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2015-2016学年人教B版高中数学课件 选修2-2:第一章 导数及其应用 3.1《导数与函数的单调性》(1)


3.3.1 导数与函数的 单调性

本课时要求学生理解函数单调性与导数的关系,会求函数的单调 区间,而这种关系的基本思想是数形结合。由于学生刚刚接触导数 的应用,所以他们在利用导数研究函数的单调性、求单调区间的水 平上都还有一定的差距。 学生已有的基础是基本初等函数的图像和性质,之前又学习了导 数的概念、计算、几何意义等内容。所以,在知识储备方面,学生 已经

具备足够的认知基础,因此要充分利用这些基础,本节课的教 学思路是由“形”到“数”,再由“数”到“形”的数形结合思想 。综上,本节课的教学重点是:利用导数判断函数的单调性,会求 函数的单调区间;教学难点是:探索函数单调性与导数的关系.

问题1.函数单调性的定义是什么?
一般地,在给定区间上任取两个自变量 x1 , x 2 ,当 x1 ? x 2 时, 若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f(x)在这个区间上单调递增. 若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f (x)在这个区间上单调递减.

问题2.导数的定义与几何意义是什么.

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) f '( x)= lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
几何意义:函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f?(x0), 就是曲线y=f(x) 在点 P(x0, f(x0)) 处的切线的斜率.

如何确定函数 f ( x) ? 2x3 ? 3x2 ? 36x ? 16 在哪个区间上 单调递增,哪个区间上单调递减?

用定义法判断函数单调性的步骤: (1)在给定区间内任取x1<x2; (2)作差f(x1)-f(x2);

(3)变形;
(4)判断符号;

(5)下结论。

如何确定函数 f ( x) ? 2x3 ? 3x2 ? 36x ? 16 在哪个区间上 单调递增,哪个区间上单调递减?

用单调性定义讨论函数单调性虽然可行,但十分 麻烦,是否有更为简捷的方法呢?

问题1.函数单调性的定义是什么?
一般地,在给定区间上任取两个自变量 x1 , x 2 ,当 x1 ? x 2 时, 若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f(x)在这个区间上单调递增. 若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f (x)在这个区间上单调递减.

问题2.导数的定义与几何意义是什么.

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) f '( x)= lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
几何意义:函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f?(x0), 就是曲线y=f(x) 在点 P(x0, f(x0)) 处的切线的斜率.

如何确定函数 f ( x) ? 2x3 ? 3x2 ? 36x ? 16 在哪个区间上 单调递增,哪个区间上单调递减?

用单调性定义讨论函数单调性虽然可行,但十分 麻烦,是否有更为简捷的方法呢?

于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢?

下面我们就研究单调性与导数有什么关系?

(1)自主探究,大胆猜想
分析下列函数的单调性与其导数正负的关系并完成下表:
y

y=x
x

y

y=2x x

O

O

y 1 y=( )x 2 x O
O

y

y=

1 x x

(2)追踪成果,深入探究
观察函数 y ? x 2 ? 4x ? 3的图像,分析函数单调性与其
导数正负的关系

(3)深入思考,揭示本质
问题 1: 我们回到单调性定义, 以增函数为例, 观察 x1 ? x2 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的正负符号,如何用数学式子表示?
同号,可以用 ( f ( x1 ) ? f ( x2 ))(x1 ? x2 ) ? 0 表示.

问题2:还可以用其他方法表示吗? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2 问题3:结合上一章的变化率,观察这个式子和变化率有什 么联系呢?

?y ? 0 ,就是区间内任取两点的平均变化率大 平均变化率 ?x
于零,也就是割线斜率大于 0.

(3)深入思考,揭示本质
问题4:既然是“任取”,那么我们干脆把两个点无限靠近,
大家觉得可以得到什么. 瞬时变化率,就是某点切线的斜率,也就是区间内任意一点

处的导数都大于零.
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f '( x) ? 0 ? f ( x)为增函数 x1 ? x2

几何画板演示

1. 函数单调性与其导数正负的关系:

设函数f ( x )在定义域内的某个区间(a, b)上可导,
f '( x ) ? 0 ? f ( x )在(a, b)内单调递增


f '( x ) ? 0 ? f ( x )在(a, b)内单调递减

如果在某个区间内恒有 f '( x ) ? 0,则 f ( x ) 是什么函数? 函数 f ( x )为常函数.

ln x 例 1、证明:函数 f(x)= x 在区间(0,e)上单调递增.
[思路点拨] 利用函数单调性与导数间的关系进行判断. 1 x· -ln x 1-ln x x ln x 证明 ∵f(x)= ,∴f′(x)= = 2 . x x2 x

又 0<x<e,∴ln x<ln e=1. 1-ln x ∴f′(x)= x2 >0, 故 f(x)在区间(0,e)上是单调递增函数.

例 2、求函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3x 2 ? 36 x ? 16 的单调区间.
思路点拨:先求函数定义域 ? 求导 ? 令 f '( x ) ? 0 ,得函数增区间; 令 f '( x ) ? 0 ,得函数减区间 ? 写出结论

例 2、求函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3x 2 ? 36 x ? 16 的单调区间.
解:由导数公式表和求导法则可得

f '( x) ? 6x2 ? 6x ? 36 ? 6( x ? 2)( x ? 3)
当 x ? (??, ?2)或x ? (3, ??) 时, f '( x) ? 0 , 因此,在这两个区间上,函数是增加的; 当 x ? (?2, 3) 时, f '( x) ? 0 , 因此,在这个区间上,函数是减少的. 所以,函数 f ( x) ? 2x ? 3x ? 36x ? 16 的递增区间为 (??, ?2)和(3, ??) ,
3 2

递减区间为 (?2, 3)

练习:求下列函数的单调区间.

(1) f ( x) ? x ? ln x (2) f ( x) ? e x ? x ? 1

2.利用导数求函数单调区间的一般过程:
先求函数f(x)的定义域 求出导数 f ' (x) 判断 f ' (x)的正负 解不等式f ' (x)>0 得函数单调递增区间 解不等式f ' (x)<0 得函数单调递减区间

规范写出单调区间

函数单调性决定了函数图像的大致形状,如何根据
导数信息来画函数的简图呢?

例3、已知函数f (x)的导函数f ' (x)满足下列信息:

当x ? 2时,f '( x ) ? 0; 当2 ? x ? 3时,f '( x ) ? 0; 当x ? 3时,f '( x ) ? 0;当x ? 3或x ? 2时,f '( x ) ? 0.
试画出函数f (x)图像的大致形状.
y

O

x

变式练习1:已知函数f(x)的导函数 f ' ( x ) 的图像如下图
所示,那么函数f(x)的图像最有可能的是 ( A )

3 变式练习 2:函数 y ? f ( x) 在定义域 (? ,3) 内的图像如图所示. 2

记 y ? f ( x) 的导函数为 y ? f '( x) ,则 f '( x) ? 0 的解集为( A.[ ? ,1]∪[2,3) B.[-1, ]∪[ , ]
? ? ? ? ? ? D. ( ? ,-1]∪[ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

A



C.[ ? , ? ]∪[1,2) , ]∪[ ,3)
? ? ? ?

问题1:函数的单调性与其导函数正负有什么关系?
问题2:我们在探究函数单调性与导数的关系时, 用了哪些思想方法? 问题3:怎样利用导数求函数的单调区间,需要注意什么?

必做:求下列函数的单调区间 ( 1) f ( x) ? x ln x

1 ( 2) f ( x) ? x ? x

选做:求函数 f ( x) ? x 3 ? mx2 ? 1 的单调减区间. 思考:如果函数 f ( x)=ax3 ? x 在 R 上是增函数,则 a 的 取值范围是多少?


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