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数学(文)卷·2011届江西省南昌市高三第二次模拟测试(2011.04)


2010—2011学年度南昌市高三第二次模拟测试卷 数 学(文) 第I卷
考生注意: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条 形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.第I卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号.第II

卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案 无效. 3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回. 参考公式: 样本数据 x1 , x 2 , ? , x n 的标准差
1 ? ( x1 ? x ) 2 ? ( x 2 ? x ) 2 ? ? ? ( x n ? x ) 2 ? ? n ?

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.第I卷1至2页,第II卷3至4页,共150分.

锥体体积公式公式
1 3

s ?

V ?

Sh

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式
V ? Sh

其中 S 为底面积, h 为高 球的表面积,体积公式
2 S ? 4 πR ,V ?

4 3

πR

3

其中 S 为底面积, h 为高 其中 R 表示球的半径 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1.设全集 U ? {1, 2, 3, 4, 5} ,集合 A ? {1, 3, 5} ,集合 B ? {3, 4} ,则 ( C U A ) ? B ? A. ? 4 ? B. {3, 4} C. {2, 3, 4} D. {3}

2.若复数 (1 ? i )( a ? i ) 是实数 ( i是虚数单位 ) ,则实数 a 的值为 A. ? 2 B. ? 1 C. 1 D. 2

3. m ? ? 1 是直线 mx ? ( 2 m ? 1) y ? 1 ? 0 和直线 3 x ? my ? 3 ? 0 垂直的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.一个几何体的三视图如右图所示,这个几何体的体积是 A.
25 3

?

B.
?

34 3

?
16 3

C. 3 ?

16 3

D. 1 2 ?

?

5.定义行列式运算:

a1 a3

a2 a4

? a 1 a 4 ? a 2 a 3 , 将函数 f ( x ) ?

3 1

co s x sin x

的图象向左平移 m 个单位

( m ? 0) ,若所得图象对应的函数为偶函数,则 m 的最小值是

A.

?
8

B.

?
3

C. ?
6

5

D.

2? 3

6.在等差数列 ? a n ? 中,首项 a 1 ? 0 公差 d ? 0 ,若 a k ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 7 ,则 k ? A.21 B.22 C.23 D.24
0 ( 其 中 f ?( x ) 是 函 数 f ( x ) 的 导 数 ) 又 ,

7 . 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 满 足 ( x ? 2 )f ? (x ?)
1 0 .1 a ? f (lo g 1 3), b ? f [( ) ], c ? f (ln 3), 则 3 2

A. a ? b ? c

B. b ? c ? a

C. c ? a ? b
x a
2 2

D. c ? b ? a
=1 (a>0,b>0)的右焦点,且两曲线的交点连

8.已知抛物线 y 2 =2px(p>1)的焦点F恰为双曲线 线过点F,则双曲线的离心率为 A. 2 B. 2 +1 C.2



y b

2 2

D.2+ 2

9.正四棱锥 S ? A B C D 的底面边长为 4 2 ,高 SE ? 8 ,则过 点 A , B , C , D , F 的球的半径为 A.3 10.已知函数 f ( x ) ? ? B.4
? 2 x ? 1( x ? 0 ) ? f ( x ? 1) ? 1( x ? 0 )

C.5

D.6

,把函数 g ( x ) ? f ( x ) ? x 的零点按从小到大的顺序排列成一个

数列,则该数列的通项公式为 A. a
n

?

n ( n ? 1) 2

(n ? N )
*
*

B. a n ? n ? 1( n ? N )
*

C. a n ? n ( n ? 1)( n ? N )

D. a n ? 2 ? 2 ( n ? N )
n *

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 11.已知向量 a , b 满足 | a |? | b |? 1, | a ? b |? 1 ,则 | a ? b |? _________. 12.在程序框图(见右图)中输入 a ?
11? 6
? ? ? ? ? ? ? ?

、b ?

5? 3



则输出 c

?

___.

13.不等式 2 x ? 1 ? x 的解集是___________

? 2 x ? y ? 5, ? 14.某所学校计划招聘男教师 x 名,女教师 y 名, x 和 y 须满足约束条件 ? x ? y ? 2 , ? x ? 5. ?

则该校招聘的教师最多是 名. 15.设M1(0,0),M2(1,0),以M1为圆心,| M1 M2 | 为半径作圆交x轴于点M3 (不同于M2),记作⊙M1;以 M2为圆心,| M2 M3 | 为半径作圆交x轴于点M4 (不同于M3),记作 ⊙M2;……;以Mn为圆心,| Mn Mn+1 | 为半径作圆交x轴于点Mn+2 (不同于Mn+1),记作⊙Mn;…… 当n∈N*时,过原点作倾斜角为30° 的直线与⊙Mn交于An,Bn. 考察下列论断: 当n=1时,| A1B1 |=2;Ks*5u 当n=2时,| A2B2 |= 15 ; 当n=3时,| A3B3 |=
3 5 ? 4 + 2 -1 3
2 3



当n=4时,| A4B4 |=

3 5 ? 4 - 2 -1 3

3

4



. 三.解答题:本大题共6小题,共75分。其中(16)~(19)每小题12分,(20)题13分,(21)题14分.解答应写出 文字说明,正明过程和演算步骤 16. 已知 a ? (cos x ? sin x , sin x ), b ? (cos x ? sin x , 2 cos x ) ,设 f ( x ) ? a ? b . (1)求函数 f ( x ) 的单调增区间; (2)三角形 A B C 的三个角 A , B , C 所对边分别是 a , b , c ,且满足
A?

…… 由以上论断推测一个一般的结论: 对于n∈N*,| AnBn |=

?
3

, f

? B ? ? 1,

3a ?

2 b ? 1 0 ,求边 c .

17.某校一课题小组对南昌市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查,抽调了50人,他们月收入频数分别 表急对“楼市限购令”赞成人数如下表。 月收入 (单位:百元) 频数 赞成人数
[15, 25) [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) [65, 75)

5 4

10 8

15 12

10 5

5 3

5 1

(1)完成下图的月收入频率分布直方图(注意填写纵坐标)及2×2列联表;

月收入不 低于55百 元人数 赞成 不赞成 合计
a ?
b ?

月收入低 于55百元 人数
c ?
d ?

合计

(2)若从收入(单位:百元)在 [15, 25) 的被调查者中随机选取两人进行追踪调查,求选中的2人恰好有1 人不赞成“楼市限购令”的概率.

18.如图:多面体 A B C A1 B1C 1 中,三角形 A B C 是边长为4的正三角形, A A1 // B B1 // C C 1 , A A1 ? 平面
A B C , A A1 ? B B1 ? 2 C C 1 ? 4 .

(1)若 O 是 A B 的中点,求证: O C 1 ? A1 B1 ;
C1 C

(2)在线段 A B1 上是否存在一点D,使得
B1 B

C D // 平面 A1 B1C 1 ,若存在确定点 D 的位置;
O

若不存在,说明理由.
A1 A

19.已知函数 f ( x ) ? ?
?

? ? x 3 ? x 2 ? b x ? c ( x ? 1) a ln x ( x ? 1)

的图象过点 ( ? 1, 2 ) ,且在 x ?

2 3

处取得极值.

(1) 求实数 b , c 的值; (2) 求 f ( x ) 在 [ ? 1, e ] ( e 为自然对数的底数)上的最大值.

20 . 已 知 椭 圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

?1

?a

? b ? 0? 的 左 右 焦 点 分 别 是

F1 ? ? c , 0 ? , F 2 ? c , 0 ? , 直 线 l : x ? m y ? c与 椭 圆 C 交 于 两 点 M , N 且 当
3 3

m ? ?

时,M是椭圆 C 的上顶点,且△ M F1 F 2 的周长为6.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 的左顶点为A,直线 A M , A N 与直线: x ? 4 分别相交于点 P , Q ,问当 m 变化时,以线段 P Q 为直径的圆 被 x 轴截得的弦长是否为定值?若是,求出这个定值,若不是, 说明理由.

21.将正数数列 ? a n ? 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成数表,如图所示。记表中各行的第一 个数 a1 , a 2 , a 4 , a 7 , ? 构成数列为 ? b n ? ,各行的最后一个数 a1 , a 3 , a 6 , a1 0 , ? 构成数列为 ? c n ? ,第 n 行所有 数的和为 s n ? n ? 1, 2, 3, 4, ? ? 。已知数列 ? b n ? 是公差为 d 的等差数列,从第二行起,每一行中的数按照从 左到右的顺序每一个数与它前面一个数的比是常数 q ,且 a1 ? a1 3 ? 1, a 3 1 ? (1)求数列 ? c n ? , ? s n ? 的通项公式。 (2)求数列 { c n } 的前 n 项和 T n 的表达式.
a2 a4 a7 a8 a5 a9 a1 a3 a6 a1 0
5 3

.

????????

2010—2011学年度南昌市高三第二次模拟测试卷

数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共5分) 题号 答案 1 A 2 C 3 A D 4 5 D 6 B 7 D 8 B 9 C 10 B

二、填空题(本大题共5题,每小题5分,共25分) 11. 3

12.

3 3

13. ( ,1)
3

1

14.10 15.

35 ? 4

n ?1

+ ( ? 1) 3

n ?1

? 2 -1
n

三、解答题: (本大题共6小题,共75分) 16. (1)? f ( x ) ? a ? b = (cos x ? sin x ) ? (cos x ? sin x ) ? sin x ? 2 cos x
2 2 2 2

= cos 2 x ? sin 2 x ? 2 sin x cos x = cos 2 x ? sin 2 x = 2 (
?
4 c os 2 x ? c os

cos 2 x ?

sin 2 x )

= 2 (sin

?
4

sin 2 x ) =

2 sin( 2 x ?

?
4

)

………………………………3分
3? 8 ? k? ? x ?

由 f ? x ? 递增得: ?

?
2

? 2k? ? 2 x ? 3? 8 ? k? ,

?
4

?

?
2

? 2k? 即 ?

?
8

? k? , k ? Z

∴ f ( x ) 的递增区间是 [ ?

?
8

? k ? ], k ? Z

。 ……………………6分

(2)由 f ? B ? ? 1 ? sin ? 2 B ?
?

?

? ?

? 2 及 0 ? B ? ? 得 B ? , ……………………8分 ?? 4 4 ? 2
?
3 ? 2 k sin



a sin A

?

b sin B

?

c sin C

? k ,则 3 k sin

?
4

? 10 ?

5 2

k ? 10 ? k ? 4 ……10分 6 ? 2 。………12分

所以 c ? k sin C ? 4 sin ( A ? B ) ? 4 (sin

?

co s

?

? co s

?

sin

?
4

)?

3 4 3 0.1, 0.2, 0.3, 0.2, 0.1, 0.1 , 17.解: (1)各组的频率分别是

所以图中各组的纵坐标分别是: 0.01, 0.02, 0.03, 0.02, 0.01, 0.01 ,

月收入不低于55百 月收入低于55百元 元人数 人数 赞成 不赞成 合计
a?3 b ?7 c ? 29 d ? 11

合计 32 18 50

10

40

(2)设收入(单位:百元)在 [15, 25) 的被调查者中赞成的分别是 A1 , A2 , A3 , A4 ,不赞成的是 B ,从中选 出两人的所有结果有:
( A1 A2 ), ( A1 A3 ), ( A1 A4 ), ( A1 B ), ( A 2 A3 ), ( A 2 A 4 ), ( A 2 B ), ( A3 A 4 ), ( A3 B ), ( A 4 B ), …………8分

其中选中 B 的有: ( A1 B ), ( A2 B ), ( A3 B ), ( A4 B ). …………………………………………10分 所以选中的2人恰好有1人不赞成“楼市限购令”的概率是 P ?
4 10 ? 2 5

。…………12分

18.解: (1)设线段 A1 B1 的中点为 E ,由 A A1 ? 平面 A B C 得: A A1 ? A B , 又 B B1 // A A1 ,所以 A A1 B1 B 是正方形,点 O 是线段 A B 的中点, 所以 O E // A A1 ,所以 O E ? A1 B1 ,……………………………………………………2分 由 A A1 ? 平面 A B C 得: A A1 ? A C ,…………………………………………………3分 又 B B1 // A A1 // C C 1 ,所以 B B1 ? B C , C C 1 ? A C , C C 1 ? B C ,且 A C ? 4, A A1 ? 4, C C 1 ? 2 , 所以: A1C 1 ? B1 C 1 ,所以 C 1 E ? A1 B1 ,………………………………………………5分 所以: A1 B1 ? 平面 O C 1 E ,所以 O C 1 ? A1 B1 ;………………………………………6分

(2)设 O E ? A B 1 ? D ,则点 D 是 A B1 的中点,所以 E D // A A1 , E D ?

1 2

A A1 ,……8分

从而: E D // C C 1 , E D ? C C 1 ,所以四边形 C C 1 E D 是平行四边形,…………………10分 所以: C D // C 1 E ,所以: C D // 平面 A1 B1C 1 即存在点D使得 C D // 平面 A1 B1C 1 ,点D是 A B1 的中点。……………………………12分 19.解: (1)当 x ? 1 时, f '( x ) ? ? 3 x 2 ? 2 x ? b , ……………………………………1分
? f ? ? 1? ? 2 ?2 ? b ? c ? 2 ? ? 由题意得: ? ? 2 ? ,即 ? , 4 4 ??3 ? ? ? b ? 0 ? f '? ? ? 0 9 3 ? ? ?3?

…………………………………3分

解得: b ? c ? 0 。
? ? x 3 ? x 2 ( x ? 1) (2)由(1)知: f ( x ) ? ? ( x ? 1) ? a ln x

…………………………………5分

①当 ? 1 ? x ? 1 时, f '( x ) ? ? x (3 x ? 2 ) ,
2 2 解 f ' ( x ) ? 0 得 0 ? x ? ;解 f ' ( x ) ? 0 得 ? 1 ? x ? 0 或 ? x ? 1 3
2

3 2 0 ∴ f ( x ) 在 ( ? 1,) 和 ( ,1) 上单减,在 (0, ) 上单增, 3 3 2 由 f '( x ) ? ? x (3 x ? 2 ) ? 0 得: x ? 0 或 x ? ,………………………………………6分 3 2 4 , f (0 ) ? 0, f (1) ? 0 , ∵ f ( ? 1) ? 2, f ( ) ? 3 27

∴ f ( x ) 在 [ ? 1,1) 上的最大值为 2 . ……………………………………………………8分 ②当 1 ? x ? e 时, f ( x ) ? a ln x , 当 a ? 0 时, f ( x ) ? 0 ;当 a ? 0 时, f ( x ) 在 [1, e ] 单调递增; ∴ f ( x ) 在 [1, e ] 上的最大值为 a 。 ……………………………………………………10分

∴当 a ? 2 时, f ( x ) 在 [ ? 1, e ] 上的最大值为 a ; ……………………………………11分 当 a ? 2 时, f ( x ) 在 [ ? 1, e ] 上的最大值为 2 . ……………………………………12分
?2a ? 2c ? 6 ? 20.解: (1)当 m ? ? 时,直线的倾斜角为 1 2 0 ? ,所以: ? c …………3分 3 ? ? cos 60? ?a
3

解得: a ? 2, c ? 1 ? b ?

3 , …………………………………………………………5分

所以椭圆方程是:

x

2

?

y

2

? 1 ;…………………………………………………………6分

4

3
M , N 点的坐标(5) 分 别 是

(1) 当 m ? 0 时, (2) 直线 l 的方程为: x ? 1 , (3) 此时, (4)

3? ? 3? ? (6) 又 A 点坐标(7) 是 ? ? 2, 0 ? , (8) 由图可以得到 P , Q 两点坐标(9) ? 1, ? , ? 1, ? ? , 2? ? 2? ?

分 别 是

? 4 , ?3 ?

, ? 4? , (10) 以 P Q 为直径的圆过右焦点, , 3 (11) 被 x 轴截得的弦长为6, (12)

猜测当 m 变

化时, (13) 以 P Q 为直径的圆恒过焦点 F2 , (14)

被 x 轴 截 得 的 弦 长 为 定 值 6 ,( 15 )

………………………………………………………………8分 证明如下: 设点 M , N 点的坐标分别是 ? x1 , y1 ? , ? x 2 , y 2 ? ,则直线 A M 的方程是:
? ?
y y1 ? x?2 x1 ? 2



所以点 P 的坐标是 ? 4,

? 6 y1 ? 6 y2 ? ? ,同理,点 Q 的坐标是 ? 4, ? ,…………………9分 x1 ? 2 ? ? x2 ? 2 ?

2 ? x2 y ? ?1 ? 2 2 2 2 由方程组 ? 4 得到: 3 ? m y ? 1 ? ? 4 y ? 1 2 ? ? 3 m ? 4 ? y ? 6 m y ? 9 ? 0 , 3 ?x ? my ? 1 ?

所以: y1 ? y 2 ?

?6m 3m ? 4
2

, y1 y 2 ?

?9 3m ? 4
2

,……………………………………………11分
?9? 3 6 y1 y 2

???? ???? ? ? F2 P ? F2 Q ? ? 4 ? 1 ? ? 4 ? 1 ? ? 从而:

3 6 y1 y 2

? x1 ? 2 ? ? x 2

? 2?

? m y1 ? 3 ? ? m y 2
=0,

? 3?

?9?

3 6 y1 y 2 m y1 y 2 ? 3 m ? y1 ? y 2 ? ? 9
2

?9?

?9 ? 36 ?9m ? 18m ? 27 m ? 36
2 2 2

所以:以 P Q 为直径的圆一定过右焦点 F2 ,被 x 轴截得的弦长为定值6.……………13分 21解: (1) b n ? d n ? d ? 1 ,前 n 行共有 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 因为 1 3 ?
4?5
2 ? 3 ,所以 a1 3 ? b5 ? q ,即 ? 4 d ? 1 ? q ? 1

n ? n ? 1? 2

个数,

2

又因为 3 1 ?

2 7?8 2

? 3 ,所以 a 3 1 ? b8 ? q ,即 ? 7 d ? 1 ? q ?
2
2

5 3



解得: d ? 2, q ?

1 3

,……………………………………………………………………4分

? 所以: b n ? 2 n ? 1 , c n ? b n ?

1? ? ?3?

n ?1

?

2n ? 1 3
n ?1



? 2 n ? 1? ? 1 ?
Sn ? ? 1? 1 3

?

1 ? n ? 3 ?

?

3 2

? 2 n ? 1? ?

3 ?1
n

3

n

。……………………………………………7分

(2) T n ?

1

?

3

?

5
2

?? ?

2n ? 1
n ?1

,………①

………………………………………8分 ………………………………………9分

1 3 3 3 1 1 3 5 2n ? 1 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? ……………② n 3 3 3 3 3

①②两式相减得:
1
2
n 2n ? 1 2n ? 2 1 1 ? 2n ? 1 ?1 ? 1? 2? 3 3 ? ? 2? T n ? 1 ? 2 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? ? ………13分 n n n 1 3 3 3 3 3 ?3 3 ? 1? 3

?

1

所以: T n ? 3 ?

n ?1 3
n ?1

.……………………………………………………………………14分


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