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2015年-高考试卷及答案解析-数学-理科-福建(精校版)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(福建理)
一. 选择题:本小题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.若集合 A ? i, i 2 , i 3 , i 4 ( i 是虚数单位) , B ? ?1, ?1? ,则 A I B 等于( ) A. ??1? B. ?1? C. ?1, ?1? D. ?

?

?

2.下列函数为奇函数的是( ) A. y ? x 3.若双曲线 E : 等于( ) A.11 B.9 C.5 D.3 B. y ? sin x C. y ? cos x D. y ? e x ? e? x

x2 y 2 右焦点分别为 F1 , F2 , 点 P 在双曲线 E 上, 且 PF1 ? 3 , 则 PF2 ? ? 1 的左、 9 16

4.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系,随机调查了该社区 5 户家庭,得到如下 统计数据表: 收入 x (万 元) 支出 y 6.2 (万元) 7.5 8.0 8.5 9.8 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9

? ? 0.76, a ? ,据此估计,该社区一 ? ?a ? ? y ? bx ? ? bx ? ,其中 b 根据上表可得回归直线方程 y
户收入为 15 万元家庭年支出为( ) A.11.4 万元 B. 11.8 万元 C. 12.0 万元 D. 12.2 万元

? x ? 2 y ? 0, ? 5.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最小值等于( ) ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?

A. ?

5 2

B. ?2

C. ?

3 2

D.2

6.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序, 则输出的结果为( ) A.2 C.0 B.1 D.-1

7.若 l , m 是两条不同的直线, m 垂直于平面 ? ,则“ l ? m ”是“ l / /? ”的( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

8.若 a , b 是函数 f ? x ? ? x2 ? px ? q ? p ? 0, q ? 0? 的两个不同的零点,且 a, b, ?2 这三个数可适当 排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则则 p ? q 的值等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9

uuu r uuu r uuu r AB 4 AC uu u r uuu r uu u r 1 uuu r 9.已知 AB ? AC, AB ? , AC ? t ,若点 P 是 ?ABC 所在平面内一点,且 AP ? uuu r ? uuu r , t AB AC
uur uuu r 则 PB ? PC 的最大值等于( )

A.13

B.15

C.19

D.21

10.若定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? 0 ? ? ?1 ,其导函数 f ? ? x ? 满足 f ? ? x ? ? k ? 1 ,则下列结 论中一定错误的是( )
?1? 1 A. f ? ? ? ?k? k 1 ?1? B. f ? ? ? ? k ? k ?1 1 ? 1 ? C. f ? ?? ? k ?1? k ?1 k ? 1 ? D. f ? ?? ? k ?1 ? k ?1

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。把答案填在答题卡的相应位置。 11. ? x ? 2? 的展开式中, x2 的系数等于_____.(用数字作答)
5

12.若锐角 ?ABC 的面积为 10 3 ,且 AB ? 5, AC ? 8 ,则 BC 等于_____. 13.如图,点 A 的坐标为 ?1,0 ? ,点 C 的坐标为 ? 2,4 ? ,函数 f ? x ? ? x 2 , 若在矩形 ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 _____.
?? x ? 6, x ? 2, 14.若函数 f ? x ? ? ? ( a ? 0 且 a ? 1 )的值域是 ? 4, ?? ? ,则 ?3 ? log a x, x ? 2,

实数 a 的取值范围是_____. 15.一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 x1x2 L xn n ? N * ,其中 xk ? k ? 1,2,L , n ? 称为第 k 位 码元,二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由 0 变为 1,或者由 1 变为 0)

?

?

已知某种二元码 x1 x2 ? x7

? x4 ? x5 ? x6 ? x7 ? 0, ? 的码元满足如下校验方程组: ? x2 ? x3 ? x6 ? x7 ? 0, ? x ? x ? x ? x ? 0, 3 5 7 ? 1

其中运算 ? 定义为: 0 ? 0 ? 0,0 ? 1 ? 1,1 ? 0 ? 1,1 ? 1 ? 0 其中运算 ? 定义为:0 ? 0=0,0 ? 1=1,1 ? 0=1,1 ? 1=0 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误后变成了 1101101,那么利 用上述校验方程组可判定 k 等于_____.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分 13 分) 某银行规定,一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误,该银行卡将被锁定,小王到银 行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否 则继续尝试,直至该银行卡被锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X,求 X 的分布列和数学期望.

17.(本小题满分 13 分) 如图,在几何体 ABCDE 中,四边形 ABCD 是矩形, AB 丄平面 BEG , BE ? EC ,

AB ? BE ? EC ? 2, G, F 分别是线段 BE, DC 的中点.
(1)求证: GF //平面 ADE (2)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值.

18. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 E :
2 x2 y 2 ,且离心率为 e ? . ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 (0, 2) 2 a 2 b2

(1)求椭圆 E 的方程;
9 (2)设直线 l : x ? my ? 1? m ? R ? 交椭圆 E 于 A, B 两点, 判断点 G(- ,0)与以线段 AB 为直径的 4

圆的位置关系,并说明理由.

19.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) 的图像是由函数 g ( x) ? cos x 的图像经如下变换得到:先将 g ( x) 图像上所有点 的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) ,再将所得到的图像向右平移 (1)求函数 f ( x) 的解析式,并求其图像的对称轴方程; (2)已知关于 x 的方程 f ( x) ? g( x) ? m 在 ?0,2? ? 内有两个不同的解 ? , ? ①求实数 m 的取值范围; ②证明: cos ?? ? ? ? ?

? 个单位长度. 2

2m2 ?1 5

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) , g ? x ? ? kx ? x ? R ? (1)证明:当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ; (2)证明:当 k ? 1 时,存在 x0 ? 0 ,使得对任意的 x ? ? 0, t ? 恒有 f ( x) ? g ( x); (3)确定 k 的所以可能取值,使得存在 t ? 0 ,对任意的 x ? ? 0, t ? ,恒有 | f ( x) ? g ( x) |? x2 .

21.本题设有三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答.满分 14 分,如果多做,则按所做 的前两题计分,作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上吧所选题目对应题号右边的方框涂黑,并 将所选题号填入括号中。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换
1? ?2 1? ?1 已知矩阵 A ? ? ?, B ? ? ? ? 4 3? ? 0 ? 1?

(1)求 A 的逆矩阵 A?1 ; (2)求矩阵 C ,使得 AC ? B .

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? x ? 1 ? 3cos t 在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程为 ? ( t 为参数)在极坐标系 ? y ? ?2 ? 3sin t

(与平面直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为

?? ? 极轴)中,直线 l 的方程为 2 ? sin ? ? ? ? ? m ? m ? R ? 4? ?
①求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程; ②设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,求 m 的值.

(3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? b ? c 的最小值为 4. (1)求 a ? b ? c 的值;
1 1 (2)求 a2 ? b2 ? c2 的最小值为. 4 9

2015 年普通高等学校招生全国统一考试答案(福建理)
1.答案:C 解析:因为 A ? ?i, ?1, ?i,1? , B ? ?1, ?1? , 所以 A I B ? ?1, ?1? ,故选 C. 2.答案:D 解析: y ? x 的定义域为 [0, ?? ) ,所以函数 y ? x 为非奇非偶函数; y ? sin x y ? cos x ; 与

y ? f ? x ? ? ex ? e? x , x ? R f ? ? x ? ? ? f ? x ? , y ? e x ? e? x
,故选 D. 3.答案:B 解析: PF1 ? 3 ? a ? c ? 8 , P PF2 ? PF1 ? 2a ? 6 , PF2 ? 9 故选 B. 4.答案:B

5.答案:A 试题分析:画出可行域,如图所示,目标函数变形为 y ? 2 x ? z ,当 z 最小时,直线

1 y ? 2 x ? z 的纵截距最大, 故将直线 y ? 2 x 经过可行域, 尽可能向上移到过点 B ( ?1, ) 时, 2

z 取到最小值,最小值为
z ? 2 ? (?1) ?
6.答案:C 试题分析:程序在执行过程中 S , i 的值依次为: S ? 0, i ? 1 ; S ? 0, i ? 2 ;

1 5 ? ? ,故选 A. 2 2

S ? ?1, i ? 3 ; S ? ?1, i ? 4 ; S ? 0, i ? 5 ; S ? 0, i ? 6 ,程序结束,输出

S ? 0 ,故选 C.
7.答案:B

8.答案:D 试题分析:由韦达定理得 a ? b ? p , a ? b ? q ,则 a ? 0, b ? 0 ,当 a, b, ?2 适当排序后成等

4 .当适当排序后成等差数列时,?2 必 a 4 4 不是等差中项,当 a 是等差中项时,2a ? ? 2 ,解得 a ? 1 ,b ? 4 ;当 是等差中项时, a a 8 ? a ? 2 ,解得 a ? 4 , b ? 1 ,综上所述, a ? b ? p ? 5 ,所以 p ? q ? 9 ,选 D. a
比数列时,?2 必为等比中项,故 a ? b ? q ? 4 ,b ? 9.答案:A

10.答案:C

11.答案:80 试题分析: ? x ? 2 ? 12.答案:7 试题分析: 由已知得 ?ABC 的面积为
5

2 3 2 的展开式中 x 2 项为 C5 2 x ? 80 ,所以 x 2 的系数等于 80 .

1 3 AB ? AC sin A ? 20sin A ? 10 3 , 所以 sin A ? , 2 2

A ? (0, ) , 所 以 A ? . 由 余 弦 定 理 得 BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos A ? 49 , 2 3

?

?

BC ? 7 .
13.答案:
5 12

试题分析:由已知得阴影部分面积为 4 ?

?

2

1

x 2 dx ? 4 ?

7 5 ? .所以此点取自阴影部分的概 3 3

5 5 率等于 3 ? . 4 12
14.答案: (1,2]

15.答案:5

16.解析: (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A ,

5 4 3 1 则 P( A) ? ? ? = 6 5 4 2

(2)依题意得, X 所有可能的取值是 1,2,3
1 5 1 1 5 4 2 又 P( X =1) ? , P( X =2) ? ? ? , P( X =3) ? ? ?1= . 6 6 5 6 6 5 3

所以 X 的分布列为

1 1 2 5 所以 E( X ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 6 6 3 2

17.解析:(1)如图,取 AB 中点 M ,连接 MG, MF , 由 G 是 BE 的中点,可知 GM // AE , ∵ AE ? 平面 ADE , GM ? 平面 ADE , ∴ GM //平面 ADE . 在矩形 ABCD 中,由 M , F 分别是 AB, CD 的中点得 MF // AD . 又 AD ? 平面 ADE , MF ? 平面 ADE . ∴ MF //平面 ADE . 又∵ GM I MF ? M , GM ? 平面 GMF ,平面 MFC //平面 GMF . ∴平面 GMF //平面 ADE , ∵ GF ? 平面 GMF , ∴ GF //平面 ADE (2)如图,在平面 BEG 内,过点 B 作 BQ // EC ,因为 BE 丄

CE ,∴ BQ 丄 BE
又∵ AB 丄平面 BEC ,∴ AB ? BE, AB ? BQ

uu u r uuu r uur 以 B 为原点,分别以 BE, BQ, BA 的方向为 x 轴, y 轴, z 轴
的正方向 建立空间直角坐标系,则 A? 0,0,2? , B ? 0,0,0? , E ? 2,0,0? , F ? 2,2,1?

uuu r ∵ AB 丄平面 BEC ,∴ BA=(0,0,2) 为平面 BEC 的法向量, uu u r uur r 设 n ? (x, y,z) 为平面 AEF 的法向量.又 AE ? (2,0,-2), AF=(2,2,-1)
r uuu r ? r ? n ? AE ? 0, ? 2 x ? 2 z ? 0, 由 ? r uur 得? 取 z ? 2 得 n=(2,-1,2) . ? ? n ? AF ? 0, ?2 x ? 2 y ? z ? 0,

r uuu r r uuu r n ? BA 4 2 从而 cos? n, BA? = r uuu r ? ? , 3 ? 2 3 | n || BA |

∴平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为 18.解析:(1)由已知得

2 . 3

? b? 2 ? a?2 ? ? 2 ? c 解得 ?b ? 2 ? ? ? ? 2a 2 2 2 ?c ? 2 ?a ? b ? c ?
所以椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 2

(2)设点 A( x1 y1 ),B( x2 , y2 ), AB 中点为 H( x0 , y0 ) .
? x ? my ? 1 ? 由 ? x2 y 2 得 (m2 ? 2) y2 ? 2my ? 3 ? 0, ? ? 1 ? ?4 2

∴ y1 + y2 =

2m 3 2 从而 y0 ? 2 . , y1y2 = 2 , 2 m ?2 m ?2 m ?2

9 5 5 25 ∴ GH|2 ? ( x0 ? )2 ? y02 ? (my0 ? )2 ? y02 ? (m2 +1) y02 + my0 + . 4 4 2 16

|AB|2 ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 (m2 +1)( y1 ? y2 )2 ? ? 4 4 4 2 2 (m +1)[( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ] ? ? (m2 +1)(y02 ? y1 y2 ) , 4 |AB|2 5 25 5m 2 3(m 2 +1) 25 17 m2 ? 2 ? my0 ? (m 2 +1) y1 y 2 ? ? ? ? ? ?0 故 |GH|2 ? 2 4 2 16 2(m ? 2) m 2 ? 2 16 16(m 2 ? 2)
所以 |GH|>
|AB| 9 ,故 G(- ,0)在以 AB 为直径的圆外. 2 4

19.解析: (1)将 g ( x) ? cos x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)得到 y ? 2cos x 的图像,再将 y ? 2cos x 的图像向右平移

? ? 个单位长度后得到 y ? 2cos( x ? ) 的图像,故 2 2 ? f ( x) ? 2sin x .从而函数 f ( x) ? 2sin x 图像的对称轴方程为 x ? k? ? ? k ? Z ? . 2

(2)① f ( x) ? g( x) ? 2sin x ? cos x ? 5(

2 1 sin x ? cos x) 5 5 1 2 ) ? 5sin( x ? ? ) (其中 sin ? ? ,cos? ? 5 5 m m 依题意, sin( x ? ? )= 在区间 ?0,2? ? 内有两个不同的解 ? , ? 当且仅当 | |? 1 ,故 m 的 5 5
取值范围是 (? 5, 5) .

②∵ ? , ? 是方程 5sin( x ? ? )=m 在 ?0,2? ? 内的两个不同的解, ∴ sin(? ? ? )=

m m , sin(? ? ? )= . 5 5 ?? ? 当 1 ? m ? 5 时, ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ,即 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ; ?2 ?
? 3? ? ? ? ? ,即 ? ? ? ? 3? ? 2 ? ? ? ? ? , 当 ? 5 ? m ? 1 时, ? ? ? ? 2 ? ? 2 ?

∴ cos(? ? ? ) ? ? cos 2( ? ? ? ) ? 2sin 2 ( ? ? ? ) ? 1 ? 2( 20.解析:

m 2 2m 2 ) ?1 ? ? 1. 5 5

(1)令 F ( x) ? f ( x) ? x ? ln(1 ? x) ? x, x ?[0, ??), 则有 F ?( x) ?

1 x ?1 ? ? 1+x 1+x

当 x ? ? 0, ?? ? 时, F ? x ? ? 0 ,所以 F ( x) 在 ? 0, ?? ? 上单调递减, 故当 x ? 0 时, F ( x) ? F (0) ? 0, 即当 x ? 0 时, f (x)? x . (2)令 G( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln(1 ? x) ? kx, x ?[0, ??), 则有 G?( x) ?
1 ?kx ? (1 ? k) ?k ? 1+x 1+x

当 k ? 0 时, G ? x ? ? 0 ,故 G( x) 在 [0, ??) 上单调递增, G( x) ? G(0) ? 0 故对任意正实数 x0 均满足题意. 当 0 ? k ? 1 时,令 G?( x) ? 0 则得 x=

1? k 1 ? ?1 ? 0 k k

1 取 x0 = ? 1 ,对任意 x ? (0, x0 ) 恒有 G?( x) ? 0 所以 G( x) 在 [0, x 0 ) 上单调递增, G( x) ? G(0) ? 0 ,即 k
f ( x) ? g ( x) .

综上,当 k ? 1 时,总存在 x0 ? 0 ,使得对任意的 x ? (0,x0 ) 恒有 f ( x) ? g ( x) .

(3)当 k ? 1 时,由(1)知,对于 ?x ? (0, +?), g ( x) ? x ? f ( x), 故 g ( x) ? f ( x)
| f ( x) ? g ( x) |? g ( x) ? f ( x) ? k x ? ln(1 ? x) ,

令 M( x) ? k x ? ln(1 ? x) ? x2 , x ?[0,+?) ,则有 M?( x) ? k ?

1 -2x2 +(k-2)x ? k ? 1 ? 2 x= , 1? x 1? x

k ? 2 ? (k ? 2)2 ? 8(k ? 1) k ? 2 ? (k ? 2)2 ? 8(k ? 1) 故当 x ? (0, ) 时, M?( x) ? 0 , M( x) 在 [0, ) 上单 4 4

调递增,故 M( x) ? M(0) ? 0 ,即 | f ( x) ? g ( x) |? x2 ,所以满足题意的 t 不存在. 当 k ? 1 时,由(2)知存在 x0 ? 0 ,使得对任意的 x ? (0,x0 ) 恒有 f ( x) ? g ( x) . 此时 | f ( x) ? g ( x) |? f ( x) ? g ( x) ? ln(1 ? x) ? k x , 令 N( x) ? ln(1 ? x) ? k x ? x2 , x ?[0,+?) ,则有 M?( x) ?
1 -2x2 -(k+2)x ? k ? 1 ? k ? 2 x= , 1? x 1? x

?(k +2) ? (k +2) 2 ? 8(1 ? k) ?(k ? 2) ? (k ? 2)2 ? 8(1 ? k) N?( x) ? 0 , M( x) 在 [0, 故当 x ? (0, ) 时, ) 4 4 ?(k ? 2) ? (k ? 2) 2 ? 8(1 ? k) 中较 4

上单调递增,故 N( x) ? N (0) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) ? x2 ,记 x0 与

小的为 x1 ,则当 x ? (0,x1 ) ,恒有 | f ( x) ? g ( x) |? x2 ,故满足题意的 t 不存在. 当 k =1 ,由(1)知,当 x ? (0, +?), | f ( x) ? g ( x) |? g ( x) ? f ( x) ? x ? ln(1 ? x) , 令 H( x) ? x ? ln(1 ? x) ? x2 , x ?[0,+?) ,则有 H?( x) ? 1 ?
1 -2x2 ? x ? 2 x= , 1? x 1? x

+?) 当 x ? 0 时, H?( x) ? 0 ,所以 H( x) 在 [0, 上单调递减,故 H( x) ? H (0) ? 0 ,

故当 x ? 0 时,恒有 | f ( x) ? g ( x) |? x2 ,此时,任意实数 t 满足题意. 综上 k =1 . 21.解析:选修 4-2:矩阵与变换 因为 |A|=2 ? 3-1? 4=2
? 3 ? 2 所以 A?1 ? ? ? ?4 ? ? 2 ?1 ? 1? ? 3 ? ? 2 ? ? ?? 2 2 2 ? ? ? ?2 1 ? ? ? ? ? 2 ?

(2)由 AC ? B 得 ( A?1 A)C ? A?1B ,

1? ?3 ?3 ? ? ?? 1 1 ? ? 2? = 故 C ? A?1B= ? 2 2 ? 2 ? ? ? ?2 1 ? ? ? 0 ?1? ? ? ?2 ?3 ? ? ? ? ? ?
选修 4-4:坐标系与参数方程 (1)消去参数 t ,得到圆的普通方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 2? ? 9 ,
2 2

由 2? sin(? ? ) ? m ,得 ? sin ? ? ? cos? ? m ? 0 , 4 所以直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? m ? 0 . (2)依题意,圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,即
|1 ? ? ?2 ? ? m | 2 ?2

?

m=-3 ? 2 2
,解得

选修 4-5:不等式选讲 (1)因为 f (x) ?| x ? a | ? | x ? b | ?c ?| (x ? a) ? (x ? b) | ?c ?| a ? b | ?c 当且仅当 ? a ? x ? b 时,等号成立 又 a ? 0, b ? 0 ,所以 | a ? b |? a ? b ,所以 f (x) 的最小值为 a ? b ? c , 所以 a ? b ? c ? 4 (2)由(1)知 a ? b ? c ? 4 ,由柯西不等式得
b 2 ?1 2 1 2 2? ?a ? ? a ? b ? c ? ? 4 ? 9 ? 1? ? ? ? 2+ ? 3+c ? 1? ? ? a ? b ? c ? ? 16 , 9 3 ?4 ? ?2 ?
2

1 1 8 即 a 2 ? b2 ? c 2 ? . 4 9 7
1 1 b a 8 18 2 c 2 ? 3 ? ,即 a ? , b ? , c ? 时,等号成立 当且仅当 2 3 1 7 7 7

1 1 8 所以 a2 ? b2 ? c2 的最小值为 . 4 9 7


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