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广州科才教育高中数学 二次函数常考题集二次函数的应用


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解答题
1.定义[p,q]为一次函数 y=px+q 的特征数. (1)若特征数是[2,k-2]的一次函数为正比例函数,求 k 的值; (2)设点 A,B 分别为抛物线 y=(x+m) (x-2)与 x,y 轴的交点,其中 m>0,且△OAB 的面积为4,O 为原 点,求图象过 A,B 两点的一次函数的特征数. 2.如图,已知直线 l1的解析式为 y=3x+6,直线 l1与 x 轴,y 轴分别相交于 A,B 两点,直线 l2经过 B,C 两 点,点 C 的坐标为(8,0) , 又 已 知 点 P 在 x 轴 上 从 点 A 向 点 C 移 动 , 点 Q 在 直 线 l2 从 点

C 移动时间为 t 秒(1<t<10) . (1)求直线 l2的解析式;

向点 B 移动.点 P,Q 同时出发,且移动的速度都为每秒1个单位长度,设

(2)设△PCQ 的面积为 S,请求出 S 关于 t 的函数关系式; (3)试探究:当 t 为何值时,△PCQ 为等腰三角形?

3.如图,抛物线 y=1

2
x +bx-2与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,且 A(-1,0) . (1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标; (2)判断△ABC 的形状,证明你的结论; (3)点 M(m,0)是 x 轴上的一个动点,当 MC+MD 的值最小时,求 m 的 值. [注:抛物线 y=ax +bx+c 的顶点坐标为(-b
2 2

2a
,4ac-b
2

4a
) .].

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4.已知:如图①,在 Rt△ACB 中,∠C=90°,AC=4 cm,BC=3 cm,点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动,速度为1cm/s;点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动,速度为2cm/s;连接 PQ.若设运动的时间为 t(s) (0<t<2) ,解答 下列问题: (1)当 t 为何值时,PQ∥BC; (2)设△AQP 的面积为 y(cm ) ,求 y 与 t 之间的函数关系式; (3)是否存在某一时刻 t,使线段 PQ 恰好把 Rt△ACB 的周长和面积同时平分?若存在,求出此时 t 的值; 若不存在,说明理由; (4)如图②,连接 PC,并把△PQC 沿 QC 翻折,得到四边形 PQP′C,那么是否存在某一时刻 t,使四边形 PQP′C 为菱形?若存在,求出此时菱形的边长;若不存在,说明理由. 5.如图:抛物线经过 A(-3,0) 、B(0,4) 、C(4,0)三点. (1)求抛物线的解析式. (2)已知 AD=AB(D 在线段 AC 上) ,有一动点 P 从点 A 沿线段 AC 以每秒1个单位长度的速度移动;同时另 一个动点 Q 以某一速度从点 B 沿线段 BC 移动,经过 t 秒的移动,线段 PQ 被 BD 垂直平分,求 t 的值; ( 3 ) 在 ( 2 ) 的 情 况 下 , 抛 物 线 的 对 称 轴 上 是 否 存 在 一 点 M , 使 MQ+MC 有 最 小 值 ?
2

若存在,请求出点 M 的坐标;若不存在,请说明

理由. (注:抛物线 y=ax +bx+c 的对称轴为 x=-b

2

2a


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6.如图1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=8 厘米,点 D 在 AC 上,CD=3厘米.点 P、Q 分别由 A、C 两点同时出发,点 P 沿 AC 方向向点 C 匀速移动,速 度为每秒 k 厘米,行完 AC 全程用时8秒;点 Q 沿 CB 方向向点 B 匀速移动,速度为每秒1厘米.设运动的时 间为 x 秒(0<x<8) ,△DCQ 的面积为 y1平方厘米,△PCQ 的面积为 y2平方厘米. (1)求 y1与 x 的函数关系,并在图2中画出 y1的图象; (2)如图2,y2的图象是抛物线的一部分,其顶点坐标是(4,12) ,求点 P 的速度及 AC 的长; (3)在图2中,点 G 是 x 轴正半轴上一点0<OG<6,过 G 作 EF 垂直于 x 轴,分别交 y1、y2的图象于点 E、F. ①说出线段 EF 的长在图1中所表示的实际意义; ②当0<x<6时,求线段 EF 长的最大值. 7.如图,平面直角坐标系中有一矩形纸片 OABC,O 为原点,点 A,C 分别在 x 轴,y 轴上,点 B 坐标为 (m, 恰好使点 B 与点 G 重合,得到△AGF,且∠OGA=90 度.

2

) (其中 m>0) ,在 BC 边上选取适当的点 E 和点 F,将△OCE 沿 OE 翻折,得到△OGE;再将△ABF 沿 AF 翻折,

(1)求 m 的值; (2)求过点 O,G,A 的抛物线的解析式和对称轴; (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 P,使得△OPG 是等腰三角形?若不存在,请说明理由;若存在,直 接答出所有满足条件的点 P 的坐标(不要求写出求解过程) . 8.如图,已知平面直角坐标系 xoy 中,有一矩形纸片 OABC,O 为坐标原点,AB∥x 轴,B(3, 3

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) , 现将纸片按如图折叠, AD, DE 为折痕, ∠OAD=30 度 叠后,点 O 落在点 O1,点 C 落在线段 AB 点 C1 处,并且 DO1 与 DC1 在同一直线上. (1)求折痕 AD 所在直线的解析式; (2)求经过三点 O,C1,C 的抛物线的解析式;

. 折

(3)若⊙P 的半径为 R,圆心 P 在(2)的抛物线上运动,⊙P 与两坐标轴都相切时,求⊙P 半径 R 的值. 9.如图,抛物线 y1=-ax -ax+1经过点 P(-1
2

2
,9

8
) ,且与抛物线 y2=ax -ax-1 相交于 A,B 两点. (1)求 a 值; (2)设 y1=-ax -ax+1 与 x 轴分别交于 M,N 两点(点 M 在点 N 的左边) ,y2=ax -ax-1 与 x 轴分别交于 E,F 两点(点 E 在点 F 的左边) ,观察 M,N,E,F 四点的坐标,写出一条正确的结论,并通过计算说明; (3)设 A,B 两点的横坐标分别记为 xA,xB,若在 x 轴上有一动点 Q(x,0) ,且 xA≤x≤xB,过 Q 作一条垂
2 2 2

直于 x 轴的直线,与两条抛物线分别交于 C,D x 为何值时,线段 CD 有最大值,其最大值为多少?

两点,试问当

10.如图所示,E 是正方形 ABCD 的边 AB 上的动点,EF⊥DE 交 BC 于点 F. (1)求证:△ADE∽△BEF; (2)设正方形的边长为4,AE=x,BF=y.当 x 取什么值时,y 有最大值?并求出这个最大值.

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11.如图,等腰梯形 ABCD 中,AB=4,CD=9,∠C=60°,动点 P 从点 C 出发沿 CD 方向向点 D 运动,动点

Q

同时以相同速度从点 D 出发沿 DA 方向向终点 A 运动,其中一个

动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动. (1)求 AD 的长; (2)设 CP=x,问当 x 为何值时△PDQ 的面积达到最大,并求出最大值; (3)探究:在 BC 边上是否存在点 M 使得四边形 PDQM 是菱形?若存在,请找出点 M,并求出 BM 的长;不 存在,请说明理由. 12.如图,在平面直角坐标系中,直线 y=- 3 x-

3
2

与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 C,抛物线 y=ax -2

3
3
x+c(a≠0)经过 A,B,C 三点. (1)求过 A,B,C 三点抛物线的解析式并求出顶点 F 的坐标; (2)在抛物线上是否存在点 P,使△ABP 为直角三角形?若存在,直接写出 P 点坐标;若不存在,请说明 理由; ( 3 )试探究在直线 AC 上是否存在一点 M ,使得△MBF 的周长最小?若存在,求出 M 点的坐标;

若不存在,请说明理由.

13.如图,现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ,Ⅱ,它们两直角边的长分别为1和2.将它们分别放置于平

面直角坐标系中的△AOB, △COD 处, 直角边 OB, OD 在 x 轴上. 一直尺 从上方紧靠两纸板放置,让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动.当纸板Ⅰ移动至△PEF 处时,设 PE,PF 与 OC 分 别交于点 M,N,与 x 轴分别交于点 G,H.

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(1)求直线 AC 所对应的函数关系式; (2)当点 P 是线段 AC(端点除外)上的动点时,试探究: ①点 M 到 x 轴的距离 h 与线段 BH 的长是否总相等?请说明理由; ②两块纸板重叠部分(图中的阴影部分)的面积 S 是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及 S 取最大 值时点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 14.如图1,OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O 为原点,点 A 在 x 轴的正半轴上,点 C 在 y 轴的正半轴上,OA=5,OC=4. (1)在 OC 边上取一点 D,将纸片沿 AD 翻折,使点 O 落在 BC 边上的点 E 处,求 D,E 两点的坐标; (2)如图2,若 AE 上有一动点 P(不与 A,E 重合)自 A 点沿 AE 方向 E 点匀速运动,运动的速度为每秒1 个单位长度,设运动的时间为 t 秒(0<t<5) ,过 P 点作 ED 的平行线交 AD 于点 M,过点 M 作 AE 平行线交 DE 于点 N.求四边形 PMNE 的面积 S 与时间 t 之间的函数关系式;当 t 取何值时,s 有最大值,最大值是多 少? (3)在(2)的条件下,当 t 为何值时,以 A,M,E 为顶点的三角形为等腰三角形,并求出相应的时刻点 M 的坐标?

15.如图,已知抛物线与 x 轴交于点 A(-2,0) ,B(4,0) ,与 y 轴交于点 C(0,8) . (1)求抛物线的解析式及其顶点的坐标; (2)设直线 CD 交 x 轴于点 E.在线段 OB 的垂直平分线上是否存在点 P,使得点 P 到直线 CD 的距离等于点 P 到原点 O 的距离?如果存在,求出点 P 的坐标;如果不存在,请说明理由; ( 3 ) 过 点 B 作 x 轴 的 垂 线 , 交 直 线 CD 于 点 F , 将 抛 物 线 沿 其 对 称 轴 平 移 , 使 抛 物 线 与 线 段

EF 总有公共点.试探究:抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下 最多可平移多少个单位长度? 16.如图所示,在平面直角坐标系中,⊙M 经过原点 O,且与 x 轴、y 轴分别相交于 A(-6,0) ,B(0,-8) 两点. (1)请求出直线 AB 的函数表达式; (2)若有一抛物线的对称轴平行于 y 轴且经过点 M,顶点 C 在⊙M 上,开口向下,且经过点 B,求此抛物 线的函数表达式; (3)设(2)中的抛物线交 x 轴于 D,E 两点,在抛物线上是否存在点 P,使得 S△PDE=1

15

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S△ABC?若存在,请求

出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

17.在△ABC 中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M 是 AB 上的动点(不与 A,B 重合) ,过 M 点作 MN∥BC 交 AC 于 点 N.以 MN 为直径作⊙O,并在⊙O 内作内接矩形 AMPN.令 AM=x. (1)用含 x 的代数式表示△MNP 的面积 S; (2)当 x 为何值时,⊙O 与直线 BC 相切; (3)在动点 M 的运动过程中,记△MNP 与梯形 BCNM 重合的面积为 y,试求 y 关于 x 的函数表达式,并求 x 为何值时,y 的值最大,最大值是多少?

18 .如图,已知抛物线经过原点 O 和 x 轴上另一点 A ,它的对称轴 x=2 与 x 轴交于点 C ,直线

y=-2xE.

1经过抛物线上一点 B(-2,m) ,且与 y 轴、直线 x=2分别交于点 D、

(1)求 m 的值及该抛物线对应的函数关系式; (2)求证:①CB=CE;②D 是 BE 的中点; (3)若 P(x,y)是该抛物线上的一个动点,是否存在这样的点 P,使得 PB=PE?若存在,试求出所有符 合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

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19.如图,已知抛物线 y=x +bx+c 经过点(1,-5)和(-2,4)

2

5

(1)求这条抛物线的解析式; (2)设此抛物线与直线 y=x 相交于点 A,B(点 B 在点 A 的侧) ,平行于 y 轴的直线 x=m(0<m< +1)与抛物线交于点 M,与直线 y=x 交于点 N,交 x 轴于点 P,求线段 MN 的长(用含 m 的代数式表示) ; (3)在条件(2)的情况下,连接 OM、BM,是否存在 m 的值,使△BOM 的面积 S 最大?若存在,请求出 m 的值;若不存在,请说明理由. 20.如图,以矩形 OABC 的顶点 O 为原点,OA 所在的直线为 x 轴,OC 所在的直线为 y 轴,建立平面直角坐 标系.已知 OA=3,OC=2,点 E 是 AB 的中点,在 OA 上取一点 D,将△BDA 沿 BD 翻折,使点 A 落在 BC 边上 的点 F 处. (1)直接写出点 E、F 的坐标; (2)设顶点为 F 的抛物线交 y 轴正半轴于点 P,且以点 E、F、P 为顶点的三角形是等腰三角形,求该抛物 线的解析式; (3)在 x 轴、y 轴上是否分别存在点 M、N,使得四边形 MNFE 的周长最小?如果存在,求出周长的最小值; 如果不存在,请说明理由.

21.已知,如图,直线 l 经过 A(4,0)和 B(0,4)两点,它与抛

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物线 y=ax 在第一象限内相交于点 P,又知△AOP 的面积为4,求 a 的值. 22.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=x +bx+c 与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧) ,与 y 轴交
2 2

于点 C 度后恰好经过 B,C 两点. (1)求直线 BC 及抛物线的解析式;

,点 B 的坐标为(3,0) ,将直线 y=kx 沿 y 轴向上平移3个单位长

(2)设抛物线的顶点为 D,点 P 在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求点 P 的坐标; (3)连接 CD,求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数. 23.如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 是矩形,点 B 的坐标为(4,3) .平行于对角线 AC 的直线 m 从原点 O 出发,沿 x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线 m 与矩形 OABC 的两边分别交于点 M、

N,直线 m 运动的时间为 (1)点 A 的坐标是

t(秒) .

,点 C 的坐标是

; (2)当 t=

秒或

秒时,MN=1

2
AC; (3)设△OMN 的面积为 S,求 S 与 t 的函数关系式; (4)探求(3)中得到的函数 S 有没有最大值?若有,求出最大值;若没有,要说明理由. 24.如图,已知抛物线 P:y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在 x 轴的正半轴上) ,与 y 轴交 于点 C,矩形 DEFG 的一条边 DE 在线段 AB 上,顶点 F、G 分别在线段 BC、AC 上,抛物线 P 上部分点的
2

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横坐标对应的纵坐标如下:

x



-3

-2

1

2



y …

5 2
-4

5 2

0



(1)求 A、B、C 三点的坐标; (2)若点 D 的坐标为(m,0) ,矩形 DEFG 的面积为 S,求 S 与 m 的函数关系,并指出 m 的取值范围; (3)当矩形 DEFG 的面积 S 取最大值时,连接 DF 并延长至点 M,使 FM=k?DF,若点 M 不在抛物线 P 上,求 k 的取值范围. 25.已知,在 Rt△OAB 中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2.若以 O 为坐标原点,OA 所在直线为 x 轴,建 立如图所示的平面直角坐标系,点 B 在第一象限内.将 Rt△OAB 沿 OB 折叠后,点 A 落在第一象限内的点 C 处. (1)求点 C 的坐标; (2)若抛物线 y=ax +bx(a≠0)经过 C、A 两点,求此抛物线的解析式; (3)若抛物线的对称轴与 OB 交于点 D,点 P 为线段 DB 上一点,过 P 作 y 轴的平行线,交抛物线于点
2

M

.问:是否存在这样的点 P,使得四边形 CDPM 为等腰梯形?若存在,请求出此

时点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 注:抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)的顶点坐标为(2

b 2a ,

4ac-b2
4a ),对称轴公式为 x=-b 2a
. 26.如图,抛物线 y=x -2x-3与 x 轴交 A、B 两点(A 点在 B 点左侧) ,直线 l 与抛物线交于 A、C 两点,其
2

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中 C 点的横坐标为2. (1)求 A、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式; (2)P 是线段 AC 上的一个动点,过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点,求线段 PE 长度的最大值; (3)点 G 抛物线上的动点,在 x 轴上是否存在点 F,使 A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行 四边形?如果存在,求出所有满足条件的 F 点坐标;如果不存在,请说明理由. 27 . 如 图 , 已 知 二 次 函 数 图 象 的 顶 点 坐 标 为 C ( 1 , 0 ) , 直 线 y=x+m 与 该 二 次 函 数 的 图 象 交 于

A

、B 两点,其中 A 点的坐标为(3,4) ,B 点在轴 y 上.

(1)求 m 的值及这个二次函数的关系式; (2)P 为线段 AB 上的一个动点(点 P 与 A、B 不重合) ,过 P 作 x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点 E 点,设线段 PE 的长为 h,点 P 的横坐标为 x,求 h 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (3)D 为直线 AB 与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段 AB 上是否存在一点 P,使得四边形 DCEP 是平 行四形?若存在,请求出此时 P 点的坐标;若不存在,请说明理由. 28.如图,在平面直角坐标系中,以点 C(0,4)为圆心,半径为4的圆交 y 轴正半轴于点 A,AB 是⊙C 的 切线.动点 P 从点 A 开始沿 AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动,点 Q 从 O 点开始沿 x 轴正方向以每秒4

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个单位长度的速度运动,且动点 P、Q 设运动时间为 t(秒) .

从点 A 和点 O 同时出发,

(1)当 t=1时,得到 P1、Q1两点,求经过 A、P1、Q1三点的抛物线解析式及对称轴 l; (2)当 t 为何值时,直线 PQ 与⊙C 相切并写出此时点 P 和点 Q 的坐标; (3)在(2)的条件下,抛物线对称轴 l 上存在一点 N,使 NP+NQ 最小,求出点 N 的坐标并说明理由. 29.在△ABC 中,∠C=Rt∠,AC=4cm,BC=5cm,点 D 在 BC 上,并且 CD=3cm,现有两个动点 P、Q 分别从点 A 和点 B 同时出发,其中点 P 以1cm/s 的速度,沿 AC 向终点 C 移动;点 Q 以1.25cm/s 的速度沿 BC 向终点 C 移动.过点 P 作 PE∥BC 交 AD 于点 E,连接 EQ,设动点运动时间为 x 秒. (1)用含 x 的代数式表示 AE、DE 的长度; (2)当点 Q 在 BD(不包括点 B、D)上移动时,设△EDQ 的面积为 y(cm ) ,求 y 与 x 的函数关系式,并写 出自变量 x 的取值范围; (3)当 x 为何值时,△EDQ 为直角三角形?
2

30.如图,在△OAB 中,∠B=90°,∠BOA=30°,OA=4,将△OAB 绕点 O 按逆时针方向旋转至△OA′B′,C 点的坐标为(0,4) .

(1)求 A′点的坐标; (2)求过 C,A′,A 三点的抛物线 y=ax +bx+c 的解析式; (3)在(2)中的抛物线上是否存在点 P,使以 O,A,P 为顶点的三角形是等腰直角三角形?若存在,求
2

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出所有点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.


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