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空间点线面的位置关系答案


复习回顾: 1.一个与球心距离为 1 的平面截球体所得的圆面面积为 π ,则球的表面积为( A.8π B.4π C. 32π 3 D. 4 2 π 3

)

答案:A [解析] 如图,设截面的半径为 r,则 π r2=π ,r=1,又已知球心与截面的距离 d =1,则球的半径 R= r2+d2= 2,球的表面积 V=4π R2=8π .<

br />
图 K40-6 2. 如图 K40-6, 半径为 2 的半球内有一内接正三棱锥 P-ABC, 则此正三棱锥的侧面积是( ) A.3 5 B.5 13 C.3 15 D.4 15 答案:C [解答] 设球心为 O,连接 PO、AO、BO. 因为 P-ABC 是正三棱锥,所以 PO⊥底面 ABC,且 PO=AO=2,所以 PA=2 2.作 PD⊥AB 于 D, 则 D 为 AB 的中点.连接 OD. 3.圆锥的底面半径为 3,轴截面为正三角形,则其内切球的表面积为________.

(4 题答案图) 答案:4π [解析] 如图,球心为 O,圆锥底面圆心为 O1,OO1 为球半径,AO1 为圆锥底面圆半 3 AO1=1,所以球的表面积为 4π . 3

径,∠O1AO=30°,OO1=

4.正方体的内切球和外接球的半径之比为( D ). A. 3 :1 B. 3 : 2 C. 2 : 3 D. 3 : 3 2 5.设正方体的全面积为 24cm ,一个球内切于该正方体,那么这个球的体积是( D A.
6? cm3

).

32 B. ? cm3 3

8 C. ? cm3 3

4 D. ? cm3 3

6.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3、4、5,且它的 8 个顶点都在同一球面上,则这个 球的表面积是( B ). A. 25? B. 50? C. 125? D. 都不对

二、空间点线面的位置关系
知识要点: 1、公理 (1)公理 1:对直线 a 和平面α ,若点 A、B∈a , A、B∈α ,则
1

作用:判断直线是否在平面内 (2)公理 2:若两个平面α 、β 有一个公共点 P,则α 、β 有且只有一条过点 P 的公共 直线 a. 作用:判定两个平面是否相交的依据. (3)公理 3: 不共线的三点可确定一个平面 推论:① 一条直线和其外一点可确定一个平面 ②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面.作用:确定一个平面的依据(三推论一样) (4)公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行作用:作用:判断空间两条直线平行的依据 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等. 2、空间两条不重合的直线有三种位置关系:相交、平行、异面 异面直线 ①定义:不同在任何一个平面内的两条直线。特点:既不平行也不相交。 ②异面直线直线的判定定理: 过平面外一点和平面内一点的直线与 平面内不经过该点的直线 ? ( 是异面直线 3、异面直线所成角:做平行,使两直线相交所成的锐角或直角;即 ? ? 0, ] 2 方法:通过平移(平移一条,或两条都平移) ,转化为相交直线所成的角。 四、例题讲解: 1.已知 a,b 是异面直线,直线 c∥直线 a,则 c 与 b( C) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 2.下列命题中正确的是( D ) A.三点确定一个平面 B.两条直线确定一个平面 C.两两相交的三条直线一定在同一平面内 D.过同一点的三条直线不一定在同一平面内 3.若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上” 的( A ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 4.对于空间三条直线,有下列四个条件:①三条直线两两相交且不过同一个点;②三条直线 两两平行; ③三条直线相交于一点; ④有两条直线平行, 第三条直线与这两条直线都相交. 其 中,使三条直线共面的充分条件有( B ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5.已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 AA1 的中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成的 角的余弦值为( C ) 10 1 3 10 3 A. B. C. D. 10 5 10 5 6.若 A 表示点,a 表示直线,α ,β 表示平面,则下列表述中,错误的是( B ) A.a? α ,A∈a? A∈α B.a?α ,A∈a? A?α C.A∈α ,A∈β ,α ∩β =a? A∈a D.A∈a,A?α ? a?α 7.如图 K13-3-1,ABCD-A1B1C1D1 是长方体,O 是 B1D1 的中点,直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M, 则下列结论错误的是( D ) A.A,M,O 三点共线 B.A,M,O,A1 四点共面 C.A,O,C,M 四点共面 D.B,B1,O,M 四点共面 图 K13-3-1
2

8.四面体 S-ABC 中,各个侧面都是边长为 a 的正三角形,E,F 分别是 SC 和 AB 的中点,则 异面直线 EF 与 SA 所成的角等于( ) A.90° B.60° C.45° D.30 答案:C [解析] 取 SB 的中点 G,连接 GE,GF,则 GE=GF= , 2 ∠EFG 为异面直线 EF 与 SA 所成的角,EF= 2 a,在△EFG 中, 2

a

∠EFG=45° 图 K38-1 9.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 为棱 AB 的中点, M 则异面直线 DM 与 D1B 所成角的余弦值为( ) 15 15 15 15 A. B. C. D. 6 5 3 10 B [解析]取 CD 的中点 N,连接 BN,D1N,则 BN∥DM,∠D1BN 就是直线 DM 与 D1B 所成角,设 5 正方体棱长为 1 ,在△ D1BN 中, BD1 = 3, BN = D1N = ,由余弦定理得 cos∠ D1BN = 2 ? 5? ? 5? ? 3? 2+? ?2-? ?2 15 ?2? ?2 ? = 5 5 2× 3× 2 10.正方体的表面展开图如图 J13-3-1,A,B,C 为其上的三个顶点,则在正方体中,∠ABC 的大小为____60°____. 图 J13-3-1 图 K13-3-2

11.如图 K13-3-2 是正方体的平面展开图,在这个正方体中,

①BM 与 ED 平行;②CN 与 BE 是异面直线;③CN 与 BM 成 60°角;④DM 与 BN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是___3 4_____. 12.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为 __________. . 2 3 解析:设边长为 2,取 A1B1 的中点 M,连接 EM,AM,AE,则∠AEM 就是异面直线 AE 与 BC

22+32-5 2 所成的角.在△AEM 中,cos∠AEM= = 2×2×3 3 13.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AB=2,AD=1,点 E,F,G 分别是 DD1,AB,CC1 的中点.求 异面直线 A1E,GF 所成角的大小. 解:连接 B1G,由对称性,知 A1E 綊 B1G,则∠B1GF 就是异面直线 A1E,GF 所成角. 在 Rt△B1C1G 中,B1G= B1C2+C1G2= 2. 1 2 在 Rt△FCG 中,GF= CF +GC2= 3.
3

在 Rt△B1BF 中,B1F= FB2+B1B2= 5. 在△B1FG 中,B1G2+GF2=5=B1F2,∴∠B1GF=90° 14.如图 K13-3-3,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB,AA1 的中点. 求证:(1)E,C,D1,F 四点共面; (2)CE,D1F,DA 三线共点.

证明:(1)如图 D62,连接 CD1,EF、A1B, ∵E,F 分别是 AB,AA1 的中点, 1 ∴EF∥A1B 且 EF= A1B. 2 又∵A1D1 BC, ∴四边形 A1BCD1 是平行四边形. ∴A1B∥CD1.∴EF∥CD1. ∴EF 与 CD1 确定一个平面 α . ∴E,F,C,D1∈α ,即 E,C,D1,F 四点共面. 15.如图 K13-3-4 是一个正方体的表面展开图的示意图,MN 和 PQ 是两条面的对角线,请 在正方体中将 MN 和 PQ 画出来,并就这个正方体解答下列问题. (1)求 MN 和 PQ 所成角的大小; (2)求四面体 M-NPQ 的体积与正方体的体积之比.

图D 15.解:(1)如图 D63,MN 与 PQ 是异面直线,

在正方体中,PQ∥NC, 则∠MNC 为 MN 与 PQ 所成角. 因为 MN=NC=MC,所以∠MNC=60°. 所以 MN 与 PQ 所成角的大小为 60°. (2)设正方体棱长为 a,则正方体的体积 V=a3. 而三棱锥 M-NPQ 的体积与三棱锥 N-PQM 的体积相等,且 NP⊥平面 MPQ, 1 1 1 所以 VN-PQM= · MP·MQ·NP= a3. 3 2 6 所以四面体 M-NPQ 的体积与正方体的体积之比为 1∶6

空间点、线、面位置关系练习
一、选择题
4

1.已知 α 、β 是两个不同的平面,直线 a?α ,直线 b?β ,命题 p:a 与 b 没有公共点, 命题 q:α ∥β ,则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 ) D.既不充分也不必要条件

B.必要不充分条件 C.充要条件

【解析】 当 a,b 都平行于 α 与 β 的交线时,a 与 b 无公共点, 但 α 与 β 相交,当 α ∥β 时,a 与 b 一定无公共点,∴q?p,但 p?/ q. 【答案】 B

2.已知△ABC 的两个顶点 A,B∈平面 α ,下面四个点:①△ABC 的内心;②△ABC 的外心③ △ABC 的垂心;④△ABC 的重心。其中因其在 α 内而可判定 C 在 α 内的是( A.②③ B.②④ C.①③ D.①④ )

【解析】 ①△ABC 内心 O1 在 α 内, 由内心定义 CO1 与 AB 交点 D(与 A、B 不重合).∵AB?α ,∴D∈α ,∴CO1?α ;∴C∈α ; ②△ABC 的外心 O2 可以在直线 AB 上(如 Rt△ABC 中,角 C 为直角时), 故由 AB?α ,O2∈α ,不能确定 C 在 α 内; ③△ABC 的垂心 O3,可以是线段 AB 的一个端点,如 Rt△ABC,∠A 为直角, 垂心 O3 为 A 点,不能得出 C∈α ; ④△ABC 的重心 O4,设 AB 中点为 E,则由 O4E?α ,C∈O4E,∴C∈α .∴①④符合题意.D 3.(2008 年辽宁)在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AA1、CC1 的中点,则在空间中与 三条直线 A1D1、EF、CD 都相交的直线( A.不存在 B.有且只有两条 ) C.有且只有三条 D.有无数条

【解析】 先说明“对于空间内任意三条两两异面的直线 a、b、c,与直线 a、b、c 都相交 的直线有无数条”这个结论的正确性.无论两两异面的三条直线 a、b、c 的相对位置如何, 总可以构造一个平行六面体 ABCD—A1B1C1D1,使直线 AB、B1C1、DD1 分别作为直线 a、b、c,在 棱 DD1 的延长线上任取一点 M,由点 M 与直线 a 确定一个平面 α ,平面 α 与直线 B1C1 交于点

P,与直线 A1D1 交于点 Q,则 PQ 在平面 α 内,直线 PM 不与 a 平行,设直线 PM 与 a 交于点 N.
这样的直线 MN 就同时与直线 a、b、c 相交.由于点 M 的取法有无穷多种,因此在空间同时与 直线 a、b、c 相交的直线有无数条.依题意,不难得知题中的直线 A1D1、EF、CD 是两两异面 的三条直线,由以上结论可知,在空间与直线 A1D1、EF、CD 都相交的直线有无数条,选 D. 4. 如图是正方体或四面体, 、 、 、 分别是所在棱的中点, P Q R S 这四个点不共面的一个图是( )

5

【解析】 在 A 图中分别连接 PS、QR, 易证 PS∥QR,∴P、S、R、Q 共面; 在 C 图中分别连接 PQ、RS, 易证 PQ∥RS,∴P、Q、R、S 共面. 如图,在 B 图中过 P、Q、R、S 可作一正六边形,故四点共面,D 图中 PS 与 RQ 为异面直线, ∴四点不共面,故选 D. 5.正四面体 PABC 中,M 为棱 AB 的中点,则 PA 与 CM 所成角的余弦值为( A. 3 2 B. 3 4 C. 3 6 D. 3 3 )

【解析】 如图,取 PB 中点 N, 连接 CM、CN、MN. ∠CMN 为 PA 与 CM 所成的角(或所成角的补角), 设 PA=2,则 CM= 3),MN=1, CN= 3),∴cos∠CMN= 3 .故选 C. 6 )

6.以下四个命题中,正确命题的个数是( ①不共面的四点中,其中任意三点不共线;

②若点 A、B、C、D 共面,点 A、B、C、E 共面,则 A、B、C、D、E 共面; ③若直线 a、b 共面,直线 a、c 共面,则直线 b、c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】 ①中若有三点共线,则四点共面,所以①正确; ②中,当 A、B、C 三点不共线时,正确; 当 A、B、C 三点共线时,A、B、C、D、E 不一定共面; ③中,b、c 可能共面,也可能异面; ④中以空间四边形为例知其错误.综上,只有①正确. 【答案】 二、填空题 7.在图中,G、H、M、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH、MN 是异面 直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号) B

6

【解析】 如题干图①中,直线 GH∥MN; 图②中,G、H、N 三点共面,但 M?面 GHN,因此直线 GH 与 MN 异面; 图③中,连接 MG,GM∥HN, 因此 GH 与 MN 共面; 图④中,G、M、N 共面,但 H?面 GMN, ∴GH 与 MN 异面. 所以图②、④中 GH 与 MN 异面. 【答案】 ②、④

8.(2010 年云南模拟)如图所示,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 是 AC 的中点,AA1∶AB= 2∶ 1,则异面直线 AB1 与 BD 所成的角为________. 【解析】 在平面 ABC 内,过 A 作 DB 的平行线 AE,过 B 作 BH⊥AE 于 H, 连接 B1H,则在 Rt△AHB1 中,∠B1AH 为 AB1 与 BD 所成角, 设 AB=1,则 A1A= 2,∴B1A= 3,AH=BD= ∴cos∠B1AH= 3 , 2

AH 1 = ,∴∠B1AH=60°. AB1 2

9.空间四边形 ABCD 中,各边长均为 1,若 BD=1,则 AC 的取值范围是________. 【解析】 如图①所示,△ABD 与△BCD 均为边长为 1 的正三角形,当△ABD 与△CBD 重合时,

AC=0,将△ABD 以 BD 为轴转动,到 A,B,C,D 四点再共面时,AC= 3,如图②,故 AC 的
取值范围是 0<AC< 3.

【答案】 (0, 3)

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三、解答题 10.已知空间四边形 ABCD 的对角线 AC、BD,点 E、F、G、H、M、N 分别是 AB、BC、CD、DA、

AC、BD 的中点.求证:三线段 EG、FH、MN 交于一点且被该点平分.

【证明】 如图所示,连结 EF、FG、GH、HE. ∵E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点, ∴EF∥HG,EH∥FG,∴四边形 EFGH 是平行四边形. 设 EG∩FH=O,则 O 平分 EG、FH. 同理,四边形 MFNH 是平行四边形,设 MN∩FH=O′,则 O′平分 MN、FH. ∵点 O、O′都平分线段 FH, ∴点 O 与点 O′重合, ∴MN 过 EG 和 FH 的交点,即三线段 EG、FH、MN 交于一点且被该点平分. 11.如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点.问: (1)AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由. (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由. 【解析】 (1)不是异面直线.理由: 连接 MN、A1C1、AC. ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点, ∴MN∥A1C1. 又∵A1A 綊 C1C,∴A1ACC1 为平行四边形. ∴A1C1∥AC,得到 MN∥AC, ∴A、M、N、C 在同一平面内,故 AM 和 CN 不是异面直线. (2)是异面直线.证明如下: ∵ABCD—A1B1C1D1 是正方体,∴B、C、C1、D1 不共面, 假设 D1B 与 CC1 不是异面直线,则存在平面 α ,使 D1B?平面 α ,CC1?平面 α , ∴D1、B、C、C1∈α ,∴与 ABCD—A1B1C1D1 是正方体矛盾. ∴假设不成立,即 D1B 与 CC1 是异面直线.

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