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复数的概念教案






复数的概念 班 1 课时 知识与技能 时 级 间 高一(2)班 2008.12.05

授课老师 课 时

教 学 目 标

通过理解数系的扩充过程,掌握复数的基本概念,并能理 解复数的几何意义。 通过观察数系的每一次扩充,体会为什么要引入复数,并 通过学习复数的几何意义,领悟数形结合的数学思想。利用复 数的定义解决负数开方的问题。 1、激发学生的创新意识。2、积极参与数学学习活动,增 强对数学有好奇心和求知欲。

过程与方法

情感态度与 价值观 教学重点 教学难点 教学方法 教学准备

复数的定义和复数的几何意义。 复数的引入,理解复数引入的必要性以及复数与复平面和向量的一一对应关系。 探究启发式 直尺,制作课件 教 学 过 程 设 计 师生活动 活动 1: 给出 4 个方程求解的问题。 以下 4 个方程在对应的数系中是否有解? x+1=0 设计意图 本次活动, 旨在提 供学生参与活动的空 间,调动学生的主观 能动作用,激发学生 的好奇心与求知欲。 为本节课的学习作好 准备.

N

知识导入

2x ? 1 x2 ? 2
x ?1 ? 0
2

Z Q R

老师给出 4 个方程求解的问题,引导学生回顾数系的一 步一步扩充的过程,为引入复数做铺垫。.

数学的发展是伴 老师带领大家一起学习数学史的相关知识,回顾在数学 的发展史上, 复数的的发现以及发展历程, 让同学们从历史 历史回顾 的角度认识到复数学习的重要性和必要性。 随着社会的需要和数 学本身发展的需要 的。同学们在学习数 学史的过程中,可以 帮助他们理清数学学 习的思路和某些数学 问题的历史重要性。

教 学 过 程 设 计 师生活动 活动 3: (1)引入虚数单位 i ,并规定 i ? ?1
2

设计意图 学生通过看书, 预 先了解复数的概念, 并在老师的引导下进

复数的概念:形如 z ? a ? bi 这样的数称为复数,其中

a 称为复数的实部, b 称为复数的虚部,且 a, b 都为实数。 一步认识复数的基本 并引入复数集,用大写字母 C 表示。 形式。 C ? {z / z ? a ? bi, a, b ? R}
通过对复数中实 (2)根据复数的基本形式,对复数进一步分类。 当 b ? 0 时, a ? bi 就是实数, 当 b ? 0 时,a ? bi 是虚数,其中 a ? 0 且 b ? 0 时称为 辨析定义 纯虚数。 (3)复数相等的概念 如果两个复数 a ? bi 与 c ? di 相等,则等价于 a ? c 且 对复数定义的更 深一步理解。 通过例题的讲 解,了解学生的知识 掌握程度。可以让学 生先自己解答,老师 再做讲解。 部与虚部取值范围的 讨论,让同学们理解 复数与实数的关系。

b?d.
并在此强调,复数一般不能比较大小。 思考: a ? bi ? 0(a, b ? R) 的充要条件是什么? (4)典型例题选讲: 1.已知 (2 x ? 1) ? i ? y ? (3 ? y)i ,其中 x, y ? R ,求 x, y . 2.已知 x ? y ? 6 ? ( x ? y ? 2)i ? 0 ,求实数 x, y 的值.
2 2

复数的几何意义。 (1)复数与复平面的一一对应 复数 z ? a ? bi 与直角坐标系中的点 Z (a, b) 一一对应。 通过复数与复平 面的一一对应和向量 的一一对应,理解数 类比研究 形结合的思想,并把 现在学习的新知识与 以往学习的知识联系 在一起。

建立了平面直角坐标系来表示复数的平面, 简称复平面, 其中 x 轴称为实轴, y 轴称为虚轴(虚轴不包括原点) 。

教 学 过 程 设 计 师生活动 (2)复数与平面向量的一一对应 在平面直角坐标系中,每一个平面向量都可以用一个有 序实数对来表示,而有序实数对与复数一一对应,这样,我 们可以用平面向量来表示复数。 设计意图

?? ? oz 复数 z ? a ? bi 与平面向量 一一对应

解决实际问题。 体 会数形结合的思想。

表示复数的点所 在象限的问题。 (几何问题) 类比研究 (3)典型例题选讲 已知复数 z ? (m ? m ? 6) ? (m ? m ? 2)i 在复平面内
2 2

所对应的点位于第二象限,求实数 m 的取值范围。 分析:第二象限横坐标小于 0 ,纵坐标大于 0 ,则
2 ? ?m ? m ? 6 ? 0 ? 2 ? ?m ? m ? 2 ? 0

复数的实部与虚 部所满足的不等式组 的问题。 (代数问题) 把新学习的知识 与之前学习的知识进

共轭复数概念: 一步融合,让学生在 一般地,如果两个复数实部相等,而虚部互为相反数, 发现中学习,并理解 则称这两个复数互为共轭复数。 知识点之间的关系, 复数 z 的共轭复数记作 z ,即 z ? a ? bi(a, b ? R) ,则 有利于对新知识的理 解和旧知识的巩固。 在解决具体问题时所 发现的新的数学思想
2
2 2

z ? a ? bi .
典型例题精讲: 已知 z ? 2 x ? ( x ? 1) i ,且 2 x ? ( x ? 1) i ? y ? (2 x ? y)i

方法,可以帮助同学 们在今后的学习中多 角度的思考问题,解 答问题,有利于学生 思维的拓展。

( x, y ? R) ,求这个复数的共轭复数。

教 学 过 程 设 计 师生活动 1. 下列命题是真命题的是(
2

设计意图 )

A. ?i 是方程 x ? ?1 的一个根 B.

3i 是无理数
2

C.复数 3 ? (2a ? 2)i(a ? R) 为虚数 D. i log 3 不是纯虚数 课堂反馈 2. 1?{z z ? m ? 1 ? (2m ? n ? 3)i, m, n ? R} , 则 n =( 3. 1 ? x ? i ? 1 ? 2 yi( x, y ? R) ,求 x, y 的值。 4.若不等式 m ? (m ? 3m)i ? (m ? 4m ? 3)i ? 10 成立, 求
2 2 2



m 的值。
我们之前在学习是实数时,都会涉及到数的运算问题, 课后反思 那么对于复数, 我们是不是也可以定义相关的运算呢?可以 的话,怎么定义呢? 1、通过数系的扩充过程引入复数。通过对数学史知识的了 解知道了复数的重要性和学习复数的必要性。 2、在理解复数的有关概念时应注意:( 1)明确什么是复 课堂总结 数的实部与虚部;(2)弄清实数、虚数、纯虚数分别对实 部与虚部的要求; (3)弄清复平面与复数的几何意义;(4) 两个复数不全是实数就不能比较大小 3、 通过本节课的学习,你有哪些收获?你还有什么疑惑吗? 1. P 47 作业布置
#1,4,6

思考题给学生留 有继续学习的空间和 兴趣。

教师组织学生回 顾本节课学习的内 容。 谈谈自己的收获, 不拘形式,有多少说 多少,鼓励学生大胆 质疑.

2. 当 m 为何值时,z ?

2m2 ? 3m ? 2 ? (m2 ? 3m ? 10)i 2 m ? 25

是(1)实数; (2)纯虚数; (3)虚数 1. 要注意知识的连续性: 复数 a ? bi(a, b ? R) 是二维 数,其几何意义是一个点 (a, b) ,因而注意与平面解析几何 的联系.2.注意数形结合的数形思想:由于复数集与复平 教学反思 面上的点的集合建立了一一对应关系,所以用“形”来解决 “数”就成为可能,在本节要注意复数的几何意义的讲解, 培养学生数形结合的数学思想.


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