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高三数学小题训练


2013 届高三数学专题训练
班级
一、选择题: 1.在复平面内,复数 A.一 2. 设 P 是 双 曲 线

姓名

号数

2 对应的点所在象限是 1? i
B.二 C.三 D.四

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 右 支 上 一 点 , 其 一 条 渐 近 线 方 程 是 a2 9

3x ? 2 y ? 0, F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点,若 | PF1 |? 8 ,则 | PF2 | 等于
A. 4 3. a ? B. 12
2 2 0 0

C. 4 或 12

D. 2 或 14

?

2

0

xdx, b ?? e x dx, c ? ? sin xdx, 则 a、b、c 大小关系是

A. a ? c ? b B. a ? b ? c C. c ? b ? a D. c ? a ? b 4.某校园有一椭圆型花坛,分成如图四块种花,现有 4 种不同颜色的花可供选择,要求每块地只能种一种 颜色,且有公共边界的两块不能种同一种颜色,则不同的种植方法共有 A.48 种 B.36 种 C.30 种 D.24 种 5.某企业三月中旬生产 A、B、C 三种产品共 3000 件,根据分层抽样的结果,企业统计员制作 了如下的统 计表格。由于不小心,表格中 A、C 产品的有关数据己被污染看不清楚,统计员记得 A 产品的样本容量 比 C 产品的样本容量多 10 件,根据以上信息,可得 C 产品的数量是 产品类别 产品数量 (件) 样本容量 (件) A.900 件 B.800 件 C.90 件 A B 1300 1300 D.80 件 C

6.已知直线 l , m, 平面 ?、? , 且 l ? ? , m ? ? , 给出下列四个命题:①若 ? //? , 则 l ? m; ②若 l ? m, 则 ? //? ; ③若 ? ? ? , 则 l //m; ④若 l //m, 则 ? ? ? ; 其中真命题是 A.①② B.①③ C.①④ D.②④

7.设 a 为函数 y ? sin x ? 3 cos x( x ? R) 的最大值,则二项式 (a x ?

1 6 ) x

的展开式中含 x 项的系数是 A.192 B.182 C.-192 D.-182 8.某器物的三视图如图所示,根据图中数据可知该器物的表 面积为 A. 4? B. 5? C. 8? D 9? 9.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (? x) ? ? f ( x), f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 且 x ? (?1,0) 时, f ( x) ? 2 ? , 则
x

2

1 5

f (log 2 20) ?
A. 1 B.

4 5

C. ?1

D. ?

4 5

10.从一块短轴长为 2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形,其而积的取值范围是 [3b , 4b ] ,则 这一椭圆离心率 e 的取值范围是 A. [

2

2

3 2 , ] 3 2

B. [ ,

2 3

2 ] 2

C. [

3 3 , ] 3 2

D. [

5 3 , ] 3 2


二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 11.按如图所示的程序框图运行程序后,输出的结果是 63,则判断框中的整数 H 的值是

x ? y ? 3 ? 0,
12.若 x, y 满足 x ? y ? 1 ? 0, 设 y ? kx, 则 k 的取值范围是 。

3 x ? y ? 5 ? 0,
13.数列 {an } 中, a3 ? 2, a5 ? 1, 如果数列 {

1 } 是等差数列,则 a11 ? an ? 1

14.在 ?ABC 中,三个内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, 已知

c ? 2, C ?

?
3

, ?ABC 的面积等于 3, 则 a ? b ?
2


2

15.给出下列四个命题: ①命题 " ?x ? R, x ? 0" 的否定是 " ?x ? R, x ? 0" ; ②线性相关系数 r 的绝对值越接近于 1 ,表明两个随机变量线性相关性越强; ③若 a, b ? [0,1], 则不等式 a ? b ?
2 2

1 ? 成立的概率是 ; 4 4

④函数 || x ? 1 | ? | x ? 1 ||? a 恒成立,则实数 a 的取值范围是 [2, ??) 。 其中真 命题的序号是



16.2010 年亚冠联赛,山东鲁能、广岛三箭、阿德莱德联、浦项制铁分在同一组进行循环赛,已知规则为 每轮胜得 3 分,平得 1 分,负得 0 分。第一轮在 2 月 24 日的比赛中,山东鲁能客场 l:0 战胜广岛三箭; 第二轮主场对阵阿德莱德联;第三轮客场对阵浦项制铁。若山东鲁能主场胜的概率为

2 1 ,负的概率为 , 3 12

客场胜、平、负是等可能 的。假定各场比赛相互之间不受影响。在前三轮中求: (Ⅰ)山东鲁能两胜一平 的概率; (Ⅱ)山东鲁能积分的数学期望。

高三数学(理科)小题训练 39
班级
一、选择题: 1.设 a ?R ,若(a ? i)2 i ( i 为虚数单位)为正实数,则 a ? A.2 B.1 C.0 D. ?1

姓名

号数

2.已知 E , F , G , H 是空间四点,命题甲: E , F , G , H 四点不共面,命题乙: 直线 EF 和 GH 不相交,则甲是乙成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 所围成的平面区域的面积为
?

3.曲线 y ? sin x , y ? cos x 与直线 x ? 0 , x ? A. ? 2 (sin x ? cos x)dx
0

?
2

?

B. 2? 4 (sin x ? cos x)dx C. ? 2 (cos x ? sin x)dx
0 0

?

D. 2? 4 (cos x ? sin x)dx
0

?

4.下列向量中与向量 a ? ( 2,?3) 平行的是 A. (-4,6) B. (4,6)
2

C. (-3,2)

D. (3,2)

5.函数 f ( x) ? x lg(1 ? x ) 是 A.奇函数 B.既是奇函数又是偶函数 C.偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数

6.设函数 y ? f (x) 在区间 (0,?? ) 内是减函数,则 a ? f (sin 关系是 A. c ? b ? a B. b ? c ? a C. b ? a ? c

?

) , b ? f (sin ) , c ? f (sin ) 的大小 6 4 3
D. a ? b ? c
_

?

?

7.设 S n 为等差数列{ a n }的前 n 项和,且 a3 ? a7 ? 10 ,则 S 9 ? A.45 B.50 C.55 D.90
0.0 0.0 35 0.0 30 0.0 25 0.0 20 0.0 15 0.0 10 05

8.统计某校 1000 名学生的数学水平测试成绩,得到样本频率分布直方图如 图所示,若满分为 100 分,规定不低于 60 分为及格,则及格率是 A.20% B.25% C.6% D.80%

频 组 率 距

9. 将函数 y ? sin x 的图像按向量 a ? (1,1) 平移得到的图像对应的一个函数解 析式是 A. y ? ?1 ? sin(x ? 1) C. y ? ?1 ? sin(x ? 1) B. y ? 1 ? sin(x ? 1) D. y ? 1 ? sin(x ? 1)

4 5 6 7 8 9 1 0 0 0 0 0 0 0 10.设 a1 , a2 ,?, an 是 1,2,?, n 的一个排列,把排在 ai 的左边且比 ai 小的数的个数称为 ai 的顺序 .. . 0 数( i ? 1 2 ?, ) ,, n .如在排列 6,4,5,3,2,1 中,5 的顺序数为 1,3 的顺序数为 0.则在 1 至 8 这八个数字构成的全排列中,同时满足 8 的顺序数为 2,7 的顺序数为 3,5 的顺序数为 3 的不同排列 的种数为
A.48 B.96 C.144 D.192

分 数

二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

开始

11.命题“ ?x ? R , sin x ? ?1 ”的否定是



x ←1, y ←0, n ←1

12.已知某算法的流程图如图所示,若将输出的数组 ( x, y ) 依 次记为 ( x1 , y1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ?, ( xn , yn ) , ?,则程序运 行结束时输出的最后一个数组为 。 。

x←1, 输出(x,y)

n ← n+2 x ← 3x

13.曲线 y ? 2 x ? ln x 在点(1,2)处的切线方程是

?2 x ? y ? 0, ? 14.若实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 3 ? 0, 则 3x-y 的最小 ?3x ? y ? 8 ? 0, ?
值是________。 15.定义:我们把阶乘的定义引申,定义 n!!? n(n ? 2)( n ? 4)? ,若 n 为偶数,

y ← y-2 否

n > 8
是 结束 第 11 第 11 题图 题

则乘至 2,反之,则乘至 1,而 0!! = 0。我们称之为双阶乘(Double Factorial) n 对夫妇任意地排成 一列,则每位丈夫都排 在他的妻子后面的概率是________。 (结果用含双阶乘的形式表示) 16.某投资公司在 2010 年年初准备将 1000 万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择: 项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利 30% ,也可能亏损 15% ,且这 7 2 两种情况发生的概率分别为 和 ;项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能 9 9 1 3 1 获利 50% ,可能亏损 30% ,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为 、 和 ;针对以 5 3 15 上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由。

高三数学(理科)小题训练 38 参考答案
一、选择题:DADAB CCCCD 二、填空题 11、5; 12、 [ , 2] ; 13、0

1 2

14、4; 15、②④

16、解: (Ⅰ)记山东鲁能两胜一平的事件为 A ,由于第一轮已经取胜,则事件 A 包含第二轮主场胜,第 三轮客场平:或第二轮主场平,第三轮客场胜, 从而 P( A) ?

2 1 1 1 2 1 11 ? ? ? ? ? ? 3 3 4 3 9 12 36

所以山东鲁能两胜一平的概率为

11 36

(Ⅱ)(法一)记山东鲁能在第二轮得分为随机变量 X ,则 值为 3、 0 1、 由已知得 X 的分布列为:

X
P

2 1 1 9 ? EX ? 3 ? ? 1? ? 0 ? ? 3 4 12 4

3 2 3
1 4 ? 3 3

1 1 4

0 1 12

X 的取

第三轮得分为随机变量 Y ,因胜、负、平概率相等,故 EY ? (3 ? 1 ? 0) ? 所以前二三轮山东鲁能积分的数学期望为 3 ?

9 4 79 ? ? 4 3 12

高三数学(理科)小题训练 39 参考答案
一、选择题:BADAD DADDC 二、填空题 11. ?x ? R , sin x ? ?1 12. (27, ?6) 13. y ? x ? 1 ? 0 14.7 15. 16.解:若按“项目一”投资,设获利 ?1 万元,则 ?1 的分布列为

n!(2n ? 1)!! (2n)!

7 2 ? E?1 ? 300 ? ? (?150) ? ? 200 (万元). 9 9
若按“项目二”投资,设获利 ? 2 万元,则 ? 2 的分布列为:

?1
P

300
7 9

?150
2 9
0

3 1 1 ? E?2 ? 500 ? ? (?300) ? ? 0 ? ? 200(万元). 5 3 15
2

?2

500

?300
1 3

3 P 7 2 2 5 D?1 ? (300 ? 200) ? ? (?150 ? 200) ? ? 35000 9 9 3 1 1 D?2 ? (500 ? 200)2 ? ? (?300 ? 200)2 ? ? (0 ? 200)2 ? ? 140000 5 3 15
所以 E?1 ? E? 2 , D?1 ? D? 2 ,

1 15

这说明虽然项目一、项目二获利相等,但项目一更稳妥.综上所述,建议该投资公司选择项目一投资.

高三数学(理科)小题训练 40
班级
一、选择题: 1.已知 a∈R,设集合 A={x||x-1|≤2a-a -2},则 A 的子集个数共有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数个 2.若 a、b、c 为实数,则下列命题正确的是( ) 2 2 2 2 A.若 a>b,则 ac >bc B.若 a<b<0,则 a >ab>b 1 1 C.若 a<b<0,则 <
2

姓名

号数

a b

D.若 a<b<0,则 >

b a a b

3.已知函数 y=2sin(ω x+φ )(ω >0)的对称中心为(n,0)(n∈Z) , , ;则ω =( ) A . 1 B . 2 C . π D .

? 2
( ) y

4.方程 xy=lg|x|的曲线只能是 y y y

0 A

x

0 B

x

0 C

x

0

x

5.已知函数 f ( x) ? lg(5x ? A. (?4, ??)
m n

4 ? m) 的值域为 R,则 m 的取值范围是 ( 5x

D )

B. [?4, ??)

C. (??, ?4)

D. (??, ?4]

6. 若 2 ? 4 ? 2 2 ,则点 (m, A.直线 x ? y ? 1 的左下方 C.直线 x ? 2 y ? 1 的左下方 7.已知实数 a,b 满足:

n) 必在( )
B.直线 x ? y ? 1 的右上方 D.直线 x ? 2 y ? 1 的右上方

a ? bi 7 11 ? ? i (其中 i 是虚数单位),若用 Sn 表示数列 ?a ? bn? 的前 n 项的和, 1? i 2 2

则 Sn 的最大值是 ( ) A.16 B.15 C.14 D.12 2 8.抛物线 y =x 与过焦点且与对称轴垂直的直线所围成图形的面积为( ) A .

3 12

B.

1 6

C .

2 4

D.

1 3

9 . 下 列 命 题 中 : ① 函 数 f ( x) ? sin x ?

2 ( x ? (0, ? )) 的 最 小 值 是 2 2 : ② 在 △ ABC 中 , 若 sin x a b c 则△ABC 是等腰或直角三角形; ③如果正实数, b, 满足 a+b>c, a, c 则 ; ? ? sin 2 A ? sin 2B , 1? a 1? b 1? c

④如果 y ? f (x) 是可导函数,则 f ' ( x0 ) ? 0 是函数 y ? f (x) 在 x=x0 处取到极值的必要不充分条件.其中 正确的命题是 ( A.①②③④ ) B.①④ C.②③④ D.②③

f ( x) 且 ') () ? a x , f ( x g x f?x g' ) () (x g ( x) f ( n) 15 则有穷数列{ }( n ? 1, 2,3,?,10 )的前 n 项和大于 的概率是 g ( n) 16 1 2 3 4 A. B. C. D. D 主 5 5 5 5
10.已知定义在 R 上的函数 f ( x)、g ( x) 满足 二、填空题: → → 11.已知 OP1 =(cosθ ,sinθ ), OP2 =(3-cosθ ,4- → → sinθ ),若 OP1 ∥ OP2 ,则 cos2θ = .
B 俯 视 O图 1 A O C 视 图



f (1) f (?1) 5 ? ? . g (1) g (?1) 2

侧 ( 左 ) 视 图 B

D

O

A

12、如图所示是三棱锥 D-ABC 的三视图,其中△DAC、 △DAB、△BAC 都是直角三角形,点 O 在三个视图中都是 所在边的中点,则在三棱锥 D-ABC 中 DO 的长度为
A 2

(第 12 题图)
C

_________;该三棱锥外接球的表面积为________. 13. 在圆中有结论:如图, AB 是圆 O 的直经,直线 AC,BD “

2

是圆 O 过 A,B 的切线,P 是圆 O 上任意一点,CD 是过 P 的切线,则有 PO ? PC ? PD ” 类比到椭圆: 。 “AB
2

是椭圆的长轴,直线 AC,BD 是椭圆过 A,B 的切线, P 是椭圆上任意一点,CD 是过 P 的切线,则有
D C P C O B A F2 O F1 B P D

.”

开始 输入 p

n ? 0, S ? 0

A

n? p




14. (1)圆 ? ? 8 cos? 的面积为

. .

n ? n ?1
S?S? 1 2n

输出 S 结束

(2)极坐标内曲线 ? ? 2sin ? 的中心 O 与点 D ?1, ? ? 的距离为

(3) 若 不 等 式 x ? 1 ? x ? 2 ? a 无 实 数 解 , 则 a 的 取 值 范 围 是 . 。

15.执行右边的程序框图,若 p ? 4 ,则输出的 S ?

高三数学(理科)小题训练 41
班级
一、选择题: 1.已知命题 p : ?x ? R , 2 ? 0 ,那么命题 ?p 为
x

姓名

号数

A. ?x ?R , 2x ? 0 B. ?x ? R , 2x ? 0 C. ?x ?R , 2x ? 0 D. ?x ? R , 2x ? 0 2.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象经过点 ( 2, 4) ,则 f ( x) 的解析式为 A. f ( x) ? 2 x B. f ( x) ? x C. f ( x) ? 2 D. f ( x) ? x ? 2 3.右图是 2010 年青年歌手大奖赛中,七位评委为甲、乙两名 甲 乙 选手打出的分数的茎叶图 (其中 m 为数字 0~9 中的一个) , 去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的 07 9 平均数分别为 a1,a2,则一定有 5 4 5 5184 4 6 4 7 A.a1>a2 B.a2>a1 m9 3 C.a1=a2 D.a1,a2 的大小与 m 的值有关 4.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图 2 3 不可能为①长方形;②正方形;③圆;④椭圆. 其中正确 .... 的是 2 2 A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 5.在区间[- π , π ]内随机取两个数分别记为 a,b,则使得函
2 x

数 f ( x) ? x ? 2ax ? b ? π 有零点的概率为
2 2

正视图

侧视图

A.

7 8

B.

3 4

C.

1 2

D.

1 4

6.如图, A 、 B 分别是射线 OM, 上的两点,给出下列向量: ON ??? ? ??? ? ??? 1 ??? ? ? ? ? A 1 3 ??? 1 ??? ① OA ? 2OB ; ② OA ? OB ; ③ OA ? OB ; 2 3 4 3 ? ? ? ? 3 ??? 1 ??? 3 ??? 1 ??? ④ OA ? OB ; ⑤ OA ? OB . 4 5 4 5 B N O 这些向量中以 O 为起点,终点在阴影区域内的是 A.①② B.①④ C.①③ D.⑤ 2 2 2 7.若曲线 C : x ? y ? 2ax ? 4ay ? 5a ? 4 ? 0 上所有的点均在第二象限内,则 a 的取值范围为 A.(??, 2) ? B.(??, 1) ? C.(1, ?) ? D.(2, ?) ? 8.如图,设平面 a ? b ? EF , AB ? a , CD ? a ,垂足分别为 B , D ,且 AB ? CD . 如果增加一个条件就能推出 BD ^ EF ,给出四个条件:① AC ? b ;② AC ? EF ; ③ AC 与 BD 在 b 内的正投影在同一条直线上 ; A ④ AC 与 BD 在平面 b 内的正投影所在的直线交 于一点. 那么这个条件不可能是 ... A.①② B.②③ C.③ D.④ 9.定义:设 K 是 n 维空间中的一点集,若对任意两点 X (1) ? K , X ( 2) ? K 满足:2

M

b
C F B D E

?X (1) ? (1 ? ? ) X ( 2) ? K , (0 ? ? ? 1) ; 则称 K 为凸集.则下列集合中凸集的个数为 (a)实心球体;(b)圆环;(c)两个凸集的交集;(d)扇
规划问题的可行域. A. 个 1 D.4 个 B. 个 2
2 2

a

面;(e)线性 个

C. 3

10.若点集 A ? {( x, y ) | x ? y ? 1}, B ? {( x, y ) | ?1 ? x ? 1, ?1 ? y ? 1} ,则点集

P ? ?( x, y ) x ? x1 ? 1, y ? y1 ? 1, ( x1 , y1 ) ? A}

M ? ?( x, y ) x ? x1 ? x2 , y ? y1 ? y2 , ( x1 , y1 ) ? A, ( x2 , y2 ) ? B?
所表示的区域的面积分别为 A. ? ; 18 ? ? B. 2? ; 18 ? 2? C. ? ;18 二、填空题 11.复数 D. 2? ;18

1 i + 等于 1+ i 2



12.函数 y = sin x cos x 的最大值是 。 13.现定义命题演算的合式公式(wff),规定为: A.单个命题本身是一个合式公式;B.如果 A 是合式公式,那么 ?A 是合式公式; C.如果 A 和 B 是合式公式,那么 ( A ? B), ( A ? B), ( A ? B), ( A ? B) 都是合式公式; D.当且仅当能够有限次地运用 A、B、C 所得到的命题是合式公式。 说明:考生无需知道 ( A ? B), ( A ? B), ( A ? B), ( A ? B) 所表示的具体含义。 下列公式是合式公式的是: 。 ① ((?P ? Q) ? (Q ? P))) ② (Q ? R ? S ) ③ ( RS ? T ) ④ ( P ? ( R ? S )) ⑤ (( P ? (Q ? R)) ? (( P ? Q) ? ( P ? R)) 14.已知数列 A : a1 , a2 ,?, an ? 0 ? a1 ? a2 ? ? ? an , n ? 3? 具有性质 P : 对任意 i, j ?1 ? i ? j ? n ? , a j ? ai 与 a j ? ai 两数中至少有一个是该数列中的一项. 现给 出以下四个命题:①数列 0, 1, 3 具有性质 P ; ②数列 0, 2, 4, 6 具有性质 P ; ③若数列 A 具有性质 P , a1 ? 0 ; 则 ④若数列 a1 , a2 , a3 ? 0 ? a1 ? a2 ? a3 ? 具有性质 P , a1 ?a3 ?a2 . 其 则 2 中真命题有 。 2 15. 设方程 3tan π x-4tanπ x+ 3=0 在[n-1,n)(n∈N*)内的所有解之和为 an. (1)求 a1、a2 的值,并求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足条件:b1=2,bn+1≥abn,求证: 1 1 1 + +?+ <2. 2b1-3 2b2-3 2bn-3

高三数学(理科)小题训练 40 参考答案
一、选择题:BBCCD 二、填空题:
11. - 7 12. 3;9? 25

CCBDC
13. PF1 ? PF2 ? PC ? PD ; 14. 16? ; 2 ; a ? 3 15.

15 16

高三数学(理科)小题训练 41
一、选择题: 1.C 2.B 二、填空题 11. 3.B 4.B 5.B 6.C 7.D 8.D 9.D 10.A

1 2

12.

1 2
2

4 5 2 3 4 13.○、○ 14.○○○

15. 解:方程 3tan π x-4tanπ x+ 3=( 3tanπ x-1)(tanπ x- 3)=0 得 tanπ x= 3 或 tanπ x= 3 3 3 π π ,或 tanπ x= 3得π x= 或π x= 3 6 3

(1)当 n=1 时,x∈[0,1),即π x∈[0,π ) 由 tanπ x=

1 1 1 故 a1= + = ;??????2 分 6 3 2 当 n=2 时,x∈[1,2),则π x∈[π ,2π ) 由 tanπ x= 3 7π 4π 或 tanπ x= 3,得π x= 或π x= 3 6 6

7 4 5 故 a1= + = ??????4 分 6 3 2 当 x∈[n-1,n)时,π x∈[(n-1)π ,nπ ) 由 tanπ x= 3 π π ,或 tanπ x= 3得π x= +(n-1)π 或π x= +(n-1)π 3 6 3

1 1 得 x= +(n-1)或 x= +(n-1), 6 3 1 1 3 故 an= +(n-1)+ +(n-1)=2n- ???6 分 6 3 2 3 (2)由(1)得 bn+1≥abn=2bn- ????????8 分 2 3 3 3 3 2 n n-1 即 bn+1- ≥abn=2(bn- )≥2 (bn-1- )≥?≥2 (b1- )=2 >0??10 分 2 2 2 2 则 1 1 1 ≤ n-1,即 ≤ n 3 2 2bn+1-3 2 bn+1- 2 1

1 1 1 1 1 1 + +?+ ≤1+ +?+ n-1=2- n-1<2.??12 分 2b1-3 2b2-3 2bn-3 2 2 2

高三数学(理科)小题训练 42 参考答案
一、选择题:1-5 ACBDC 二、 填空题 11.3 12. e ? 2 6-10 BABDA 13. 14. 7 15.③ 1 , 1 2 2 2 1 1 7 16、解: (Ⅰ)由余弦定理得 a ? b ? c ? 2b cos A = ( c) 2 ?c 2 ? 2? c? ? ? c 2 , c 3 3 3 2 9 , a 7 5 . 故 ?

3 2 2

c

3

cos B sin C ? cos C sin B sin( B ? C ) sin A = ? , sin B sin C sin B sin C sin B sin C 7 2 c 2 sin A 1 a 2 9 14 14 3 由正弦定理和(Ⅰ)的结论得 ? · ? · ? ? . sin B sin C sin A bc 9 3 1 c· 3 3 c 3
(Ⅱ) cot B ? cot C = 故 cot B ? cot C ?

14 3 . 9

高三数学(理科)小题训练 43 参考答案
一、选择题:BABAA DADDD 二、 填空题 11、 ?

3 2

1-5: B D C D C
'

14、 (0, ) ? (1, ??) 15、 f1 ( x), f 2 ( x) 1 2 , 高三数学(理科)小题训练 44 参考答案 3 3? 6-10:C A B A B 11.1 , 12.8 13. 4 5 12、12,3 15.

13、 ?

1

?4 3? 2 14. ? ? R ? ? 4? R ,球的体积函数的导数等于球的表面积函数 3 ? ?
16.解: (I)由 a、b、c 成等比数列可得 b =ac 若 ?B ?
2

? 4

?
3

,由余弦定理 cos B ?

a 2 ? c2 ? b2 2ac

可得

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac ? 1 ? ? cos ? 2ac 2ac 3 2
2

即 (a ? c) ? 0 ,所以 a ? c 又 ?B ? (II)由 b =ac 及正弦定理可得
2

?
3

故 ?ABC 为正三角形.

sin 2 B=sinAsinC

当 ?B ?

?
6

时,可得 sin

2

?
6

=sinAsin(

5? ? A) 6
1 3 2 ? sinA cos A ? sin A 2 2

1 5? 5? 5? =sinAsin( ? A) ? sinA(sin cos A ? cos sin A) 4 6 6 6
即 sin2A ?

1 4

3 1 3 3 1 (1 ? cos 2 A) ? sin2A ? cos 2 A ? ? 4 4 4 4 4

所以 sin2A ?

1 2

1? 3 3 1? 3 ? 故 sin(2 A ? ) ? cos 2 A ? 2 2 2 3

17. (I)证明:依题意知: CD ? AD.又 ? 面PAD ? 面ABCD ? DC ? 平面PAD.

又DC ? 面PCD

? 平面PAD ? 平面PCD. ?4 分

(II)由(I)知 PA ? 平面 ABCD ∴平面 PAB⊥平面 ABCD. 在 PB 上取一点 M,作 MN⊥AB,则 MN⊥平面 ABCD,设 MN=h

VM ? ABC ?

1 1 1 h 1 1 (1 ? 2) 1 S ?ABC ? h ? ? ? 2 ? 1 ? h ? VP ? ABCD ? S ?ABC ? PA ? ? ? 1?1 ? 3 3 2 3 3 3 2 2 1 h h 1 要使 VPDCMA : VMACB ? 2 : 1,即( ? ) : ? 2 : 1, 解得h ? 即 M 为 PB 的中点. 2 3 3 2

(III)以 A 为原点,AD、AB、AP 所在直线为 x,y,z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 则 A(0,0,0) ,B(0,2,0) , C(1,1,0) ,D(1,0,0) , P(0,0,1) ,M(0,1,

1 ) 2

由(I)知平面 PAD ? 平面PCD, 作AQ ? PD , 则 AQ ? 平面PDC , 则 AQ为平面PCD 的法向量。 又? ?PAD 为等腰 Rt?

1 1 ? Q为PD的中点,即Q( ,0, ) 2 2

因为 AQ ? AM ? ( ,0, )(0,1, ) ? 所以 AM 与平面 PCD 不平行。

1 2

1 2

1 2

1 ? 0, 所以AQ不垂直 AM 4


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