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河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训7-1不等式的性质及解法试题


1.(文)(2012·河北保定模拟)若 a>0 且 a≠1,b>0,则“logab>0”是“(a-1)(b-1) >0”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] C [解析] ∵a>0 且 a≠1,b>0,
? ?0<a<1 ∴logab>0?? ?0<b<1 ?

或?

? ?a>1 ?b>1 ?

?(a-1)(b-1)>0.

(理)(2011·马鞍山二中月考)设 a, ∈R, b 现给出下列五个条件: a+b=2; a+b>2; ① ② ③a+b>-2; ab>1; ④ ⑤logab<0, 其中能推出: a, 中至少有一个大于 1”的条件为( “ b A.②③④ C.①②③⑤ [答案] D [解析] ①a+b=2 可能有 a=b=1; a+b>2 时, ② 假设 a≤1, ≤1, a+b≤2 矛盾; b 则 ③a+b>-2 可能 a<0, <0; ab>1, b ④ 可能 a<0, <0; b ⑤logab<0, ∴0<a<1, >1 或 a>1,0<b<1, b 故②⑤能推出. 2.(2011·湖北八校联考)若 a<b<0,则下列不等式中不一定成立的是( 1 1 A. > ) B.②③④⑤ D.②⑤ )

a b

B.

1 1 > a-b b

C. -a> -b [答案] B

D.|a|>-b

[解析] 取 a=-2,b=-1,逐一检验即可知选 B. 3.(2011·重庆二诊)设 0<b<a<1,则下列不等式成立的是( A.ab<b <1 C.a <ab<1 [答案] B [解析] 依题意得 ab-b =b(a-b)>0,∴ab>b ,因此 A 不正确;同理可知 C 不正确; 1 x 1 0 1 b 1 a 1 1 1 1 a 1 b 由函数 y=( ) 在 R 上是减函数得,当 0<b<a<1 时,有( ) >( ) >( ) >( ) ,即 <( ) <( ) , 2 2 2 2 2 2 2 2 因此 B 正确;同理可知 D 不正确.综上所述,选 B.
2 2 2 2

)

1 1 a 1 b B. <( ) <( ) 2 2 2 D.log1 b<log1 a<0 2 2

1 1 [点评] 可取特值 a= ,b= 检验. 2 4 1 2 4.(文)(2012·天津文,5)设 x∈R,则“x> ”是“2x +x-1>0”的( 2 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 [答案] A [解析] 本题考查充要条件,解一元二次不等式的知识. 由 2x +x-1>0 得(x+1)(2x-1)>0, 1 1 2 即 x<-1 或 x> ,又因为 x> ? 2x +x-1>0, 2 2 而 2x +x-1>0? /
2 2

)

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x> ,选 A.

1 2

1 1 2 2 (理)(2011·青岛模拟)已知不等式 ax -bx-1≥0 的解集是[- ,- ],则不等式 x 2 3 -bx-a<0 的解集是( A.(2,3) 1 1 C.( , ) 3 2 [答案] A 1 1 1 1 2 [解析] 由题意知- 、- 是方程 ax -bx-1=0 的根,由韦达定理得,- +(- )= 2 3 2 3 ) B.(-∞,2)∪(3,+∞) 1 1 D.(-∞, )∪( ,+∞) 3 2

b 1 1 1 ,- ×(- )=- . a 2 3 a
∴a=-6,b=5, 不等式 x -bx-a<0 即为 x -5x+6<0,∴2<x<3.
? ?x -4x+6,x≥0, 5.(文)(2012·东城二模)设函数 f(x)=? ? ?x+6,x<0,
2 2 2

则不等式 f(x)>f(1)的

解集是(

)

A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞) C. (-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3) [答案] A [解析] 由题意知 f(1)=3,故原不等式可化为

? ?x≥0, ? 2 ? ?x -4x+6>3,

或?

? ?x<0, ? ?x+6>3,

解之得-3<x<1 或 x>3,

∴原不等式的解集为(-3,1)∪(3,+∞),故选 A. (理)若关于 x 的不等式(m-1)x< 4x-x 的解集为{x|0<x<2},则实数 m 的值是( A. 1 2 B.1 D.0
2

)

C.2 [答案] C

[解析] 在同一平面直角坐标系中画出函数 y= 4x-x 和 y=(m-1)x 的图象, 结合题 意及图象可知,函数 y=(m-1)x 的图象必经过点(2,2),即有 2(m-1)=2,求得 m=2.故选 C.

2

6.(文)(2011·泉州质检)已知 a1,a2∈(0,1),记 M=a1a2,N=a1+a2-1,则 M 与 N 的 大小关系是( A.M<N C.M=N [答案] B [解析] 由题意得 M-N=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1)>0,故 M>N,选 B. 1 1 1 a b (理)已知 0<a< ,且 M= + ,N= + ,则 M、N 的大小关系是( b 1+a 1+b 1+a 1+b A.M<N C.M=N [答案] B 1 [解析] ∵0<a< ,∴ab<1,a>0,b>0, B.M>N D.不确定 ) ) B.M>N D.不确定

b

1-a 1-b ∴M-N= + 1+a 1+b



?

1-a? ? 1+b? +? 1+a? ? ? 1+a? ? 1+b?

1-b?

= ?

2? 1-ab? >0, 1+a? ? 1+b?

∴M>N. 7.(文)不等式| ________. 1 [答案] {x| <x<1} 4 [解析] ∵| ∴-2<x<1, 1 ∵|log2x|<2,∴-2<log2x<2,∴ <x<4, 4 1 ∴A∩B={x| <x<1}. 4 (理)若规定?

x-1 x-1 |> 的解集为 A ,不等式|log2x|<2 的解集为 B ,则 A∩B = x+2 x+2

x-1 x-1 x-1 |> ,∴ <0, x+2 x+2 x+2

? a b ? c d

? ? 1 1 ? ?=|ad-bc|,则不等式 log 2? ?<0 的解集为________. ? ? 1 x ?

[答案] (0,1)∪(1,2) [解析] 据题意?

? 1 1 ? ?=|x-1|, ? 1 x? ? 1 1 ? ?<0 化为 log 2|x-1|<0, ? 1 x ?

∴不等式 log 2?

∴0<|x-1|<1,∴1<x<2 或 0<x<1. 2 1 x 2 8.(2012·河南洛阳统考)已知函数 f(x)=x + ,g(x)=( ) -m,若? x1∈ [1,2], x 2 ? x2∈[-1,1],使得 f(x1)≥g(x2),则实数 m 的取值范围是________. 5 [答案] [- ,+∞) 2 [解析] 要使对? x1∈[1,2],? x2∈[-1,1],使得 f(x1)≥g(x2),只需使 f(x)在区间 2? x -1? [1,2]上的最小值大于等于 g(x)在区间[-1,1]上的最小值即可.因为 f ′(x)= 2
3

x

≥0 对 x∈[1,2]恒成立, 所以函数 f(x)在区间[1,2]上单调递增, 从而函数 f(x)在区间[1,2] 上的最小值为 f(1)=3.易知函数 g(x)在区间[-1,1]上单调递减, 故函数 g(x)在区间[-1,1] 1 1 5 上的最小值为 g(1)= -m.由题意得 3≥ -m,解得 m≥- . 2 2 2
? ?1 ? x≥0? , 9.(文)已知 f(x)=? ? ?0 ? x<0? ,

则不等式 xf(x)+x≤2 的解集是________.

[答案] (-∞,1]
? ?2x≤2 [解析] 原不等式化为①? ? ?x≥0

或②?

? ?x≤2, ? ?x<0

它们的解集分别为[0,1],(-∞,0),取并集得原不等式的解集为(-∞,1].

?1,x>0, ? (理)已知符号函数 sgnx=?0,x=0, ?-1,x<0, ?
________. [答案] {x|x<-1 或 x>2} [解析] 不等式 x -(x+1)sgnx-1>0 化为
?x>0, ? ? 2 ? ?x -x-2>0,
2

则不等式 x -(x+1)sgnx-1>0 的解集是

2

或?

?x=0, ? ? ?x -?
2

x+1? ×0-1>0,

或?

?x<0, ? ? ?x +x>0.
2

∴x>2 或 x<-1. 10.(2012·山东青岛市检测)已知函数 y= ax +2ax+1的定义域为 R,解关于 x 的不 等式 x -x-a +a>0. [分析] 函数 y= f?
?a=0 ? 即? ? ?1≥0 ?a>0 ? 或? ? ?Δ ≤0
2 2 2

x? 的定义域为 R,即 f(x)≥0 恒成立,ax2+2ax+1≥0 恒成立,
2 2

,不等式 x -x-a +a>0,可利用分组分解因式得,(x-a)(x+a-

1)>0. [解析] 因为函数 y= ax +2ax+1的定义域为 R, 所以 ax +2ax+1≥0 恒成立(*). 当 a=0 时,1≥0 恒成立,满足题意, 当 a≠0 时,为满足(*)必有 a>0 且 Δ =4a -4a≤0,解得 0<a≤1, 综上可知:a 的取值范围是 0≤a≤1, 原不等式可化为(x-a)[x-(1-a)]>0, 1 当 0≤a< 时,解得 x<a,或 x>1-a; 2 1 1 当 a= 时,解得 x≠ ; 2 2 1 当 <a≤1 时,解得 x<1-a,或 x>a, 2 1 综上,当 0≤a< 时,不等式的解集为{x|x<a 或 x>1-a}, 2 1 1 当 a= 时,不等式的解集为{x|x∈R,x≠ }, 2 2
2 2 2

1 当 <a≤1 时,不等式的解集为{x|x<1-a 或 x>a}. 2 能力拓展提升 11.(文)(2011·四川成都期末)已知 a>b>0, ab=1, c= 且 设 2

a+b

, =logca, =logcb, P N

M=logc(ab),则有(
A.P<M<N C.N<P<M [答案] A

) B.M<P<N D.P<N<M

[解析] 因为 a>b>0,且 ab=1, 所以 a>1,0<b<1,

a+b>2 ab=2,c= <1, a+b
所以 logca<logc(ab)<logcb, 即 P<M<N,选 A. (理)(2011·山东临沂模拟)已知 0<a<b, a+b=1, 且 则下列不等式中, 正确的是( A.log2a>0 B.2
a-b

2

)

1 < 2

C.2

b a + a b 1
< 2

D.log2a+log2b<-2

[答案] D 1 3 [解析] 当 a= ,b= 时 A 不成立; 4 4 对B有2
a-b

1 a-b -1 < ? 2 <2 ? a-b<-1, 2

又 a+b=1,可得 a<0,与 a>0 矛盾;

对C有2 选 D.

b a + a b 1

< ?2 2

b a + a b

<2 ? + <-1,与 + >2(∵a≠b,且 a>0,b>0)矛盾,故

-1

b a a b

b a a b

12.(文)(2011·东营模拟)已知 x∈R,A=(x+3)(x+7),B=x +9x+20,则 A、B 的 大小关系为( A.A>B C.A<B [答案] D [解析] A-B=(x+3)(x+7)-(x +9x+20)=x-1,当 x>1 时 A>B,当 x=1 时 A=B,
2

2

) B.A=B D.与 x 有关

当 x<1 时 A<B,故选 D. (理)(2011·吉林联考)已知实数 a、b、c 满足 b+c=6-4a+3a ,c-b=4-4a+a , 则 a、b、c 的大小关系是( A.c≥b>a C.c>b>a [答案] A [解析] 解法 1:特值法:令 a=0,则 b=1,c=5, ∴c>b>a,排除 B、D; 令 c=b,则 a=2,∴b=c=5,也满足 b>a,排除 C,选 A. 解法 2:c-b=4-4a+a =(2-a) ≥0, ∴c≥b,已知两式作差得 2b=2+2a ,即 b=1+a ,
2 2 2 2 2 2

) B.a>c≥b D.a>c>b

? 1?2 3 2 ∵1+a -a=?a- ? + >0, ? 2? 4
∴1+a >a,∴b>a,∴c≥b>a. 13.若关于 x 的不等式 2x -(2a+1)x+a<0 的整数解有且仅有 1、2,则实数 a 的取值 范围是________. [答案] (2,3] [解析] 将不等式变形为:(2x-1)(x-a)<0, 1 1 由题设条件知 a> ,∴ <x<a, 2 2 ∵不等式的整数解有且仅有 1、2,∴2<a≤3. 14. 已知等比数列{an}中, 1>0, >0, n 项和为 Sn, a q 前 比较 与 的大小, 结果为________. [答案]
2 2

S3 S5 a3 a5

S3 S5 < a3 a5

[分析] 可以利用等比数列前 n 项和公式将两个式子表示出来, 再作差进行比较, 但应 注意对公比的分类讨论. [解析] 当 q=1 时, =3, =5,所以 < ; 当 q>0 且 q≠1 时, - = -q-1 S3 S5 <0,所以有 < . 4

S3 a3

S5 a5

S3 S5 a3 a5

S3 S5 a1? 1-q3? a1? 1-q5? q2? 1-q3? -? 1-q5? - 4 = = 2 a3 a5 a1q ? 1-q? a1q ? 1-q? q4? 1-q?

q

a3 a5

综上可知 < . 15.(2011·珠海模拟)已知 b>a>0,x>y>0,求证:

S3 S5 a3 a5

x

x+a y+b

>

y

.

1 1 [解析] ∵x>y>0,∴0< < ,

x y

∵b>a>0,∴0< < ,∴1<1+ <1+ , 即 1<

a b x y

a x

b y

x+a y+b x y < ,∴ > . x y x+a y+b
x

16.(文)(2011·北京海淀区诊断)已知函数 f(x)=(ax-1)e ,a∈R. (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的极值; (2)若函数 f(x)在区间(0,1)上是单调增函数,求实数 a 的取值范围. [解析] (1)因为 f ′(x)=(ax+a-1)e , 所以当 a=1 时,f ′(x)=xe ,令 f ′(x)=0,则 x=0, 所以 f(x),f ′(x)的变化情况如下表:
x x

x f ′(x) f(x)

(-∞,0) - ??

0 0 极小值

(0,+∞) + ?

所以 x=0 时,f(x)取得极小值 f(0)=-1. (2)因为 f ′(x)=(ax+a-1)e ,函数 f(x)在区间(0,1)上是单调增函数, 所以 f ′(x)≥0 对 x∈(0,1)恒成立. 又 e >0,所以只要 ax+a-1≥0 对 x∈(0,1)恒成立, 解 法一 :设 g(x)= ax + a - 1, 则要使 ax + a - 1≥0 对 x ∈ (0,1)恒 成立, 只要
?g? ? ? ?g? ?
x x

0? ≥0, 1? ≥0, 即?

成立,

? ?a-1≥0, ? ?2a-1≥0,

解得 a≥1.

解法二:要使 ax+a-1≥0 对 x∈(0,1)恒成立, 因为 x>0,所以 a≥ 因为函数 g(x)= 1 1

x+1

对 x∈(0,1)恒成立,

x+1

在(0,1)上单调递减,

∴g(x)≤1,∴a≥1. (理)(2012·沈阳二模)已知函数 f(x)=ax-1-lnx(a∈R). (1)讨论函数 f(x)在定义域内的极值点的个数; (2)若函数 f(x)在 x=1 处取得极值,对? x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2 恒成立,求实数

b 的取值范围;

y 1-lny 2 (3)当 0<x<y<e 且 x≠e 时,试比较 与 的大小. x 1-lnx
1 ax-1 [解析] (1)f ′(x)=a- = ,当 a≤0 时,f ′(x)≤0 在(0,+∞)上恒成立,

x

x

函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减, ∴f(x)在(0,+∞)上没有极值点; 1 当 a>0 时,由 f ′(x)≤0 得 0<x≤ ,

a

1 由 f ′(x)≥0 得 x≥ ,

a

1 1 1 ∴f(x)在(0, ]上单调递减,在[ ,+∞)上单调递增,∴f(x)在 x= 处有极小值.

a

a

a

∴当 a≤0 时 f(x)在(0,+∞)上没有极值点, 当 a>0 时,f(x)在(0,+∞)上有一个极值点. (2)∵函数 f(x)在 x=1 处取得极值,∴a=1, 1 lnx ∴f(x)≥bx-2?1+ - ≥b,

x

x

1 lnx 1 1-lnx lnx-2 2 令 g(x)=1+ - ,则 g′(x)=- 2- = ,由 g′(x)≥0 得 x≥e , 2 2

x

x

x

x

x

由 g′(x)≤0 得 0<x≤e ,因此可得 g(x)在(0,e ]上单调递减,在[e ,+∞)上单调递 增, 1 1 2 ∴g(x)min=g(e )=1- 2,即 b≤1- 2.

2

2

2

e

e

1 lnx (3)令 h(x)= - =g(x)-1,

x

x

由(2)可知 g(x)在(0,e )上单调递减,则 h(x)在(0,e )上单调递减 1-lnx 1-lny 2 ∴当 0<x<y<e 时,h(x)>h(y),即 > .

2

2

x

y

y 1-lny 当 0<x<e 时,1-lnx>0,∴ > , x 1-lnx y 1-lny 2 当 e<x<e 时,1-lnx<0,∴ < . x 1-lnx

1.关于 x 的不等式 x -ax-20a <0 任意两个解的差不超过 9,则 a 的最大值与最小值 的和是( A.2 [答案] C ) B.1 C.0 D.-1

2

2

[解析] 方程 x -ax-20a =0 的两根是 x1=-4a,x2=5a,则由关于 x 的不等式 x -

2

2

2

ax-20a2<0 任意两个解的差不超过 9,得|x1-x2|=|9a|≤9,即-1≤a≤1,且 a≠0,故选
C. 1 - 2 2.设 a=log32,b=ln2,c=5 ,则( A.a<b<c C.c<a<b [答案] C [解析] 解法 1:a=log32= ∴a<ln2=b,即 a<b, 1 - 2 1 ln2 ln2 又 c=5 = = = , 5 5 5ln2 ln2
5 5 2

) B.b<c<a D.c<b<a

ln2 ,∵0<ln2<1,ln3>1, ln3

∵2

>2 =4>3,∴ln2

>ln3,故 c<a,∴c<a<b.

解法 2:a<b 比较同上.

a=

1 1 ,c= ,∵log23<2 而 5>2, log23 5

∴log23< 5,∴a>c,∴c<a<b. 3.(2012·哈尔滨三中模拟)已知 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0<x<1 时,f(x)=lgx. 6 3 5 设 a=f( ),b=f( ),c=f( ),则( 5 2 2 A.a<b<c C.c<b<a [答案] D 5 1 3 1 6 4 [解析] ∵f(x)是周期为 2 的奇函数,∴f( )=f( ),f( )=-f( ),f( )=-f( ), 2 2 2 2 5 5 1 4 1 4 1 ∵0<x<1 时,f(x)=lgx,∴f( )<f( )<0,∴f( )<0<-f( )<-f( ),即 c<a<b. 2 5 2 5 2 4.设 a+b<0,且 b>0,则( A.b >a >ab C.a <-ab<b [答案] D [解析] 由 a+b<0,b>0,可得 a<0,0<b<-a,则 b -a =(b-a)(a+b)<0,可知 A、C
2 2 2 2 2 2

) B.b<a<c D.c<a<b

) B.b <a <-ab D.a >-ab>b
2 2 2 2

错误,a +ab=a(a+b)>0,b +ab=b(b+a)<0,可知 B 错误,D 正确. [点评] 可对 a、b 取特值检验. 5.设定义域为 R 的函数 f(x)满足下列条件:①对任意 x∈R,f(x)+f(-x)=0;②对 任意 x∈[-1,1],都有

2

2

f? x1? -f? x2? 2 >0,且 f(-1)=-1.若函数 f(x)≤t -2at+1 对 x1-x2
)

所有的 x∈[-1,1]都成立,则当 a∈[-1,1]时,t 的取值范围是( A.-2≤t≤2 1 1 B.t≤- 或 t=0 或 t≥ 2 2 1 1 C.- ≤t≤ 2 2 D.t≤-2 或 t=0 或 t≥2 [答案] D [分析]

函数 f(x)≤t -2at +1 对所有的 x ∈[-1,1]都成立?在[-1,1]上,

2

f(x)max≤t2-2at+1,于是由函数的性质可以先求出 f(x)max.
[解析] 由题知 f(x)是奇函数,在[-1,1]上是增函数,且 f(-1)=-1,所以在 [- 1,1]上,f(x)max=f(1)=-f(-1)=1.函数 f(x)≤t -2at+1 对所有的 x∈[-1,1]都成立 ?t -2at+1≥1?t -2at≥0 恒成立.
?g? ? 设 g(a)=t -2at,a∈[-1,1],则? ? ?g?
2 2 2 2

1? ≥0, -1? ≥0

?t -2t≥0, ? ?? 2 ? ?t +2t≥0

2

?t≤-2 或 t

=0 或 t≥2.故选 D. 2010 +1 2010 +1 6.设 A=log2011 , B=log2011 ,则 A 与 B 的大小关系为________. 2222 3333 2010 +1 2010 +1 [答案] A>B [解析] 设 2010
1111 1111 2222

=x,则

x+1 x2+1 A=log2011 2 ,B=log2011 3 ,x>1, x +1 x +1


x+1 x2+1 x? x-1? 2 - 3 = >0,y=log2011x 为增函数, 2 2 x +1 x +1 ? x +1? ? x3+1? x+1 x2+1 >log2011 3 ,即 A>B. 2 x +1 x +1

∴log2011


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