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江苏省兴化中学2013届高三文科数学9月月度检测


兴化中学 2012-2013 学年度秋学期九月份质量检测

高三文科数学参考答案
一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1.设集合 P ? {3, log 2 a} , Q ? {a, b} ,若 P ? Q ? {0} ,则 P ? Q ? {0,1,3} 2.复数 z ? (1 ? i )i ( i 是虚数单位)的共轭复数是 1 ? i ?

? 3 3 3.已知 ? ? (? , ) , sin ? ? ? ,则 tan(? ? ? ) ? 2 2 5 4 4.若 ?x ? (1,5) ,使不等式 x 2 ? mx ? 4 ? 0 成立,则 m 的取值范围是 m ?
29 5

5.在△ABC 中,A>B 是 a ? b 成立的 充分必要 条件(填“充分不必要”、“必要不充

分”、“充分必要”和“既不充分又不必要”之一) 6.已知曲线 y ? f (x) 在 x ? 2 处的切线方程为 y ? ? x ? 8 ,则 f (2) ? f ' (2) ? 5 7. E,F 分别是 Rt△ABC 的斜边 BC 上的两个三等分点,已知 AB=3,AC=6,则 AE ? AF ? 10 8.如图为一半径是 3m 的水轮, 水轮圆心 O 距离水面 2m,已 知水轮每分钟旋转 4 圈,水轮上的点 P 到水面的距离 y(m) 与时间 t(s)满足函数关系 y ? A sin(?t ? ? ) ? 2(? ? 0, A ? 0) ,则 ? ?
2? 15 7? 个 8

9. 要得到 y ? cos 2 x 的图象,只要将 y ? sin(2 x ? ) 的图象向右平移最少 4 单位长度 10.钝角三角形三边长分别为 2,3, x ,则 x 的取值范围是 (1, 5 ) ? ( 13 ,5) 11. (1 ? tan1?)(1 ? tan 2?)(1 ? tan 3?)??(1 ? tan 44?)(1 ? tan 45?) ? 2 23

?

? x 2 ? 4 x, x ? 0 ? 12.已知函数 f ( x) ? ? ,若 f (2 ? a 2 ) ? f (a) ,则实数 a 的取值范围是 (?2,1) 2 ?4 x ? x , x ? 0 ?
13.函数 f ( x) ? a sin(x ? ) ? 3 sin(x ? ) 是偶函数,则 a ? ? 1 6 3 14.长为 L 的铁棒欲水平通过宽分别为2.5米和1.28米的两个互

?

?

相垂直的走廊的拐角,铁棒能通过时 L 的最大值为

41 41 50

二、解答题(共 90 分) 15.已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 3 cos2 x ⑴求函数 f (x) 的单调增区间(7分) ⑵已知 f (? ) ? 3 ,且 ? ? (0, ? ) ,求 ? 的值(7分) 解:⑴ f ( x) ? 2 sin(2 x ?
?

?
6

)?2

由?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? 得

?
3

? k? ? x ?

?

? ? ? ? ? k? 所以 f (x) 的增区间是 ?? ? k? , ? k? ?, k ? Z 6 6 ? 3 ?

? 1 ? ? 5? ⑵由 f (? ) ? 3 得 sin(2? ? ) ? ,所以 2? ? ? ? 2k?或 ? 2k? , k ? Z 6 2 6 6 6
又 ? ? (0, ? ) ,所以 ? ?

?
3

16.在锐角△ABC中, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边,且 3a ? 2c sin A ⑴确定角 C 的大小 (7分) ⑵若 c ? 7 ,且△ABC的面积为
3 3 ,求 a ? b 的值 (7分) 2

解:⑴由正弦定理得, 3 sin A ? 2 sin C sin A ,sin C ?
( ⑵由余弦定理得, a ? b) 2 ? 3ab ? 7 , S ? 又

3 ,锐角三角形,C ? 60? 2

1 所以 a ? b ? 5 ab sin C 得 ab ? 6 , 2

17.已知向量 a ? (4,5 cos? ), b ? (3,?4 tan? ) ⑴若 a // b ,试求 sin ? (7分)

? ? ⑵若 a ? b ,且 ? ? (0, ) ,求 cos(2? ? ) 的值 (7分) 2 4
解:⑴由 a // b 得, 15 cos? ? 16 tan? ? 0 , sin ? ?
5 3 (舍)或 sin ? ? ? 3 5 3 ? 4 ,又 ? ? (0, ) , cos? ? 2 5 5

⑵由 a ? b 得, 12 ? 20 cos? ? tan? ? 0 , sin ? ?

sin 2? ?

24 7 ? 31 , cos(2? ? ) ? , cos 2? ? 2 25 25 4 50

18.已知函数 f ( x) ? lg

kx ? 1 (k ? 0) x ?1

⑴求函数 f (x) 的定义域 (8分) ⑵若函数 f (x) 在 (10,??) 上单调增函数,求 k 的取值范围 (8分) 解:⑴由
kx ? 1 1 ? 0 ,得 ( x ? )( x ? 1) ? 0 x ?1 k 1 1 当 0 ? k ? 1 时, x ? 1或x ? ;当 k ? 1 时, x ? 1 ;当 k ? 1 时, x ? 1或x ? k k 1 综上,当 0 ? k ? 1 时定义域为 (??,1) ? ( ,??) k 当 k ? 1 时定义域为 (??,1) ? (1,??) 1 当 k ? 1 时定义域为 (??, ) ? (1,??) k 10 k ? 1 1 ⑵ f (x) 在 (10,??) 上是增函数,所以 ? 0 ,k ? 10 10 ? 1 对任意 x1 , x 2 ,当 10 ? x1 ? x2 时,恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

得k ?1
1 ? k ?1 10 19.某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD,AB= 50 米,BC= 25 3 米,为了便于

综上,

居民平时休闲散步,该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE、EF 和OF,考虑到小区整体规划,要求O是AB的中点,点E在边BC上,点F在边AD 上,且OE⊥OF,如图所示. ⑴设 ?BOE ? ? ,试将△OEF的周长l表示成 ? 的函数关系式,并求出此函数的定 义域;(8分) ⑵经核算, 三条路每米铺设费用均为 400 元,试问如何设计才能使铺路的总费用 最低?并求出最低总费用.(8 分) 25 25 解:⑴在 Rt△BOE 中, OE ? ,在 Rt△AOF 中, OF ? cos? sin ? 25 ? 在 Rt△OEF 中, EF ? ,当点 F 在点 D 时,角 ? 最小, ? ? 6 sin ? cos? ? 25(sin ? ? cos? ? 1) ? ? 当点 E 在点 C 时, ? 最大, ? , 角 所以 l ? ? , 定义域为 [ , ] 3 6 3 sin ? cos?

3 ?1 ? ? ⑵设 t ? sin ? ? cos? , ? ? [ , ] ,所以 ?t ? 2 2 6 3 25(t ? 1) 50 l? 2 ? ? [50( 2 ? 1),50( 3 ? 1)] t ?1 t ?1 2 ? 所以当 ? ? 时, l min ? 50 ( 2 ? 1) ,总费用最低为 20000 ( 2 ? 1) 元 4 1? a 20.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? ?1 x ⑴当 a ? 0 时,讨论 f (x) 的单调性(8 分) 1 ⑵设 g ( x) ? x 2 ? 2bx ? 4 ,当 a ? 时(4 分+4 分) 4 ①若对任意 x1 ? (0,2) ,存在 x2 ? [1,2] ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 的取值范围

②若对任意 x1 , x2 ? (1,2] ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 解:⑴ f (x) 的定义域为 (0. ? ?)
f ' ( x) ? ? ax 2 ? x ? a ? 1 ? (ax ? a ? 1)( x ? 1) ? x2 x2

1 1 ? ,求 ? 的取值范围 x1 x2

当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 当a ?

x ?1 x2

f (x) 在 (0,1) 上是减函数,在 (1,??) 上是增函数 f (x) 在 (0,??) 上是减函数

( x ? 1) 2 1 ?0 时, f ' ( x) ? ? 2 2x 2

当0 ? a ? 减函数 当 减函数

1 1 1 时,函数 f (x) 在 (1, ? 1) 上是增函数,在 (0,1) 和 ( ? 1,??) 上是 a 2 a

1 1 1 ? a ? 1 时,函数 f (x) 在 ( ? 1,1) 上是增函数,在 (0, ? 1) 和 (1,??) 上是 a a 2

当 a ? 1时,函数 f (x) 在 (0,1) 上是增函数,在 (1,??) 上是减函数
1 时, f (x) 在 (0,1) 上是减函数, (1,2) 上增函数, 在 即存在 x ? [1,2] , 4 9 9 1 17 17 11 使 g ( x) ? ? ,即 2b ? x ? 2 , x ? 2 ? [ , ] ,故 b ? 8 2 x x 4 2

⑵①当 a ?

②不妨设 1 ? x1 ? x2 ? 2 ,原式等价于 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? ? (

1 1 ? ) x1 x 2

即 f ( x2 ) ? 故? ?
1 4

?
x2

? f ( x1 ) ?

?
x1

,记 h( x) ? f ( x) ?

?
x

, h' ( x) ? 0 在 (1,2] 上恒成立


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