当前位置:首页 >> 数学 >> 第三讲 圆锥曲线的综合问题

第三讲 圆锥曲线的综合问题


第三讲

圆锥曲线的综合问题

1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法: 将直线方程与椭圆方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程.若 Δ>0,则直 线与椭圆相交;若 Δ=0,则直线与椭圆相切;若 Δ<0,则直线与椭圆相离. (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法: 将直线方程与双曲线方程联立,

消去 y(或 x),得到一个一元方程 ax2+bx+c=0(或 ay2 +by+c=0). ①若 a≠0,当 Δ>0 时,直线与双曲线相交;当 Δ=0 时,直线与双曲线相切;当 Δ<0 时,直线与双曲线相离. ②若 a=0 时,直线与渐近线平行,与双曲线有一个交点. (3)直线与抛物线的位置关系的判定方法: 将直线方程与抛物线方程联立,消去 y(或 x),得到一个一元方程 ax2+bx+c=0(或 ay2 +by+c=0). ①当 a≠0 时,用 Δ 判定,方法同上. ②当 a=0 时,直线与抛物线的对称轴平行,只有一个交点. 2.有关弦的问题 (1)有关弦长问题,应注意运用弦长公式及根与系数的关系,“设而不求”;有关焦点 弦长问题,要重视圆锥曲线定义的运用,以简化运算. ①斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1, y1), P2(x2, y2), 则所得弦长|P1P2|= 1+k2 1 |x2-x1|或|P1P2|= 1+ 2|y2-y1|,其中求|x2-x1|与|y2-y1|时通常使用根与系数的关系, k 即作如下变形: |x2-x1|= ?x1+x2?2-4x1x2, |y2-y1|= ?y1+y2?2-4y1y2. ②当斜率 k 不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点间距离公式). (2)弦的中点问题 有关弦的中点问题,应灵活运用“点差法”,“设而不求法”来简化运算. 3.圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值 x2 y2 F1、F2 为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为椭圆的任意一点,B 为短轴的一 a b 个端点,O 为坐标原点,则有

①|OP|∈[b,a]. ②|PF1|∈[a-c,a+c]. ③|PF1|· |PF2|∈[b2,a2]. ④∠F1PF2≤∠F1BF2. (2)双曲线中的最值 x2 y2 F1、F2 为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲线上的任一点,O 为坐 a b 标原点,则有 ①|OP|≥a. ②|PF1|≥c-a. (3)抛物线中的最值 点 P 为抛物线 y2=2px(p>0)上的任一点,F 为焦点,则有: p ①|PF|≥ . 2 ②A(m,n)为一定点,则|PA|+|PF|有最小值.

x2 y2 1.(2013· 课标全国Ⅰ)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交 E a b 于 A、B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为 x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 45 36 36 27 x2 y2 x2 y2 C. + =1 D. + =1 27 18 18 9 答案 D 解析 设 A(x1,y1)、B(x2,y2), x2 y2 1 1 2+ 2=1 a b 所以 2 运用点差法, x2 y2 2 + =1 a2 b2 b2 所以直线 AB 的斜率为 k= 2, a b2 设直线方程为 y= 2(x-3), a ( )

? ? ?

联立直线与椭圆的方程得(a2+b2)x2-6b2x+9b2-a4=0, 6b2 所以 x1+x2= 2 =2; a +b2 又因为 a2-b2=9,解得 b2=9,a2=18. 2.(2013· 江西)过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y= 1-x2相交于 A、B 两点,O 为坐标原点, 当△AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于 ( )

A.

3 3

B.-

3 3

C.±

3 3

D.- 3

答案 B 1 解析 ∵S△AOB= |OA||OB|sin∠AOB 2 1 1 = sin∠AOB≤ . 2 2 π 当∠AOB= 时,S△AOB 面积最大. 2 2 此时 O 到 AB 的距离 d= . 2 设 AB 方程为 y=k(x- 2)(k<0), 即 kx-y- 2k=0. | 2k| 2 3 由 d= 2 = 得 k=- . 2 3 k +1 3 (也可 k=-tan∠OPH=- ). 3 x2 y2 3.(2013· 大纲全国)椭圆 C: + =1 的左、右顶点分别为 A1、A2,点 P 在 C 上且直线 PA2 4 3 斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线 PA1 斜率的取值范围是 1 3 3 3 A.[ , ] B.[ , ] 2 4 8 4 1 3 C.[ ,1] D.[ ,1] 2 4 答案 B 解析 利用直线 PA2 斜率的取值范围确定点 P 变化范围的边界点, 再利用斜率公式计算 直线 PA1 斜率的边界值. 由题意可得 A1(-2,0),A2(2,0), 当 PA2 的斜率为-2 时, 直线 PA2 的方程式为 y=-2(x-2), 代入椭圆方程,消去 y 化简得 19x2-64x+52=0, 26 解得 x=2 或 x= . 19 26 24? 3 由点 P 在椭圆上得点 P? ?19,19?,此时直线 PA1 的斜率 k=8. 同理, 当直线 PA2 的斜率为-1 时,直线 PA2 方程为 y=-(x-2), 代入椭圆方程, 2 消去 y 化简得 7x2-16x+4=0,解得 x=2 或 x= . 7 2 12 ? 由点 P 在椭圆上得点 P? ?7, 7 ?, 3 此时直线 PA1 的斜率 k= . 4 3 3? 数形结合可知,直线 PA1 斜率的取值范围是? ?8,4?. ( )

x2 y2 4.(2012· 四川)椭圆 + =1 的左焦点为 F,直线 x=m 与椭圆相交于点 A、B,当△FAB 的 4 3 周长最大时,△FAB 的面积是________. 答案 3 解析 直线 x=m 过右焦点(1,0)时,△FAB 的周长最大,由椭圆定义知,其周长为 4a= b2 2×3 1 8,此时,|AB|=2× = =3,∴S△FAB= ×2×3=3. a 2 2 5.(2012· 北京)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与该抛物线相交 于 A, B 两点. 其中点 A 在 x 轴上方, 若直线 l 的倾斜角为 60° , 则△OAF 的面积为______. 答案 3

解析 ∵y2=4x 的焦点 F(1,0), 又直线 l 过焦点 F 且倾斜角为 60° , 故直线 l 的方程为 y= 3(x-1), 将其代入 y2=4x 得 3x2-6x+3-4x=0, 1 即 3x2-10x+3=0.∴x= 或 x=3. 3 又点 A 在 x 轴上方,∴xA=3.∴yA=2 3. 1 ∴S△OAF= ×1×2 3= 3. 2

题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题 例1 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),实半轴长为 3. (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C 的左支交于 A,B 两点,求 k 的取值范围; (3)在(2)的条件下,线段 AB 的垂直平分线 l0 与 y 轴交于 M(0,b),求 b 的取值范围. 审题破题 (2)直接利用判别式和根与系数的关系确定 k 的范围;(3)寻找 b 和 k 的关系, 利用(2)中 k 的范围求解. x2 y2 解 (1)设双曲线方程为 2- 2=1 (a>0,b>0), a b 由已知,得 a= 3,c=2,b2=c2-a2=1, x2 故双曲线方程为 -y2=1. 3

x2 (2)设 A(xA,yA),B(xB,yB),将 y=kx+ 2代入 -y2=1, 3 得(1-3k2)x2-6 2kx-9=0.

?Δ=36?1-k ?>0, ? 6 2k 由题意,知?x +x = <0, 1-3k -9 ? ?x x =1-3k >0,
2 A B 2 A B 2

1-3k2≠0,

解得

3 <k<1. 3

3 <k<1 时,直线 l 与双曲线的左支有两个交点. 3 6 2k (3)由(2),得 xA+xB= , 1-3k2 所以当 所以 yA+yB=(kxA+ 2)+(kxB+ 2) 2 2 =k(xA+xB)+2 2= , 1-3k2 ? 3 2k , 2 ? . 所以 AB 中点 P 的坐标为? ? ?1-3k2 1-3k2? 1 4 2 设 l0 的方程为 y=- x+b,将 P 点的坐标代入 l0 的方程,得 b= , k 1-3k2 3 ∵ <k<1,∴-2<1-3k2<0,∴b<-2 2. 3 ∴b 的取值范围是(-∞,-2 2). 反思归纳 求最值或求范围问题常见的解法有两种:(1)几何法.若题目的条件和结论

能明显体现几何特征及意义, 则考虑利用图形性质来解决, 这就是几何法. (2)代数法. 若 题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系, 则可首先建立目标函数, 再求这个函数 的最值,这就是代数法. 变式训练 1 (2013· 广东)已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F(0,c)(c>0)到直线 l:x-y 3 2 -2=0 的距离为 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB,其 2 中 A,B 为切点. (1)求抛物线 C 的方程; (2)当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3)当点 P 在直线 l 上移动时,求|AF|· |BF|的最小值. |c+2| 3 2 解 (1)依题意知 = ,c>0,解得 c=1. 2 2 所以抛物线 C 的方程为 x2=4y. 1 1 (2)由 y= x2 得 y′= x, 4 2 1 1 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则切线 PA,PB 的斜率分别为 x1, x2,所以切线 PA 的方程为 2 2 x1 x1 x2 1 y-y1= (x-x1),即 y= x- +y1,即 x1x-2y-2y1=0. 2 2 2 同理可得切线 PB 的方程为 x2x-2y-2y2=0, 又点 P(x0,y0)在切线 PA 和 PB 上,

所以 x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0, 所以(x1,y1),(x2,y2)为方程 x0x-2y0-2y=0 的两组解, 所以直线 AB 的方程为 x0x-2y-2y0=0. (3)由抛物线定义知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1, 所以|AF|· |BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1, ? ?x0x-2y-2y0=0, 联立方程? 2 ?x =4y, ?
2 消去 x 整理得 y2+(2y0-x2 0)y+y0=0, 2 ∴y1+y2=x0 -2y0,y1y2=y2 0, 2 ∴|AF|· |BF|=y1y2+(y1+y2)+1=y2 0+x0-2y0+1 2 =y0 +(y0+2)2-2y0+1=2y2 0+2y0+5 1 9 ?2 =2? ?y0+2? +2, 1 9 ∴当 y0=- 时,|AF|· |BF|取得最小值,且最小值为 . 2 2

题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题 例2 (2012· 福建)如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3,且其三个 顶点均在抛物线 E:x2=2py(p>0)上. (1)求抛物线 E 的方程; (2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P, 与直线 y=-1 相交于点 Q, 证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点. 审题破题 (1)先求出 B 点坐标,代入抛物线方程,可得 p 的值;(2)假设在 y 轴上存在 → → 定点 M,使得以线段 PQ 为直径的圆经过点 M,转化为MP· MQ=0,从而判断点 M 是 否存在. (1)解 依题意,|OB|=8 3,∠BOy=30° .

设 B(x,y),则 x=|OB|sin 30° =4 3,y=|OB|cos 30° =12. 因为点 B(4 3,12)在 x2=2py 上, 所以(4 3)2=2p×12,解得 p=2. 故抛物线 E 的方程为 x2=4y. 1 1 (2)证明 方法一 由(1)知 y= x2,y′= x. 4 2 1 2 设 P(x0,y0),则 x0≠0,y0= x0,且 l 的方程为 4 1 1 1 y-y0= x0(x-x0),即 y= x0x- x2 . 2 2 4 0 1 1 x -4 ? ? ?x= 0 , ?y=2x0x-4x2 0, 2x0 由? 得? ?y=-1 ? ? ?y=-1. 2 x0-4 ? 所以 Q 为? ? 2x0 ,-1?.
2

1 → → 设 M(0,y1),令MP· MQ=0 对满足 y0= x2 (x ≠0)的 x0,y0 恒成立. 4 0 0 2 x0-4 → → ? 由于MP=(x0,y0-y1),MQ=? ? 2x0 ,-1-y1?, x2 0-4 → → 2 由MP· MQ=0,得 -y0-y0y1+y1+y1 =0, 2
2 即(y1 +y1-2)+(1-y1)y0=0.(*) 1 由于(*)式对满足 y0= x2 (x ≠0)的 y0 恒成立, 4 0 0 ? ?1-y1=0, 所以? 2 解得 y1=1. ?y1+y1-2=0, ?

故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1). 1 1 方法二 由(1)知 y= x2,y′= x. 4 2 1 设 P(x0,y0),则 x0≠0,y0= x2 , 4 0 1 且 l 的方程为 y-y0= x0(x-x0), 2 1 1 2 即 y= x0x- x0. 2 4 1 1 x -4 ? ? ?x= 0 , ?y=2x0x-4x2 0, 2x0 由? 得? ? ? ?y=-1 ?y=-1. 2 x0-4 ? 所以 Q 为? ? 2x0 ,-1?. 取 x0=2,此时 P(2,1),Q(0,-1), 以 PQ 为直径的圆为(x-1)2+y2=2, 交 y 轴于点 M1(0,1)、M2(0,-1); 1 3 1, ?,Q?- ,-1?, 取 x0=1,此时 P? ? 4? ? 2 ? 1 3 2 2 ? ? ? 125 以 PQ 为直径的圆为? ?x+4? +?y+8? = 64 , 7? 交 y 轴于点 M3(0,1)、M4? ?0,-4?. 故若满足条件的点 M 存在,只能是 M(0,1). 以下证明点 M(0,1)就是所要求的点. 2 → → ?x0-4 ? 因为MP=(x0,y0-1),MQ= ? 2x0 ,-2?, 2 → → x0-4 所以MP· MQ= -2y0+2=2y0-2-2y0+2=0. 2 故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1). 反思归纳 定点、 定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量, 那么就可以用变化 的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不 受变化的量所影响的一个点、一个值,就是要求的定点、定值.化解这类问题的关键就 是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等
2

y2 x2 变式训练 2 已知直线 l:y=x+ 6,圆 O:x2+y2=5,椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 a b 3 e= ,直线 l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等. 3 (1)求椭圆 E 的方程; (2)过圆 O 上任意一点 P 作椭圆 E 的两条切线,若切线都存在斜率,求证:两切线的斜 率之积为定值. (1)解 设椭圆的半焦距为 c, 6 = 3, 1+1

寻找不受参数影响的量.

圆心 O 到直线 l 的距离 d= ∴b= 5-3= 2. c 3 ? ?a= 3 由题意得? a =b +c ? ?b= 2
2 2

2

,∴a2=3,b2=2.

y2 x2 ∴椭圆 E 的方程为 + =1. 3 2 (2)证明 设点 P(x0,y0),过点 P 的椭圆 E 的切线 l0 的方程为 y-y0=k(x-x0), y=k?x-x ?+y0 ? ?2 2 0 联立直线 l0 与椭圆 E 的方程得?y x , + =1 ? ?3 2 消去 y 得(3+2k2)x2+4k(y0-kx0)x+2(kx0-y0)2-6=0, ∴Δ=[4k(y0-kx0)]2-4(3+2k2)[2(kx0-y0)2-6]=0,
2 2 整理得,(2-x2 0)k +2kx0y0-(y0-3)=0,

设满足题意的椭圆 E 的两条切线的斜率分别为 k1,k2, 2 y0 -3 则 k1· k2=- , 2-x2 0
2 ∵点 P 在圆 O 上,∴x0 +y2 0=5, 2 5-x0-3 ∴k1· k2=- =-1. 2-x2 0

∴两条切线的斜率之积为常数-1. 题型三 圆锥曲线中的存在性问题 例3 如图,椭圆的中心为原点 O,离心率 e= 2 a2 ,且 =2 2. 2 c

(1)求该椭圆的标准方程;

→ → → (2)设动点 P 满足OP=OM+2ON,其中 M、N 是椭圆上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之 1 积为- .问:是否存在两个定点 F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值?若存在,求 F1,F2 2 的坐标;若不存在,说明理由. 1 审题破题 (1)列方程组求出 a、c 即可;(2)由 kOM· kON=- 先确定点 M、N 坐标满足条 2 → → → 件,再根据OP=OM+2ON寻找点 P 满足条件:点 P 在 F1、F2 为焦点的椭圆上. c 2 a2 解 (1)由 e= = , =2 2, a 2 c 解得 a=2,c= 2,b2=a2-c2=2, x2 y2 故椭圆的标准方程为 + =1. 4 2 (2)设 P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2), → → → 则由OP=OM+2ON, 得(x,y)=(x1,y1)+2(x2,y2)=(x1+2x2,y1+2y2), 即 x=x1+2x2,y=y1+2y2. 因为点 M、N 在椭圆 x2+2y2=4 上,
2 2 2 所以 x2 1+2y1=4,x2+2y2=4, 2 2 2 故 x2+2y2=(x2 1+4x2+4x1x2)+2(y1+4y2+4y1y2) 2 2 2 =(x1 +2y2 1)+4(x2+2y2)+4(x1x2+2y1y2)

=20+4(x1x2+2y1y2). 设 kOM,kON 分别为直线 OM,ON 的斜率, y1y2 1 由题设条件知 kOM· kON= =- , x1x2 2 因此 x1x2+2y1y2=0,所以 x2+2y2=20. x2 y2 所以 P 点是椭圆 + =1 上的点,设该椭圆的左、右焦点为 F1、F2,则由椭 ?2 5?2 ? 10?2 圆的定义|PF1|+ |PF2|为定值,又因 c= ?2 5?2-? 10?2 = 10 ,因此两焦点的坐标为 F1(- 10,0),F2( 10,0). 反思归纳 探究是否存在的问题,一般均是先假设存在,然后寻找理由去确定结论,如 果真的存在,则能得出相应结论,如果不存在,则会由条件得出相互矛盾的结论. 变式训练 3 已知点 P 是圆 O:x2+y2=9 上的任意一点,过 P 作 PD 垂直 x 轴于 D,动点 Q → 2→ 满足DQ= DP. 3 (1)求动点 Q 的轨迹方程; → 1 → (2)已知点 E(1,1),在动点 Q 的轨迹上是否存在两个不重合的两点 M、N,使OE= (OM 2 → +ON)(O 是坐标原点),若存在,求出直线 MN 的方程,若不存在,请说明理由. 解 (1)设 P(x0,y0),Q(x,y),依题意,点 D 的坐标为 D(x0,0), → → 所以DQ=(x-x0,y),DP=(0,y0),

→ 2→ 又DQ= DP, 3 x-x0=0, x =x, ? ? ? ?0 故? 2 即? 3 ?y=3y0, ? ? ?y0=2y,
2 因为 P 在圆 O 上,故有 x2 0+y0=9, 2 2 3y?2 x y 所以 x2+? ? 2 ? =9,即 9 + 4 =1, x2 y2 所以点 Q 的轨迹方程为 + =1. 9 4 x2 y2 (2)假设椭圆 + =1 上存在不重合的两点 M(x1,y1), 9 4 → 1 → → N(x2,y2)满足OE= (OM+ON), 2

则 E(1,1)是线段 MN 的中点, x =1, ?x + 2 且有? y +y ? 2 =1,
1 2 1 2

?x1+x2=2, ? 即? ?y1+y2=2. ?

x2 y2 又 M(x1,y1),N(x2,y2)在椭圆 + =1 上, 9 4 2 2 x1 y1 + =1, 9 4 所以 2 2 x2 y2 + =1, 9 4

? ? ?

?x1-x2??x1+x2? ?y1-y2??y1+y2? 两式相减,得 + =0, 9 4 y1-y2 4 所以 kMN= =- , 9 x1-x2 故直线 MN 的方程为 4x+9y-13=0. → 1 → → 所以椭圆上存在点 M,N 满足OE= (OM+ON), 2 此时直线 MN 的方程为 4x+9y-13=0.

典例

(12 分)抛物线的顶点 O 在坐标原点,焦点在 y 轴负半轴上,过点 M(0,-2)作直线 → → l 与抛物线相交于 A,B 两点,且满足OA+OB=(-4,-12). (1)求直线 l 和抛物线的方程; (2)当抛物线上一动点 P 从点 A 运动到点 B 时,求△ABP 面积的最大值. 规范解答 (1)根据题意可设直线 l 的方程为 y=kx-2,抛物线的方程为 x2=-2py(p>0). ?y=kx-2, ? 由? 2 得 x2+2pkx-4p=0.[2 分] ?x =-2py, ? 解

设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-2pk,y1+y2=k(x1+x2)-4=-2pk2-4. → → 所以OA+OB=(-4,-12), ? ?-2pk=-4, 所以? 2 ?-2pk -4=-12, ?
? ?p=1, 解得? ? ?k=2.

故直线 l 的方程为 y=2x-2,抛物线的方程为 x2=-2y.[6 分] (2)设 P(x0,y0),依题意,知当抛物线过点 P 的切线与 l 平行时,△ABP 的面积最大. 1 对 y=- x2 求导,得 y′=-x, 2 所以-x0=2,即 x0=-2, 1 y0=- x2 =-2,即 P(-2,-2). 2 0 此时点 P 到直线 l 的距离 |2· ?-2?-?-2?-2| 4 4 5 d= = = .[9 分] 5 5 22+?-1?2
?y=2x-2, ? 由? 2 得 x2+4x-4=0, ? x =- 2 y , ?

则 x1+x2=-4,x1x2=-4, |AB|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 = 1+22· ?-4?2-4· ?-4?=4 10. 1 4 5 于是,△ABP 面积的最大值为 ×4 10× =8 2.[12 分] 2 5 → → 评分细则 (1)由OA+OB=(-4,-12)得到关于 p,k 的方程组得 2 分;解出 p、k 的值 给 1 分;(2)确定△ABP 面积最大的条件给 1 分;(3)得到方程 x2+4x-4=0 给 1 分. 阅卷老师提醒 最值问题解法有几何法和代数法两种, 本题中的曲线上一点到直线的距 离的最值可以转化为两条平行线的距离;代数法求最值的基本思路是转化为函数的最 值.

x2 1.由椭圆 +y2=1 的左焦点作倾斜角为 45° 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,设 O 为坐标原 2 → → 点,则OA· OB等于 ( ) 1 A.0 B.1 C.- D.-3 3 答案 C 解析 直线 l 的方程为:y=x+1,

设 A(x1,y1),B(x2,y2), y=x+1, ? ?2 由?x 得 3x2+4x=0. 2 ? ? 2 +y =1 4 1 ∴x1=0 或 x2=- ,则 y1=1,y2=- . 3 3 1 → → ∴OA· OB=x1x2+y1y2=- . 3 2.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=12, P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为 A.18 答案 C 解析 不妨设抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0),由于 l 垂直于对称轴且过焦点,故直 p 线 l 的方程为 x= .代入 y2=2px 得,y=± p,即|AB|=2p,又|AB|=12,故 p=6,所以抛 2 1 物线的准线方程为 x=-3,故 S△ABP= ×6×12=36. 2 3. 已知动圆圆心在抛物线 y2=4x 上, 且动圆恒与直线 x=-1 相切, 则此动圆必过定点( A.(2,0) 答案 B 解析 因为动圆的圆心在抛物线 y2=4x 上,且 x=-1 是抛物线 y2=4x 的准线,所以由 抛物线的定义知,动圆一定过抛物线的焦点(1,0),所以选 B. 4.设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、|FM|为半 径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是 A.(0,2) C.(2,+∞) 答案 C 解析 ∵x2=8y,∴焦点 F 的坐标为(0,2),准线方程为 y=-2.由抛物线的定义知|FM| =y0+2. 由于以 F 为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交,又圆心 F 到准线的距离为 4,故 4<y0 +2,∴y0>2. 5. 已知抛物线 C 的顶点为坐标原点, 焦点在 x 轴上, 直线 y=x 与抛物线 C 交于 A, B 两点, 若 P(2,2)为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为________. 答案 y2=4x a 解析 设抛物线方程为 y2=ax.将 y=x 代入 y2=ax,得 x=0 或 x=a,∴ =2.∴a=4. 2 x2 y2 → → 6.已知 F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆 2+ 2=1 的两个焦点,P 为椭圆上一点且PF1· PF2=c2,则 a b ∴抛物线方程为 y2=4x. B.[0,2] D.[2,+∞) ( ) B.(1,0) C.(0,1) D.(0,-1) ) B.24 C.36 D.48 ( )

此椭圆离心率的取值范围是____________. 3 2 答案 ? , ? 3 2 ? ? → → 解析 设 P(x,y),则PF1· PF2=(-c-x,-y)· (c-x,-y)=x2-c2+y2=c2,① ?3c2-a2?a2 b2 将 y2=b2- 2x2 代入①式解得 x2= , a c2 又 x2∈[0,a2],所以 2c2≤a2≤3c2, c 3 2 所以离心率 e= ∈? , ?. a ?3 2?

专题限时规范训练
一、选择题 1.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线为 l,过 M(1,0)且斜率为 3的直线与 l 相交于点 A, 与 C 的一个交点为 B,若AM=M B,则 p 等于 A.1 答案 B 解析 如图,由 AB 的斜率为 3, 知 α=60° ,又AM=M B,∴M 为 AB 的中点.过点 B 作 BP 垂直准线 l 于点 P, 则∠ABP=60° ,∴∠BAP=30° . 1 ∴|BP|= |AB|=|BM|. 2 p ∴M 为焦点,即 =1,∴p=2. 2 y2 → → 2 2.已知双曲线 x - =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线右支上一点,则PA1· PF2 3 的最小值为 A.-2 答案 A → → 解析 由已知得 A1(-1,0),F2(2,0).设 P(x,y) (x≥1),则PA1· PF2=(-1-x,-y)· (2- x,-y)=4x2-x-5.令 f(x)=4x2-x-5,则 f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以当 x=1 时, → → 函数 f(x)取最小值,即PA1· PF2取最小值,最小值为-2. 2 2 x y 3.设 AB 是过椭圆 2+ 2(a>b>0)中心的弦,椭圆的左焦点为 F1(-c,0),则△F1AB 的面积最 a b 大为 A.bc 答案 A 解析 如图,由椭圆对称性知 O 为 AB 的中点,则△F1OB 的 面积为△F1AB 面积的一半.又 OF1=c,△F1OB 边 OF1 上的 1 高为 yB, 而 yB 的最大值为 b.所以△F1OB 的面积最大值为 cb. 2 B.ab C.ac D.b
2





( D.4

)

B.2

C.3





( 81 B.- 16 C.1 D.0

)

(

)

所以△F1AB 的面积最大值为 bc. 4.已知点 A(-1,0),B(1,0)及抛物线 y2=2x,若抛物线上点 P 满足|PA|=m|PB|,则 m 的最大 值为 A.3 答案 C 解析 据已知设 P(x,y), ?x+1?2+y2 |PA| 则有 m= = |PB| ?x-1?2+y2 ?x+1?2+2x x2+4x+1 = 2 ?x-1? +2x x2+1 4x 4 = 1+ 2 = 1+ , 1 x +1 x+ x 4 据基本不等式有 m= 1+ ≤ 1 x+ x = 即 m 的最大值为 3.故选 C. 5. 直线 3x-4y+4=0 与抛物线 x2=4y 和圆 x2+(y-1)2=1 从左到右的交点依次为 A、 B、 C、 |AB| D,则 的值为 ( ) |CD| 1 1 A.16 B. C.4 D. 16 4 答案 B
? ?3x-4y+4=0, 解析 由? 2 得 x2-3x-4=0, ?x =4y ?

( B.2 C. 3 D. 2

)

1+ 2

4 1 x× x

= 3,

5 ∴xA=-1,xD=4,直线 3x-4y+4=0 恰过抛物线的焦点 F(0,1),∴|AF|=yA+1= , 4 |DF|=yD+1=5, |AB| |AF|-1 1 ∴ = = .故选 B. |CD| |DF|-1 16 x2 y2 6.过椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点 A 的斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一个点 B,且点 a b 1 1 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F,若 <k< ,则椭圆离心率的取值范围是 ( ) 3 2 1 9 2 A.( , ) B.( ,1) 4 4 3 1 2 1 C.( , ) D.(0, ) 2 3 2 答案 C b2 解析 点 B 的横坐标是 c,故 B 的坐标(c,± ), a 1 1 b2 已知 k∈( , ),∴B(c, ).又 A(-a,0), 3 2 a 2 b a a2-c2 1-e2 b2 则斜率 k= = = . 2= c+a ac+a ac+a2 e+1

1 1 1 2 由 <k< ,解得 <e< . 3 2 2 3 7.已知抛物线 y2=4x,圆 F:(x-1)2+y2=1,过点 F 作直线 l,自上 而下顺次与上述两曲线交于点 A, B, C, D(如图所示), 则|AB|· |CD| 的值 A.等于 1 B.最小值是 1 C.等于 4 D.最大值是 4 答案 A 解析 设直线 l:x=ty+1,代入抛物线方程, 得 y2-4ty-4=0. 设 A(x1,y1),D(x2,y2), 根据抛物线定义|AF|=x1+1,|DF|=x2+1, 故|AB|=x1,|CD|=x2, 2 2 y1 y2 ?y1y2?2 所以|AB|· |CD|=x1x2= · = , 4 4 16 而 y1y2=-4,代入上式,得|AB|· |CD|=1.故选 A. x2 y2 a2 8.设 F1,F2 分别是椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的左,右焦点,若在直线 x= 上存在 P 使线段 a b c PF1 的中垂线过点 F2,则此椭圆离心率的取值范围是 2 3 A.?0, ? B.?0, ? 2 3 ? ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? C. D. ? 2 ,1? ? 3 ,1? 答案 D a2 ? b2 y ,y ,F1P 的中点 Q 的坐标为? , ?, 解析 设 P? ?c ? ?2c 2? cy cy 当 kQF2 存在时,则 kF1P= 2 2,kQF2= 2 , a +c b -2c2 由 kF1P· kQF2=-1,得 2 ?a +c2?· ?2c2-b2? 2 2 y= ,y ≥0, c2 但注意到 b2-2c2≠0,即 2c2-b2>0, 1 3 即 3c2-a2>0,即 e2> ,故 <e<1. 3 3 当 kQF2 不存在时,b2-2c2=0,y=0, a2 3 此时 F2 为中点,即 -c=2c,得 e= , c 3 3 3 综上,得 ≤e<1,即所求的椭圆离心率的范围是? ,1?. 3 ?3 ? 二、填空题 ( ) ( )

9.已知椭圆的焦点是 F1(-2 2,0)和 F2(2 2,0),长轴长是 6,直线 y=x+2 与此椭圆交 于 A、B 两点,则线段 AB 的中点坐标是________. 9 1? 答案 ? ?-5,5? 解析
?x2+9y2=9, ? x2 由已知得椭圆方程是 +y2=1,直线与椭圆相交有? 则 10x2+36x 9 ?y=x+2, ?

1 9 1 +27=0,AB 中点(x0,y0)有 x0= (xA+xB)=- ,y0=x0+2= ,所以,AB 中点坐标是 2 5 5 9 1 ?- , ?. ? 5 5? 10.点 P 在抛物线 x2=4y 的图象上,F 为其焦点,点 A(-1,3),若使|PF|+|PA|最小,则相 应 P 的坐标为________. 1? 答案 ? ?-1,4? 解析 由抛物线定义可知 PF 的长等于点 P 到抛物线准线的距离, 所以过点 A 作抛物线 1? 准线的垂线,与抛物线的交点? ?-1,4?即为所求点 P 的坐标,此时|PF|+|PA|最小. 11. 斜率为 3的直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点且与该抛物线交于 A, B 两点, 则|AB|=_______. 16 答案 3 解析 如图,过 A 作 AA1⊥l′,l′为抛物线的准线.过 B 作 BB1⊥ l′, 抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),过焦点 F 作 FM⊥A1A 交

A1A 于 M 点,

直线 l 的倾斜角为 60° ,所以|AF|=|AA1|=|A1M| 4 +|AM|=2+|AF|· cos 60° ,所以|AF|=4,同理得|BF|= , 3 16 故|AB|=|AF|+|BF|= . 3
2 12.已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 y1 2 +y2 的最小值是________.

答案 32 解析 -4),
2 ∴y1 +y2 2=16+16=32.

(1)当直线的斜率不存在时,直线方程为 x=4,代入 y2=4x,得交点为(4,4),(4,

(2)当直线的斜率存在时,设直线方程为 y=k(x-4),与 y2=4x 联立,消去 x 得 ky2-4y 4 16 2 2 -16k=0,由题意知 k≠0,则 y1+y2= ,y1y2=-16.∴y1 +y2 2=(y1+y2) -2y1y2= 2 + k k 32>32.
2 综合(1)(2)知(y2 1+y2)min=32.

三、解答题 x2 y2 3 13.(2013· 天津)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,离心率为 ,过点 F 且与 x 轴垂直 a b 3 4 3 的直线被椭圆截得的线段长为 . 3

(1)求椭圆的方程; (2)设 A、 B 分别为椭圆的左、 右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若 → → → → AC· DB+AD· CB=8,求 k 的值. c 3 解 (1)设 F(-c,0),由 = ,知 a= 3c. a 3 过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 x=-c, ?-c?2 y2 6b 代入椭圆方程有 2 + 2=1,解得 y=± , a b 3 2 6b 4 3 于是 = ,解得 b= 2, 3 3 又 a2-c2=b2,从而 a= 3,c=1, x2 y2 所以椭圆的方程为 + =1. 3 2 (2)设点 C(x1,y1),D(x2,y2),由 F(-1,0)得直线 CD 的方程为 y=k(x+1),由方程组 y=k?x+1?, ? ?2 2 ?x y 消去 y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0. + = 1 ? ?3 2 3k2-6 6k2 求解可得 x1+x2=- ,x x = . 2+3k2 1 2 2+3k2 因为 A(- 3,0),B( 3,0),所以 → → → → AC· DB+AD· CB=(x1+ 3,y1)· ( 3-x2,-y2)+(x2+ 3,y2)· ( 3-x1,-y1) =6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1) =6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2 2k2+12 =6+ . 2+3k2 2k2+12 由已知得 6+ =8,解得 k=± 2. 2+3k2 x2 y2 14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= a b 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程. (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n),使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x2+y2=1 相交 于不同的两点 A、B,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及对应的△OAB 的面积;若不存在,请说明理由. 2 2 c2 a -b 2 解 (1)∵e2= 2= 2 = ,∴a2=3b2, a a 3 x2 y2 ∴椭圆方程为 2+ 2=1,即 x2+3y2=3b2. 3b b 设椭圆上的点到点 Q(0,2)的距离为 d,则 d= ?x-0?2+?y-2?2= x2+?y-2?2 = 3b2-3y2+?y-2?2= -2?y+1?2+3b2+6, ∴当 y=-1 时,d 取得最大值,dmax= 3b2+6=3, 2 ,且椭圆 C 3

解得 b2=1,∴a2=3. x2 ∴椭圆 C 的方程为 +y2=1. 3

m2 (2)假设存在点 M(m,n)满足题意,则 +n2=1, 3 即 m2=3-3n2.设圆心到直线 l 的距离为 d′,则 d′<1, |m· 0+n· 0-1| 1 d′= = . 2 2 2 m +n m +n2 1 ∴|AB|=2 12-d′2=2 1- 2 2. m +n 1 1 1 1 ∴S△OAB= |AB|d′= · 2 1- 2 2· 2 2 2 m +n m +n2 1 ? 1 ? = 2 2 1- 2 m +n2?. m +n ? 1 1 ∵d′<1,∴m2+n2>1,∴0< 2 >0. 2<1,∴1- 2 m +n m +n2 1 ? 1 ? ∴S△OAB= 2 2 2 1- 2 m +n ? m +n ? ≤

? 2 1 2+1- 2 1 2? 1 ?m +n m +n ?2= , ? ? 2 2 ? ?

1 1 1 当且仅当 2 =1- 2 ,即 m2+n2=2>1 时,S△OAB 取得最大值 . 2 m +n2 m +n2
2 2 ? ?m +n =2, 由? 2 得 2 ?m =3-3n ?

?m =2, ? 1 ?n =2,
2 2

3

∴存在点 M 满足题意,M 点坐标为?

6 2? ? 6 2? ? 6 2? , , 或 ? 2 , 2 ? ? 2 ,- 2 ? ?- 2 , 2 ?

?- 6,- 2?,此时△OAB 的面积为1. 2 2? ? 2


更多相关文档:

第三讲 解析几何—直线与圆锥曲线综合问题

第三讲 解析几何—直线与圆锥曲线综合问题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。较为基础,适合高二或者高三一轮复习 第三讲解析几何—直线与圆锥曲线综合问题 1. 已知...

圆锥曲线的综合问题(含答案)

圆锥曲线的综合问题(含答案)_数学_高中教育_教育专区。课题:圆锥曲线的综合问题 【要点回顾】 1.直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时,通常是...

圆锥曲线的综合问题 分题型整理

第4讲 圆锥曲线的综合问题★知识梳理★ 1.直线与圆锥曲线 C 的位置关系 将直线 l 的方程代入曲线 C 的方程,消去 y 或者消去 x,得到一个关于 x(或 y)的方...

圆锥曲线的综合问题

第三讲 圆锥曲线的综合问题 研热点(聚焦突破) 类型一 圆锥曲线中的定点定值问题 常见的类型 (1)直线恒过定点问题; (2)动圆恒过定点问题; (3)探求定值问题;...

圆锥曲线的综合问题(教案)

圆锥曲线的综合问题(第一课时) [目的要求]: 1、掌握直线与圆锥曲线的三种位置关系(相离、相切、相交) 2、理解并掌握圆锥曲线中的弦长计算公式 L ? 1 ? k 2...

...]教学案 专题六 第三讲圆锥曲线的综合问题

2014届高考数学(文)二轮复习[考前三个月配套]教学案 专题六 第三讲圆锥曲线的综合问题_数学_高中教育_教育专区。第三讲 圆锥曲线的综合问题 1. 直线与圆锥曲线的...

圆锥曲线综合问题及答案

圆锥曲线综合问题及答案_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线常见题型,总结全面,有...a2 (Ⅱ)设 F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点 , P 为椭圆 E 上的第一...

圆锥曲线的综合问题

第4讲 圆锥曲线的综合问题★知识梳理★ 1.直线与圆锥曲线 C 的位置关系 将直线 l 的方程代入曲线 C 的方程,消去 y 或者消去 x,得到一个关于 x(或 y)的...

圆锥曲线综合问题

2 3 ≤ ? ≤时,求双曲线离心率 e 的取 3 4 《圆锥曲线综合问题》 ·第 1 页·共 4 页 例 2.已知 A(1,1) 是椭圆 满足 AF 1 ? AF 2 ? 4. ...

圆锥曲线综合问题

圆锥曲线综合问题_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线综合问题 1.直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时,通常将直线 l 的方程 Ax+By+...
更多相关标签:
圆锥曲线综合问题 | 圆锥曲线的综合问题 | 圆锥曲线综合题 | 圆锥曲线综合测试题 | 圆锥曲线定点定值问题 | 圆锥曲线最值问题 | 圆锥曲线轨迹问题 | 圆锥曲线中点弦问题 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com