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第九讲 “设而不求”的未知数


设而不求"的未知数 第九讲 "设而不求 的未知数 设而不求
让我们先看一道简单的数学题.

三角形的 面积.

解 设这个三角形的斜边长度为 c,因为斜边上的中线长是 1,所以斜边长 c=2.再设两 条直角边的长度是 a,b,面积是 S,那么

a2+b2+2ab=6. ④ 把②,③代入④式得

4+4S=6,

在这个题目中,只要求出未知数 S 的值,而我们却设了三个未知数:a,b,S, 并且在解题过程中,我们也根本没求 a,b 的值.但是由于增设了 a,b 后,给我们 利用等量关系列方程及方程组求 S 的值,带来了很大的便利,像这种未知数(如 a, b)就是本讲所要介绍的"设而不求"的未知数. 所谓"设而不求"的未知数,又叫辅助元素,它是我们为解决问题增设的一些 参数,它能起到沟通数量关系,架起连接已知量和未知量的桥梁作用.

例2若

求 x+y+z 的值. 分析 已知条件是以连比的形式出现时,往往引进一个比例参数来表示这个连 比.

解 令

则有

x=k(a-b), y=k(b-c), z=k(c-a), 所以

x+y+z=k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)=0, 所以 x+y+Z=0. 说明 本例中所设的 k,就是"设而不求"的未知数. 例 3 已知 p,q,r 都是 5 的倍数,r>q>p,且 r=p+10,试求

解 不妨设 p=5k1,q=5k2,r=5k3,由题意可知,k1,k2,k3 都是整数.因为 r >q>p,所以 k3>k2>k1.又因为

r=p+10, 所以 5k3=5k1+10,

k3=k1+2, ① 所以 k1+2>k2>k1, 所以 k2=k1+1. ② 将①,②代入所求的代数式得

说明 本题中 k1,k2,k3 均是"设而不求"的未知数.

a>1,并且设 分子:n-13=ak1,①

分母:5n+6=ak2.②

其中 k1,k2 为自然数. 由①得 n=13+ak1,将之代入②得 5(13+ak1)+6=ak2, 即 71+5ak1=ak2,

所以

a(k2-5k1)=71.

由于 71 是质数,且 a>1,所以 a=71,所以 n=k171+13. 故 n 最小为 84. 乙, 丙, 丁四人, 每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为 29, 例 5 甲, 23,21 和 17,这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少? 解 设四个人的年龄分别记为 a,b,c,d,根据题意有

由上述四式可知

比较⑤,⑥,⑦,⑧知,d 最大,c 最小,所以⑤-⑧得

所以 d-c=18,即这四个人中最大年龄与最小年龄的差为 18.

说明 此题不必求出 a,b,c,d 的值,只须比较一下,找出最大者与最小者是 谁,作差即可求解.

例 6 设有 n 个数 x1,x2,…,xn,它们的值只能是 0,1,2 三个数中的一个, 如果记

试用 f1 和 f2 表示

解 设在 x1,x2,…,xn 这几个数中取值为 0 的有 s 个,取值为 1 的有 t 个,取 值为 2 的有 r 个,则 s+t+r=n,0≤t≤n,0≤s≤n,0≤r≤n,由此得

f1=t+2r,f2=t+4r. 所以

=(2k-1)f2-(2k-1-2)f1. 说明 本题借助于 s,t,r 找到了 fk 与 f1,f2 的关系表达式.

整除.根据一个数能被 9 整除的特征有 6+2+α+β+4+2+7=9m(m 为自然数), 即 α+β+3=9m1(m1 为自然数).

又由于

0≤α≤9,0≤β≤9,则有

3≤α+β+3≤21, 从而有

α+β=6 或α+β=15. ①

同理,按照一个数被 11 整除的特征有 α-β=-2 或α-β=9. ②

①与②相结合,并考虑 0≤α≤9,0≤β≤9,故只有α=2,β=4. 所以原自然数为 6 224 427. 例 8 我手中的卡片上写有一个三位数,并且个位数不为零,现将个位与百位数 字对调,取两数的差(大数减小数),将所得差的三位数与此差的个位,百位数字对 调后的三位数相加,最后的和是多少?

=a×100+b×10+c-(c×100+b×10+a)

=99×a-99×c

=100×a-100×c-100+90+10-a+c

=100(a-c-1)+9×10+(10-a+c). 因 k 是三位数,所以

2≤a-c≤8, 1≤a-c-1≤7.

所以

2≤10-a+c≤8.

差对调后为

k'=(10-a+c)×100+9×10+(a-c-1), 所以

k+k'=100(a-c-1)+9×10+(10-a+c)

+(10-a+c)×100+9×10+(a-c-1)

=1089. 故 所求为 1089. 说明 本例中 a,b,c 作为参数被引进,但运算最终又被消去了,而无须求出它 们的值.这正是"设而不求"的未知数的典型例子.

在列方程解应用题中,更是经常用到增设参数的方法,下面再举几个例题.

例 9 从两个重量分别为 12 千克(kg)和 8 千克,且含铜的百分数不同的合金上 切下重量相等的两块,把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起,熔炼后两个 合金含铜的百分数相等.求所切下的合金的重量是多少千克?

因此只有增设这两个合金含 分析 由于已知条件中涉及到合金中含铜的百分数, 铜的百分数为参数或与合金含铜的百分数有关的其他量为参数, 才能充分利用已知, 为列方程创造条件 .

解法 1 设所切下的合金的重量为 x 千克,重 12 千克的合金的含铜百分数为 p, 重 8 千克的合金的含铜百分数为 q(p≠q),于是有

整理得

5(q-p)x=24(q-p).

因为 p≠q,所以 q-p≠0,因此 x=4.8,即所切下的合金重 4.8 千克. 从重 8 千克的合 解法 2 设从重 12 千克的合金上切下的 x 千克中含铜 m 千克, 金上切下的 x 千克中含铜 n 千克(m≠n),则这两个合金含

整理得 5x(n-m)=24(n-m). 因为 m≠n,所以 n-m≠0,因此 x=4.8,即所切下的合金重 4.8 千克. 一般情况下可以把参数消去, 转化成只含有待求未 说明 在解含参数的方程时, 知数的一般方程,也就是说应用题的解答与参数的数值无关.

例 10 某队伍长 1998 米(m),在行进中排尾的一个战士因事赶到排头,然后立 即返回,当这个战士回到排尾时,全队已前进 1998 米,如果队伍和这个战士行进 的速度都不改变,求这个战士走过的路程.

解法 1 设这个战士走过的路程为 s 米,所需要的时间为 t 小时(h),

消去参数 t 得

解之得

解法 2 设这个战士的行进速度为 V1 米/小时,队伍行进的速度为

因此

所以这个战士所走距离为

说明 在同一个问题中,由于考虑问题的角度不同,所以增设的参数也会有所不 同(如上例中的两种解法).

练习九

字),又 N 是 4 的倍数,且 N 被 11 除余 5,那么 x+y 等于多少?

4.五个人要完成某项工作,如果甲,乙,丙三人同时工作需 6 小时;

时;乙,丙,戊同时工作,需用 5 小时,问五个人同时工作需用多少小时完成? 5.公共汽车每隔 x 分钟(min)发车一次,小红在大街上行走,发

辆 公共汽车,如果公共汽车与小红行进的速度都是匀速的,则 x 为多少?

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