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直线的方程


第1讲
【2013 年高考会这样考】

直线的方程

1.考查直线的有关概念,如直线的倾斜角、斜率、截距等;考查过两点的斜率 公式. 2.求不同条件下的直线方程(点斜式、两点式及一般式等). 3.直线常与圆锥曲线结合,属中高档题. 【复习指导】 1.本讲是解析几何的基础,复习时要掌握直线方程的几种形式及相互转化的关 系,会根据已知条件求直线方程. 2.在本讲的复习中,注意熟练地画出图形,抓住图形的特征量,利用该特征量 解决问题往往能达到事半功倍的效果.

基础梳理 1.直线的倾斜角 (1)定义:当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正方向与直线 l 向上方 向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角,当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定它 的倾斜角为 0° . (2)倾斜角的取值范围:[0,π). 2.直线的斜率 (1)定义:当 α≠90° 时,一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率,斜 率通常用小写字母 k 表示,即 k=tan_α,倾斜角是 90° 的直线,其斜率不存在. (2)经过两点的直线的斜率公式: y2-y1 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k= . x2-x1

3.直线方程的五种形式 名称 点斜式 方程 y-y1=k(x-x1) 适用范围 不含垂直于 x 轴的直 线 不含垂直于 x 轴的直 y=kx+b y-y1 x-x1 = (x ≠x ,y ≠y ) y2-y1 x2-x1 1 2 1 2 x y a+b=1(ab≠0) Ax+By+C=0(A, 不同时为零) B 线 不含垂直于坐标轴的 直线 不含垂直于坐标轴和 过原点的直线 平面直角坐标系内的 直线都适用

斜截式

两点式

截距式

一般式

4.过 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程 (1)若 x1=x2,且 y1≠y2 时,直线垂直于 x 轴,方程为 x=x1. (2)若 x1≠x2,且 y1=y2 时,直线垂直于 y 轴,方程为 y=y1. (3)若 x1≠x2,且 y1≠y2 时,方程为 5.线段的中点坐标公式 若点 P1、P2 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),线段 P1P2 的中点 M 的坐标为(x,y), y-y1 x-x1 = . y2-y1 x2-x1

?x=x1+x2, ? 2 则? y +y ?y= 1 2 2, ?
一条规律

此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式.

直线的倾斜角与斜率的关系: 斜率 k 是一个实数,当倾斜角 α≠90° 时,k=tan α.直线都有倾斜角,但并不是每 条直线都存在斜率,倾斜角为 90° 的直线无斜率. 两种方法 求直线方程的方法:

(1)直接法:根据已知条件,选择恰当形式的直线方程,直接求出方程中系数, 写出直线方程; (2)待定系数法:先根据已知条件设出直线方程.再根据已知条件构造关于待定 系数的方程(组)求系数,最后代入求出直线方程. 两个注意 (1)求直线方程时,若不能断定直线是否具有斜率时,应对斜率存在与不存在加 以讨论.(2)在用截距式时,应先判断截距是否为 0,若不确定,则需分类讨论. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)直线经过点(0,2)和点(3,0),则它的斜率为( 2 A.3 解析 k= 答案 C 2.直线 3x-y+a=0(a 为常数)的倾斜角为( A.30° B.60° C.150° ). 3 B.2 0-2 2 =-3. 3-0 2 C.-3 3 D.-2 ).

D.120°

解析 直线的斜率为:k=tan α= 3,又∵α∈[0,π)∴α=60° . 答案 B 3 3.(2011· 龙岩月考)已知直线 l 经过点 P(-2,5),且斜率为-4.则直线 l 的方程为 ( A.3x+4y-14=0 C.4x+3y-14=0 3 解析 由 y-5=-4(x+2),得 3x+4y-14=0. 答案 A 4.(2012· 烟台调研)过两点(0,3),(2,1)的直线方程为( A.x-y-3=0 C.x+y+3=0 解析 由两点式得: 答案 B ). B.3x-4y+14=0 D.4x-3y+14=0 ).

B.x+y-3=0 D.x-y+3=0 y-3 x-0 = ,即 x+y-3=0. 1-3 2-0

5.(2012· 长春模拟)若点 A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则 a 的值为________. 解析 ∵kAC= 5-3 a-3 =1,kAB= =a-3. 6-4 5-4

由于 A、B、C 三点共线,所以 a-3=1,即 a=4. 答案 4

考向一

直线的倾斜角与斜率

【例 1】?若直线 l:y=kx- 3与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,则直 线 l 的倾斜角的取值范围是( ?π π? A.?6,3? ? ? ?π π? B.?6,2? ? ? ?π π? C.?3,2? ? ? ). ?π π? D.?3,2? ? ?

[审题视点] 确定直线 l 过定点(0,- 3),结合图象求得. 解析 由题意,可作两直线的图象,如图所示,从图中可以看出,直线 l 的倾斜 ?π π? 角的取值范围为?6,2?. ? ? 答案 B 求直线的倾斜角与斜率常运用数形结合思想.当直线的倾斜角由锐角 变到直角及由直角变到钝角时,需根据正切函数 y=tan α 的单调性求 k 的范围, 数形结合是解析几何中的重要方法. 【训练 1】 (2012· 贵阳模拟)直线 l 经过点 A(1,2),在 x 轴上的截距的取值范围是 (-3,3),则其斜率的取值范围是( 1 A.-1<k<5 1 C.k>5或 k<1 ). 1 B.k>1 或 k<2 1 D.k>2或 k<-1

解析 设直线的斜率为 k,则直线方程为 y-2=k(x-1),直线在 x 轴上的截距为 2 2 1-k,令-3<1-k<3,解不等式可得.也可以利用数形结合. 答案 D 考向二 求直线的方程

【例 2】?求适合下列条件的直线方程: (1)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等;

1 (2)过点 A(-1,-3),斜率是直线 y=3x 的斜率的-4; (3)过点 A(1,-1)与已知直线 l1:2x+y-6=0 相交于 B 点且|AB|=5. [审题视点] 选择适当的直线方程形式,把所需要的条件求出即可. 解 (1)法一 设直线 l 在 x, 轴上的截距均为 a, a=0, l 过点(0,0)和(3,2), y 若 即

2 ∴l 的方程为 y=3x,即 2x-3y=0. x y 若 a≠0,则设 l 的方程为a+a=1, 3 2 ∵l 过点(3,2),∴a+a=1, ∴a=5,∴l 的方程为 x+y-5=0, 综上可知,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0. 法二 由题意,所求直线的斜率 k 存在且 k≠0, 设直线方程为 y-2=k(x-3), 2 令 y=0,得 x=3- k,令 x=0,得 y=2-3k, 2 2 由已知 3- k=2-3k,解得 k=-1 或 k=3, 2 ∴直线 l 的方程为 y-2=-(x-3)或 y-2=3(x-3), 即 x+y-5=0 或 2x-3y=0. (2)设所求直线的斜率为 k,依题意 1 3 k=-4×3=-4. 又直线经过点 A(-1,-3), 3 因此所求直线方程为 y+3=-4(x+1), 即 3x+4y+15=0. (3)过点 A(1,-1)与 y 轴平行的直线为 x=1. ?x=1, 解方程组? ?2x+y-6=0, 求得 B 点坐标为(1,4),此时|AB|=5, 即 x=1 为所求.

设过 A(1,-1)且与 y 轴不平行的直线为 y+1=k(x-1), ?2x+y-6=0, 解方程组? ?y+1=k?x-1?,

?x=k+7, ? k+2 得两直线交点为? 4k-2 ?y= k+2 . ?
(k≠-2,否则与已知直线平行). ?k+7 4k-2? , ?. 则 B 点坐标为? ?k+2 k+2 ? ?k+7 ?2 ?4k-2 ? -1? +? +1?2=52, 由已知? ?k+2 ? ? k+2 ? 3 3 解得 k=-4,∴y+1=-4(x-1), 即 3x+4y+1=0. 综上可知,所求直线的方程为 x=1 或 3x+4y+1=0. 在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式 的适用条件,用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与 坐标轴垂直的直线, 截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线,故在解题 时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先 考虑斜率不存在的情况. 1 【训练 2】 (1)求过点 A(1,3),斜率是直线 y=-4x 的斜率的3的直线方程. (2)求经过点 A(-5,2),且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上截距的 2 倍的直线方程. 解 (1)设所求直线的斜率为 k,依题意 1 4 k=-4×3=-3. 又直线经过点 A(1,3), 4 因此所求直线方程为 y-3=-3(x-1), 即 4x+3y-13=0. x y (2)当直线不过原点时,设所求直线方程为2a+a=1,

1 将(-5,2)代入所设方程,解得 a=-2, 此时,直线方程为 x+2y+1=0. 2 当直线过原点时,斜率 k=-5, 2 直线方程为 y=-5x,即 2x+5y=0, 综上可知,所求直线方程为 x+2y+1=0 或 2x+5y=0. 考向三 【例 3】?已知直线 直线方程的应用

l 过点 P(3,2),且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,如右图所示,求△ ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程. [审题视点] 设直线 l 的方程为截距式,利用基本不等式可求. x y 解 设 A(a,0),B(0,b),(a>0,b>0),则直线 l 的方程为a+b=1, 3 2 ∵l 过点 P(3,2),∴a+b=1. 3 2 ∴1=a+b≥2 6 ab,即 ab≥24.

1 3 2 ∴S△ABO=2ab≥12.当且仅当a=b,即 a=6,b=4. △ABO 的面积最小,最小值为 12. x y 此时直线 l 的方程为:6+4=1. 即 2x+3y-12=0. 求直线方程最常用的方法是待定系数法.若题中直线过定点,一般设 直线方程的点斜式,也可以设截距式.注意在利用基本不等式求最值时,斜率 k 的符号. 【训练 3】 在本例条件下,求 l 在两轴上的截距之和最小时直线 l 的方程. 解 设 l 的斜率为 k(k<0),则 l 的方程为 y=k(x-3)+2,令 x=0 得 B(0,2-3k),

2 ? ? 令 y=0 得 A?3-k,0?, ? ? ∴l 在两轴上的截距之和为 2 ? ? 2?? 2-3k+3-k =5+??-3k?+?-k??≥5+2 6, ? ? ?? 6 (当且仅当 k=- 3 时,等号成立), 6 ∴k=- 3 时,l 在两轴上截距之和最小, 此时 l 的方程为 6x+3y-3 6-6=0.

难点突破 18——直线的倾斜角和斜率的范围问题 从近两年新课标高考试题可以看出高考对直线的倾斜角和斜率的考查一般不单 独命题,常和导数、圆、椭圆等内容结合命题,难度中档偏上,考生往往对直线 的倾斜角和斜率之间的关系弄不清而出错. 【示例 1】? (2010· 辽宁)已知点 P 在曲线 y= 4 上,α 为 e +1
x

曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α 的取值范围是( π? ? A.?0,4? ? ? ?π 3π? C.?2, 4 ? ? ?

).

?π π? B.?4,2? ? ? ?3π ? D.? 4 ,π? ? ?

【示例 2】 (2011· ? 济南一模)直线 l 过点(-2,0), 与圆 x2+y2=2x 有两个交点时, l 则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( A.(-2 2,2 2) ? 2 2? C.?- , ? 4? ? 4 ). B.(- 2, 2) ? 1 1? D.?-8,8? ? ?


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