 n? x ? 2 y ? z ? 0 ? 2 2 2 ?? ? ? ?? ? m?n 1? 1? 0? 1? 1 ? 3 2 22 , ? n ? ?1,1,3? 为平面 CB1D 的一个法向量 , 所以 cos ? m ,n ?? ?? ? ? 11 m? n 2 ? 12 ? 12 ? 3 2
平 面 与 平 面 A1 B1 C 1

C 1B

所 成 的 锐 二 面 角 的 余 弦 值 为 D

2 22 。……………………………………………………………………………………………12 分 11
20.解析: (Ⅰ)设 AB 的中点为 M ,切点为 N ,连 OM , MN ,则 OM ? MN ? ON ? 2 ,
' ' ' 取 A 关于 y 轴的对称点 A ,连 A B ,故 A B ? AB ? 2 OM ? MN ? 4

?

?

所以点 B 的轨迹是以 A , A 为焦点,长轴长为 4 的椭圆,其中 a ? 2, c ? 3, b ? 1 ,
'





线

C









x2 ? y 2 ? 1;………………………………………………………………………………6 分 4

(Ⅱ)假设存在满足条件的点 N ? t ,0? , 当直线 AB 斜率不为 0 时,可设直线 AB 为 x ? my ? 3 , A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 将 x ? my ? 3 代入

C 得 ? 4 ? m 2 ? y 2 ? 2 3my ? 1 ? 0
[来

?2 3m ?1 8 3 12 ? 4m2 显然 ? ? 0 ,且 y1 ? y2 ? , x1 ? x2 ? , y1 y2 ? , x1 x2 ? 4 ? m2 4 ? m2 4 ? m2 4 ? m2 ??? ? ??? ? 所以 NA ? NB ? ? x1 ? t ?? x2 ? t ? ? y1 y2 ? x1 x2 ? t ? x1 ? x2 ? ? t 2 ? y1 y2
4m 2 ? 8 3t ? 11 12 ? 4m 2 8 3t ?1 11 ? 4m 2 ? 8 3t 2 2 ? ? ? ?t ? ?t ? ? ? t2 2 2 2 2 2 4?m 4?m 4?m 4?m 4?m
要使 NA ? NB 为定值,须有

?

?

??? ? ??? ?

8 3t ?11 9 3 , ? 4 ,得 t ? 4 8

此时 N ?

? ??? ? ? 9 3 ? ??? 13 , 0 , NA ? NB 为定值 ? . ? ? 8 ? 64 ? ? ??? ? ??? ?
?9 3 ? 13 . 故存在点 N ? ? 8 ,0? ? 满足题设. …………………… 64 ? ?
ln x ? 1? t . x

当直线 AB 斜率为 0 时, NA ? NB = ? 12 分

21.解: (Ⅰ)由 f ? x ? ? 1 ,可得 x ? e x?1?t ? ? 0 ,∴原方程无负实数根,故有 令 g ? x? ?

ln x 1 ? ln x ' ' ' ,∴当 0 ? x ? e , g ? x ? ? 0 ; x ? e , g ? x ? ? 0 , ,则 g ? x ? ? 2 x x

∴ 函数 g ? x ? 在 ? 0, e ? 上单调递增,在 ? e, ??? 上单调递减. ∴ 函数 g ? x ? 的最大值为 g ? e ? ?

1? 1 ? ,∴函数 g ? x ? 的值域为 ? ??, ? ; e? e ? ? 1?
1 1

方程 f ? x ? ? 1 无实数根,等价于 1 ? t ? ? ??, ? ,∴ 1 ? t ? ,∴ t ? 1 ? , e? e e ? ∴ 当

t ? 1?

1 e









f ? x? ? 1







根; …………………………………………………………………6 分 ( Ⅱ ) f
' x?1?t ? ? ? x ? ? etx ? ?1 ? tx ? e ?

由 题 设 , x ? 0 , f?
'

? ?x

0 , 不 妨 取 x ?1 , 则

1?t 1?t f ' ?1? ? et ? ?1 ? t ? e ? ? ? 0 , t ? 1 时, e ? 1,1 ? t ? 2 不 成立,∴ t ? 1 .

①t?

x ? x x? 1 x 1?t , x ? 0 时 , f ' ? x ? ? etx ?1 ? tx ? e ? ? ? ? e 2 ?1 ? ? e 2 ? , 由 ( Ⅰ ) 知 , x ? e x ? 1 ? 0 , ? ? 2 ? 2 ?
x x 2 ' ? e ? 0 ,∴ f ? x ? ? 0 ,∴函数 y ? f ? x ? 是 ? 0, ??? 内的减函数; 2

∴1 ? ②

1 t 1 t ? t ? 1, ? 1,? ln ?0 2 1? t 1? t 1? t
x?1?t ?

令 h ? x ? ? 1 ? tx ? e

,则 h ? 0? ? 0 , h ? x ? ? ?1 ? t ? ?
'

? t x 1?t ? ?e ? ??, ?1 ? t ?

当0 ? x ?

1 t ? 1 t ? ' ln ln ∴ h ? x ? 在 ? 0, 时,h ? x ? ? 0 , ? 上单调递增,∴ h ? x ? ? h ? 0? ? 0 , 1? t 1? t ? 1? t 1? t ?

此时, f

'

? x? ? 0 ,∴ f ? x ? 在 ? ? 0,

1 t ? ln ? 上单调递增,有 f ? x ? ? f ? 0? ? 0 与题设矛盾。 ? 1? t 1? t ?

综上, 当t ? 12 分

1 时, 函数 f ? x ? 是 ? 0, ??? 内的减函数. ……………………………………………… 2

22.解: (Ⅰ)证明:连接 OF.因为 DF 切⊙O 于 F,所以∠OFD=90° .所以∠OFC +∠CFD=90° . 因为 OC=OF,所以∠OCF=∠OFC. 因为 CO⊥AB 于 O,所以∠OCF+∠CEO=90° .所以∠CFD=∠C EO=∠DEF,所以 DF=DE. 因为 DF 是⊙O 的切线,所以 DF2=DB?DA. 所 以

DE2=DB?DA.………………………………………………………………………………………………5 分 (Ⅱ)解:∵DF =DB?DA,DB=2,DF=4.∴DA=8,从而 AB=6,则 OC=3.又由(Ⅰ)可知,DE=DF=4, ∴BE=2 , OE=1 . 从 而 在 Rt△ COE 中 ,
2

CE ? CO2 ? OE 2 ? 10 .………………………………………………10 分
1 2 2 2 23.解: (Ⅰ)由 ? ? 2(sin ? ? cos? ? ) 得 ? ? 2( ? sin ? ? ? cos? ? 1) ,所以 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 2 , ?
2 2 即 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4 , 故 曲 线 C

的 参 数 方 程 ?

?s ?x ? 1 ? 2 c o ( ? 为 参 ? y ? 1 ? 2 s i? n

数);…………………………5 分

( 1 ? 2 cos?, 1 ? 2 sin ?) ,? ? [0, 2? ) ,则矩形 OAPB 的面积为 (Ⅱ)由(Ⅰ)可设点 P 的坐标为

S? ( | 1 ? 2 cos? )(1 ? 2 sin ?) |?| 1 ? 2 sin ? ? 2 cos? ? 4 sin ? cos?) |
令 t ? sin ? ? cos ? ?

2 sin(? ?

?
4

) ? [? 2 , 2 ] , t 2 ? 1 ? 2 sin ? cos? ,

1 3 S ?| 1 ? 2t ? 2t 2 ? 2 |?| 2(t ? ) 2 ? | , 故当 t ? 2 时,Smax ? 3 ? 2 2 。 …………………………… 2 2
10 分 24.解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, 知 f ? x ? ? x ? 2 ? x ? 1 ? ? x ? 2 ? ? ? x ? 1? ? 3 ,当 ? x ? 2?? x ? 1? ? 0 ,即

?1 ? x ? 2









,

? f ? x?











3 .…………………………………………………………………5 分
(Ⅱ)? f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? ? x ? a ? ? ? x ? 1? ? a ? 1 ,当 ? x ? a ?? x ? 1? ? 0 时取等号。
?

若 关 于 x 的 不 等 式 f ? x? ? 2 的 解 集 不 是 空 集 , 只 需 a ?1 ? 2 , 解 得 , 即 实 数

?3 ? a ? 1

a













? ?3,1? 。……………………………………………………………………10 分


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