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《2014届数学一轮高考核动力》(新课标)高考数学(文)一轮强化突破训练(34)


一、选择题 1.圆 O1:x +y -2x=0 和圆 O2:x +y -4y=0 的位置关系是( A.相离 C.外切 【答案】B 【解析】圆 O1 的圆心为 A(1,0),半径 r1=1,圆 O2 的圆心为 B(0,2),半径 r2=2,所以 |AB|= 5.又因为|r2-r1|=1< 5<|r1+r2|=3,所以两圆相交.故选择 B. 2.经过圆 x +2x+y =

0 的圆心 C,且与直线 x+y=0 垂直的直线方程是( A.x-y+1=0 C.x+y-1=0 【答案】A 【解析】圆 x +2x+y =0 可化为(x+1) +y =1,因此经过圆心 C(-1,0)与直线 x+y =0 垂直的直线斜率 k=1,因此所求直线的方程为 y=x+1,即 x-y+1=0.故选择 A. 3.(2010 广东卷?文)若圆心在 x 轴上,半径为 5的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+ 2y=0 相切,则圆 O 的方程是( A.(x- 5) +y =5 C.(x-5) +y =5 【答案】D 【解析】设圆心为(a,0)(a<0),则 x+2y=0 与圆相切, |a+2?0| |a| 所以 = 5,即 = 5,解得 a=-5, 2 2 1 +2 5 故圆 O 的方程为(x+5) +y =5.故选择 D. 4.过直线 y=x 上的一点作圆(x-5) +(y-1) =2 的两条切线 l1,l2,当直线 l1,l2 关于 y=x 对称时,它们之间的夹角为( A.30° C.60° 【答案】C 【解析】如图所示,当 l1,l2 关于 y=x 对称时, ∠1=∠2=∠3=∠4. 又∠5=∠6,由此可得∠1+∠5=∠3+∠6, 并且(∠1+∠5)+(∠3+∠6)=180°, ) B.45° D.90°
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

2

2

2

2

)

B.相交 D.内切

2

2

)

B.x-y-1=0 D.x+y+1=0
2 2 2

2

) B.(x+ 5) +y =5 D.(x+5) +y =5
2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

[来源:学科网 ZXXK]

所以∠1+∠5=90°, 即 PQ 所在直线应与 y=x 垂直. 此时|PQ|=2 2,∴∠5=30°,

所以 l1 与 l2 夹角为 60°.故选择 C. 5.已知圆的方程为 x +y -6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( A.10 6 C.30 6 【答案】B 【解析】圆心坐标是(3,4),半径是 5,圆心到点(3,5)的距离为 1, 根据题意最短弦 BD 和最长弦(即圆的直径)AC 垂直, 故最 短弦的长为 2 5 -1 =4 6, 所以四边形 ABCD 的面积为 1 1 ?AC?BD= ?10?4 6=20 6. 2 2 故选择 B. 二、填空题 6.(2010 天津卷?文)已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点,且圆 C 与直 线 x+y+3=0 相切,则圆 C 的方程为 【答案】(x +1) +y =2 【解析】直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点为(-1,0),即圆 C 的圆心坐标为(-1,0). 又圆 C 与直线 x+y+3=0 相切, |-1+0+3| ∴圆 C 的半径为 r= = 2. 2 ∴圆的方程为(x+1) +y =2. 7.直线 l 与圆 x +y +2x-4y+a=0(a<3)相交于两点 A,B,弦 AB 的中点为(0,1),则 直线 l 的方程为 . 【答案】x-y+1=0 【解析】由已知条件得圆心坐标为(-1,2),圆心与弦 AB 中点确定的直线应与直线 l 2-1 垂直,故斜率乘积应等于-1 可 得 kl= =-1,所以直线 l 的方程为 y-1=x,即 x -1-0 -y+1=0. 8.已知圆 C 的圆心与点 P(-2,1)关于直线 y=x+1 对称.直线 3x+4y-11=0 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=6,则圆 C 的方程为 【答案】x +(y+1) =18 【解析】设点 P(-2,1)关于直线 y=x+1 的对称点为 C(a,b).
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

) B.20 6 D.40 6

.

.

?b-1=-1, ?a+2 则? b+1 a-2 ? ? 2 = 2 +1,
∴圆心 C(0,-1),

∴?

?a=0, ? ? ?b=-1.

∴圆心 C 到直线 3x+4y-11=0 的距离为

d=

|-4-11| =3. 5

又弦长为|AB|=6, 由于半径、半弦长、弦心距 d 构成直角三角形得

R2=?

?|AB|?2+d2,∴R2=9+9=18. ? ? 2 ?
2 2

故圆 C 的方程为 x +(y+1) =18. 三、解答题 9.已知圆 C:(x-1) +(y-2) =25,直线 l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R). (1)证明不论 m 是什么实数时,直线 l 与圆 C 恒交于两点. (2)求直线 l 被圆 C 截得的线段的最短长度及此时 m 的值. 【解析】直线 l 的方程化为 x+y-4+m(2x+y-7)=0, ∴l 是过直线 x+y-4=0 与 2x+y-7=0 交点 P 的直线系中的一条,且交点坐标可 由 方程组?
? ?x+y-4=0 ? ?2x+y-7=0
2 2 2

,解得,即 P(3,1).
2

∵(3-1) +(1-2) <25, ∴点 P(3,1)在圆内,∴不论 m 取什么实数时,直线 l 与圆 C 恒交于两点. (2)∵弦心距愈长,则弦愈短, ∴以 P(3,1)为中点的弦最短. 1 记圆心为 C(1,2),kCP=- , 2 ∴最短弦所在的直线 l 的斜率 k1=2,直线 l 方程为 y-1=2(x-3), 即 2x-y-5=0. 2m+1 3 又 k1=2=- ,得 m=- , m+1 4

l 被 C 截得最短弦长为
2 r -d =2 25-[? 3-1? =2 20=4 5. 10.河道上有一座圆拱桥,在正常水位时,拱圈最高点距水面为 9 m,拱圈内水面宽 22 m.一条船在水面以上部分高 6.5 m,船顶部宽 4 m,故通行无阻.近日水位暴涨了 2.7 m, 为此,必须加重船载,降低船身,才能通过桥洞.试问:船身应该降低多少? 【解析】以正 常水位时,建立直角坐标系.
2 2 2

+? 1-2?

2

]

[来源:Zxxk.Com]

设拱桥所在的圆的方程为

x2+y2+D x+Ey+F=0,

?11D+F+121=0, ? 故?-11D+F+121=0, ?9E+F+81=0, ?

?D=0, ? 40 ? ?E= , 9 ?F=-121. ?

40 2 2 故拱桥所在的圆的方程是 x +y + y-121=0. 9 当 x=2 时,可得 y≈8.82. 故当水位暴涨 2.7 m 后,船身应该降低 6.5-(8.82-2.7)=0.38(m). 答:船身应降低 0.38 m,才能通过桥洞. (注:本题也可以通过几何方法直接求解) 11.(2009 高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1:(x+3) +(y-1) =4 和 圆 C2:(x-4) +(y-5) =4.
2 2 2 2

(1)若直线 l 过点 A(4,0),且被圆 C1 截得的弦长为 2 3,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分 别与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求 所有满足条件的点 P 的坐标. 【解析】(1)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交,所以直线 l 的斜率存在.设直线 l 的方程 为 y=k(x-4),圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d,因为直线 l 被圆 C1 截得的弦长为 2 3, 所以 d= 2 -?
2

3?

2

=1.

由点到直线的距离公式得

[来源:Z&xx&k.Com]

d=

|1-k? -3-4? | , 2 1+k

7 从而 k(24k+7)=0,即 k=0 或 k=- , 24 所以直线 l 的方程为 y=0 或 7x+24y-28=0. (2)设点 P(a,b)满足条件, 不妨设直线 l1 的方程为 y-b=k(x-a),k≠0,

1 则直线 l2 的方程为 y-b=- (x-a).因为圆 C1 和 C2 的半径相等,且直线 l1 被圆 C1 截

k

得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,所以圆 C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心 到直线 l2 的距离相等,即

?5+1? 4-a? -b? ? ? |1-k? -3-a? -b| ? k ?
1+k
2



1+

1



k2

整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|, 从而 1+3k+ak-b=5k+4-a-bk 或 1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk, 即(a+b-2)k=b-a+3 或 (a- b+8)k=a+b-5. 因为 k 的取值有无穷多个,所以
? ?a+b-2=0, ? ?b-a+3=0, ? ? ?a-b+8=0, ?a+b-5=0, ?

或?

?a=5, ? 2 解得? 1 ?b=-2, ?
这样点 P 只可能是点

?a=-3, ? 2 或? 13 ?b= 2 . ?
? 2
2?

1? ?5 ? 3 13? P1? ,- ?或点 P2?- , ?.

?2

2?

经检验点 P1 和 P2 满足题目条件. 12.(2011 新课标全国卷?文)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x -6x+1 与坐标轴 的交点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值. 【解析】(1)曲线 y=x -6x+1 与 y 轴的交点为(0,1),与 x 轴的交点为(3+2 2,0), (3-2 2,0). 故可设 C 的圆心为(3,t), 则有 3 +(t-1) =(2 2) +t , 解得 t=1. 则圆 C 的半径为 3 +? t-1?
2 2 2 2 2 2 2 2 2

=3.
2

所以圆 C 的方程为(x-3) +(y-1) =9. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组
?x-y+a=0, ? ? 2 ? ?? x-3? +? y-1?
2 2

=9.
2

消去 y,得方程 2x +(2a-8)x+a -2a+1=0.

由已知可得,判别式 Δ =56-16a-4a >0. ? 8-2a? ± 56-16a-4a 因此 x1,2= , 4 从而 x1+x2=4-a,x1x2=
2

2

a2-2a+1
2

.①

由于 OA⊥OB,可得 x1x2+y1y2=0. 又 y1=x1+a,y2=x2+a, 所以 2x1x2+a(x1+x2)+a =0.② 由①②得 a=-1.满足 Δ >0,故 a=-1.
[来源:Z#xx#k.Com]

2


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