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江苏省泗阳中学2013届高三第一次市统测模拟考试数学试题(普通班)


江苏省泗阳中学 2012-2013 学年度高三第一次市统测模拟考试

数 学 试 卷(普通班) (总分 160 分, 考试时间 120 分钟)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位 置上. 1.已知集合 P ? ??4, ?2,0,2,4?, Q ? ?x | ?1 ? x ? 3? ,则 P

? Q ? ▲ . ▲ .

2. 若复数 z1 ? a ? i, z2 ? 1 ? i( i 为虚数单位) 且 z1 ? z2 为纯虚数, , 则实数 a 的值为 3.如图所示的流程图中,输出的结果是 ▲ . 4.在学生人数比例为 2 : 3 : 5 的 A, B , C 三所学校中,用分层抽样方 法招募 n 名志愿者,若在 A 学校恰好选出了 6 名志愿者,那么 n ? ▲ . 开始

a←5,S←1 S←S×a a←a-1 a≥2 否 输出 S 结束
(第 3 题图)

1 2? ? ? ) ? , 则 cos( ? 2? ) 的值为 ▲ . 6 3 3 13? 6.已知等差数列 {an } 的前 13 项之和为 ,则 tan( 6 ? a7 ? a8 ) 等 a 4
5.若 sin( 于 ▲ . 7.已知 ? ? {( x, y) | x ? y ? 6, x ? 0, y ? 0} ,

?



A ? ?( x, y) | x ? 4, y ? 0, x ? 2 y ? 0?,若向区域 ? 上随机投一
点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为 ▲ . 2 y 8.若双曲线 x2 ? ? 1 的焦点到渐近线的距离为 2 2 ,则实数 k 的值 k 是 ▲ .

2 ? ? 9.已知命题 p : | 4 x ? 3 | ≤1;命题 q : x ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ≤0.若 q 是 p 的充分不

必要条件,则实数 a 的取值范围是





10. 已 知 圆 x2 ? y 2 ? m 与 圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 11 ? 0 相 交 ,则 实 数 m 的 取 值范 围 为 ▲ . 0 11.如图,在△ABC 中,∠ABC=90 ,AB=6,D 在斜边 BC 上,且 CD=2DB, 则 AB ? AD 的值为 ▲
3 2

. ▲ . ▲ .

12.若直线 y=x 是曲线 y=x —3x +px 的切线,则实数 p 的值为

2 13. 设 a ? R ,若 x ? 0 时,均有 ?(a ? 1) x ? 1?( x ? ax ? 1) ? 0 ,则 a 的值为

14.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 1,过正方形中心 O 的直线 MN 分别交

1

正方形的边 AB,CD 于点 M,N,则当

MN 取最小值时,CN= BN



.

二、 解答题: 本大题共 6 小题, 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 计 请把答案写在答题纸的指定区域内 15. (本题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A,B,C 成等差数列.

3 ,且 b ? 3 ,求 a+c 的值; 2 (2)若存在实数 m ,使得 2sin A ? sin C ? m 成立,求实数 m 的取值范围.
(1)若 AB ? BC ? ?

??? ??? ? ?

16.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 PAD ? 底面 ABCD ,且 PA ? PD , E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点. P (1)求证:直线 EF ∥平面 PAD ; E (2)求证:直线 EF ? 平面 PDC . D F A
第 16 题

C

B

17.(本小题满分 14 分) 如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 M 在 AB 的延长 线上,N 在 AD 的延长线上,且对角线 MN 过 C 点。已知 AB=3 米,AD=2 米。 (1)设 AN ? x (单位:米),要使花坛 AMPN 的面积大于 32 平方米,求 x 的取值范围; (2)若 x ? [3,4) (单位:米),则当 AM,AN 的长度分别是多少时,花坛 AMPN 的面积 最大?并求出最大面积。

N

P

D
2

C

A

B

M

18.(本题满分 16 分) 已知椭圆

x2 y 2 2 1 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 且过点 P( , ) , 记椭圆的左顶点为 2 a b 2 2 2

A.
(1) 求椭圆的方程; (2) 设垂直于 y 轴的直线 l 交椭圆于 B, C 两点, 试求 ?ABC 面积的最大值; (3) 过点 A 作两条斜率分别为 k1 , k2 的直线交椭圆于 D, E 两点, 且 k1k2 ? 2 , 求证: 直线 DE 恒过一个定点. y P · A O x

第 18 题

19. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ( a ? R ), g ( x) ? ln x .
3

(1)当 a ? 1 时,求 y ? g ( x) ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)若在区间[1, 2]上 f (x) 的图象恒在 g (x) 图象的上方,求 a 的取值范围; (3)设 h( x) ?| f ( x) | , x∈[-1, 1],求 h(x) 的最大值 F (a ) 的解析式.

3

20. (本题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 首项 a1 ?

1
3

3

, 公比为 3

1 3

的等比数列, bn ? 15log3 an ? t , 又 常数 t ? N ? ,

数列 ?cn ? 满足 cn ? an bn , (1)求证 ?bn ? 为等差数列; (2)若 ?cn ? 是递减数列,求 t 的最小值;(参考数据: 3 ? 1.442 ) (3)是否存在正整数 k ,使 Ck , Ck ?1 , Ck ?2 重新排列后成等比数列,若存在,求 k, t 的值, 若不存在,说明理由。

数学附加题部分 (本部分满分 40 分,考试时间 30 分钟)
21.[选做题] 在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在 答题纸的指定区域内. A. 选修 4-1:几何证明选讲(本小题满分 10 分) 如图,?PAQ 是直角, 圆O与 AP 相切于点 T, AQ 相交于两点 B, 求证: 平分 ?OBA 与 C。 BT

Q C


B.(选修 4—2:矩阵与变换)

B P T A
(第 21-A 题)

? 1? ?1 0 ? ?1 ? 已知矩阵 A ? ? ? , B ? ? 2 ? ,若矩阵 AB 对 ?0 2 ? ?0 1 ?
4

应的变换把直线 l : x ? y ? 2 ? 0 变为直线 l ' ,求直线 l ' 的方程.

C.(选修 4—4:坐标系与参数方程) 在极坐标系中,圆 C 的方程为 ? ? 4 2 cos(? ?

?
4

) ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴

的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? 被圆 C 截得的弦 AB 的长度.

?x ? t ?1 ( t 为参数),求直线 l ? y ? t ?1

D.选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分)
已知 a1 , a2 ??? an 都是正数,且 a1 ? a2 ??? an =1,求证: (2 ? a1 )(2 ? a2 ) ??? (2 ? an ) ? 3n

[必做题] 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22.(本小题满分 10 分) 如 图 所 示 , 在 棱 长 为 2 的 正 方 体 AC1 中 , 点 P、Q 分 别 在 棱 BC、CD 上 , 满 足

B1Q ? D1P ,且 PQ ? 2 .
(1)试确定 P 、 Q 两点的位置. A1 (2)求二面角 C1 ? PQ ? A 大小的余弦值. B1 C1 D1

A B Q P C
第 22 题

D

5

S 23.已知等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? 2 , 公比 q ? 3 , n 是它的前 n 项和.求证:

Sn?1 3n ? 1 ? . Sn n

6

参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位 置上. 1. ?0,2? 2. ? 1 3.120 4. 5. ?

7 9

6. ? 1

7.

8.

? 1? 9. ?0, ? ? 2?

10.

11. 24

12.

3 13. 2

5 ?1 14. 2

二、 解答题: 本大题共 6 小题, 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 计 请把答案写在答题纸的指定区域内 15. (1)? A、B、C 成等差数列,? 2 B ? A ? C , 又 A ? B ? C ? ? ,? B ? 由 AB ? BC ? ?

?
3



3 2? 3 ? ? , ? ac ? 3 . ① 得, c ? a cos 2 3 2
2 2 2

又由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos

?

3

,? 3 ? a 2 ? c 2 ? ac ,

?a2 ? c2 ? 6 . ②

由①、②得, a ? c ? 2 3 .

( 2 ) 2sin A ? sin C = 2sin A ? sin(

2? 3 1 ? A) ? 2sin A ? ( cos A ? sin A) 3 2 2

=

3 3 ? sin A ? cos A ? 3 sin( A ? ) , 2 2 6 3 2? ? ? ? ,?? ? A ? ? , ∴ 2sin A ? sin C 的取值范围为 (? , 3) . 3 6 6 2 2

?0 ? A ?
所以 ?

3 ?m? 3 2

16.证明:(Ⅰ)连结 AC ,在 ?CPA 中,因为 E , F 分别为 PC , AC 的中点, 所以 EF // PA …3 分 而 PA ? 平面 PAD , EF ? 平面 PAD ,……………6 分 ∴直线 EF ∥平面 PAD ……………………………7 分 (Ⅱ)因为面 PAD ? 面 ABCD ,面 PAD ? 面 ABCD ? AD ,

CD ? 面 ABCD ,且 CD ? AD ,
所以 CD ? 平面 PAD ,?CD ? PA ……………………………10 分

7

PA ? PD , CD ? PD ? D ,且 CD 、 PD ? 面 PDC ,所以 PA ? 面 PDC …12 分
而 EF ∥ PA ,所以直线 EF ? 平面 PDC ………………14 分 17.由于

3x DN DC ? , 则 AM= x?2 AN AM

故 SAMPN=AN?AM=

3x 2 …………4 分 x?2

(1)由 SAMPN

3x 2 > 32 得 > 32 , x?2

因为 x >2,所以 3x 2 ? 32 x ? 64 ? 0 ,即(3x-8)(x-8)> 0 从而 2 ? x ?

8 或 x?8 3 8 3

即 AN 长的取值范围是 (2, ) ? (8,+? ) …………8 分

(2)令 y=

3x 2 6 x( x ? 2) ? 3x 2 3(x ? 4) x ,则 y′= ………… 10 分 ? 2 x?2 ( x ? 2) ( x ? 2)2 3x 2 在 [3, 4) 上为单调递减函数, x?2

因为当 x ? [3, 4) 时,y′< 0,所以函数 y=

从而当 x=3 时 y=

3x 2 取得最大值,即花坛 AMPN 的面积最大 27 平方米, x?2
…………15

此时 AN=3 米,AM=9 米

? c ? 2 ? ? ? a ?1 2 ? a ? 2 1 ? ? 1 18.解:(1)由 ? 2 ? 2 ? 1 ,解得 ?b ? ,所以椭圆 C 的方程为 x2 ? 2 y 2 ? 1 ……4 分 2 ? ? 2a2 4b 2 ? ? a ? b2 ? c 2 ?c ? ? ? 2 ? 1 (2)设 B(m, n) , C (?m, n) ,则 S ?ABC ? ? 2 | m | ? | n |?| m | ? | n | ………………6 分 2
又 1 ? m2 ? 2n2 ? 2 2m2 n2 ? 2 2 | m | ? | n | , 所以 | m | ? | n |? 当且仅当 | m |? 从而 S?ABC ?

2 , 4

2 | n | 时取等号……………………8 分

2 2 , 即 ?ABC 面积的最大值为 ……………………… 9 分 4 4
8

(3)因为 A(-1,0),所以 AB : y ? k1 ( x ? 1), AC : y ? k2 ( x ? 1) , 由 ?

? y ? k1 ( x ? 1) , 消 去 y, 得 (1 ? 2k12 ) x2 ? 4k12 x ? 2k12 ?1 ? 0 , 解 得 x= - 1 或 x2 ? 2 y 2 ? 1 ?

1 ? 2k12 , x? 1 ? 2k12
∴点 B(

1 ? 2k12 2k1 , ) ………11 分 1 ? 2k12 1 ? 2k12 1 ? 2k22 2k2 , ) ,而 k1k2 ? 2 , 1 ? 2k22 1 ? 2k22

同理,有 C (

k12 ? 8 4k1 ∴ C( , ) …12 分 ∴直线 BC 的方程为 8 ? k12 8 ? k12
4k1 2k1 ? 2 2k1 8? k 1 ? 2k12 1 ? 2k12 y? ? 2 1 ? (x ? ), 1 ? 2k12 k1 ? 8 1 ? 2k12 1 ? 2k12 ? 8 ? k12 1 ? 2k12
即 y?

3k1 5k1 2k1 3k1 1 ? 2k12 ……14 分 x? ? ? (x ? ) ,即 y ? 2 2 2 2 2(k1 ? 2) 2(k12 ? 2) 1 ? 2k1 2(k1 ? 2) 1 ? 2k1

所以 2 yk12 ? (3x ? 5) k1 ? y ? 0 ,则由 ?

? y?0 5 ,得直线 BC 恒过定点 (? , 0) ……16 分 3 ?3x ? 5 ? 0

(注: 第(3)小题也可采用设而不求的做法,即设 D( x1 , y1 ), E( x2 , y2 ) ,然后代入找关系) 19. 解:(1) (2)? 在区间 [1, 2] 上 f ( x ) 的图象恒在 g ( x) 图象的上方

? x3 ? 3ax ? ln x 在 [1, 2] 上恒成立得 3a ? x 2 ?
2 设 h( x ) ? x ?

ln x 在 [1, 2] 上恒成立………7 分 x

1 ? ln x 2 x3 ? ln x ? 1 ln x ? 则 h?( x) ? 2 x ? x x2 x2

? 2x3 ?1 ? 0,ln x ? 0? h?( x) ? 0 ? h( x)min ? h(1) ? 1 ……………………9 分
?a ? 1 ……………………………10 分 3
3

(3)因 g ( x) ?| fx) |?| x ? 3ax | 在[?1,1]上是偶函数 故只要求在 0,1]上的最大值 , [

9

①当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0, f ( x)在[0,1]上单调递增且 (0) ? 0,? g ( x) ? f ( x) f

F (a) ? f (1) ? 1 ? 3a.
②当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 3x 2 ? 3a ? 3( x ? a )(x ? a ), (ⅰ) 当 a ? 1,即a ? 1

g ( x) ?| f ( x) |? ? f ( x),? f ( x)在[0,1]上单调递增 此时F (a) ? ? f (1) ? 3a ? 1 ,
(ⅱ)当 0 ? 递增; 1°当 f (1) ? 1 ? 3a ? 0, 即

a ? 1,即0 ? a ? 1 时, f ( x)在[0, a ]上单调递减 在 [ a ,1] 单调 ,
1 ? a ? 1 时, 3

g ( x) ?| f ( x) |? ? f ( x),? f ( x)在[0, a ]上单调递增 在[ a ,1]上单调递减 , , F (a) ? ? f ( a ) ? 2a a ;
2°当 f (1) ? 1 ? 3a ? 0, 即0 ? a ?

1 3

1 时, F (a) ? f (1) ? 1 ? 3a 4 1 1 (ⅱ)当 ? f ( a ) ? f (1) ? 1 ? 3a, 即 ? a ? 时, F (a) ? ? f ( a ) ? 2a a 4 3
(ⅰ)当 ? f ( a ) ? f (1) ? 1 ? 3a, 即0 ? a ?

综上

1 ? ?1 ? 3a, ( a ? 4 ) ? 1 ? F ( x) ? ?2a a , ( ? a ? 1) ………………16 分 4 ? ?3a ? 1, ( a ? 1) ? ?

20.(1) ?bn ? 为首项是 b1 ? t ? 5 ,公差 d ? 5 的等差数列 (2) bn ? t ? 5n , c n ? (t ? 5n)(

1
3

3

)n

cn ?1 ? cn ? (

5n ? 5 ? t 1 5 ? 5n ? t )( 3 ) n ? 0 恒成立,即 t ? ?5n ? 3 恒成立 3 3 3 3 ?1

t ? 6.3 ,故 t ? 7

10

? 1 ? ? 1 ? ②、若 ck ?1 是等比中项,则由 ck ? ck ? 2 ? ck ?12 得 x ? 3 ? ? ( x ? 10) ? 3 ? ? 3? ? 3?

k

k ?2

2? 1 ? ? ? x ? 5? ? 3 ? ? 3?

2k ? 2



简得 x( x ? 10) ? ? x ? 5? ,显然不成立.………………13 分
2

③、若 ck ? 2 是等比中项,则由 ck ? ck ?1 ? ck ? 22
? 1 ? ? 1 ? 得 x ? 3 ? ? ( x ? 5) ? 3 ? ? 3? ? 3?
k k ?1

? 1 ? ? ? x ? 10 ? ? 3 ? ? 3?
2

2k ? 4

化简得 2 x 2 ? 5 x ? 100 ? 0 ,因为 ? ? 52 ? 4 ? 2 ? 100 ? 25 ? 33 不是完全不方数,因而,x 的值 是无理数,显然不成立.……15 分 综上:存在 k ? 1, t ? 5 适合题意。………16 分

数学附加题部分 (本部分满分 40 分,考试时间 30 分钟)
21.[选做题] 在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在 答题纸的指定区域内. A. 选修 4-1:几何证明选讲(本小题满分 10 分) Q 连结 OT ,因为 AT 是切线,所以 OT ? AP .又因为 ?PAQ 是直角, C AB ? OT AQ ? AP 即 , 所 以 , 所 以
?TBA ? ?BTO .……………………………… 5 分

又 OT ? OB ,所以 ?OTB ? ?OBT , 所以 ?OBT ? ?TBA , 即 BT 平分 ?OBA .……………………………… 10 分 B.(选修 4—2:矩阵与变换)



B P T A
(第 21-A 题)

11

? ?1 0 ? ?1 易得 AB ? ? ? ?0 2 ? ?0 ?
AB 变换为

1? ? 1 2? ? ? ? ? 1 ? ?0

1? 2 ? ……3 分, ? 2?

在直线 l 上任取一点 P( x?, y?) ,经矩阵

1? 1 ? 1 ? ? ? ? ? x ? ?1 ? ? x ? ? ? x? ? 2 y?? ,∴ ? x ? x? ? 2 y? , 点 Q( x, y) ,则 ? ? ? 2 ? ? ? ? y ? ?0 2 ? ? y?? ? 2 y? ? ? y ? 2 y? ? ? ? ? ?

1 ? ? ?x ? x ? 4 y ? 即? ……8 分 ? y? ? y ? ? 2
代 入

x? ? y? ? 2 ? 0 中 得 x ?

1 y y ? ? 2 ? 0 , ∴ 直 线 l? 的 方 程 为 4 2

4 x ? y ? 8 ? 0 …………………10 分
C.(选修 4—4:坐标系与参数方程) 解: ? C 的方程化为 ? ? 4cos ? ? 4sin ? ,两边同乘以 ? ,得 ? 2 ? 4? cos? ? 4? sin ? 由

? 2 ? x2 ? y2 , x ? ? cos? , y ? ? sin ?

,



x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 0 ………………………………5 分
其圆心 C 坐标为 (2, 2) ,半径 r ? 2 2 ,又直线 l 的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 , ∴圆心 C 到直线 l 的距离 d ?

2 ? 2 ,∴弦长 AB ? 2 8 ? 2 ? 2 6 …………10 分 2

D.选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分)
因为 a 1 是正数,所以 2 ? a 1? 1 ? 1 ? a 1≥ 33 a 1 , 同理 2 ? a j ? 1 ? 1 ? a j≥ 33 a j ( j ? 2,3,?n) , 将上述不等式两边相乘,得 (2 ? a1 )(2 ? a2 ) ?(2 ? an ) ≥ 3n ? 3 a1 ? a2 ??? an , 因为 a1 ? a2 ? ??an ? 1,所以 (2 ? a1 )(2 ? a2 ) ?(2 ? an ) ≥ 3n .……………………10 分 [必做题] 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22.(本小题满分 10 分) 解 :(1) 以 AB, AD, AA 为 正 交 基 底 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 A ? xyz , 设 1 ……………………………5 分

??? ??? ???? ? ?

CP ? a (0 ? a ? 2) ,
12

???? CQ ? 2 ? a 2 , P(2, 2 ? a,0), Q(2 ? 2 ? a 2 , 2,0) , B1Q ? (? 2 ? a 2 , 2, ?2) ,

???? ? D1P ? (2, ?a, ?2) ,
∵ B1Q ? D1P ,∴ B1Q ? D1P ? 0 ,∴ ?2 2 ? a2 ? 2a ? 4 ? 0 ,解得 a ? 1 ……4 分 ∴PC=1,CQ=1,即 P、Q 分别为 BC , CD 中点…………………5 分 (2) 设 平 面 C1PQ 的 法 向 量 为 n ? (a, b, c) , ∵ PQ ? (?1,1,0), PC1 ? (0,1,2) , 又

???? ???? ?

?

??? ?

???? ?

? ??? ? ???? ? ? ? ??a ? b ? 0 ,令 c ? ?1 ,则 a ? b ? 2 , n ? (2, 2, ?1) ………8 分 n ? PQ ? n ? PC1 ? 0 ,∴ ? ?b ? 2c ? 0 ? ? ? 1 ∵ k ? (0,0, ?2) 为面 APQ 的一个法向量,∴ cos ? n, k ?? ,而二面角为钝角,故余弦值为 3 1 ? ……10 分 3
S 23.已知等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? 2 , 公比 q ? 3 , n 是它的前 n 项和.求证:
证明:由已知,得 Sn ? 3 ? 1 ,
n

Sn?1 3n ? 1 ? . Sn n

Sn?1 3n ? 1 3n ?1 ? 1 3n ? 1 ? 等价于 n ,即 3n ? 2n ? 1.(?) ……………………………2 分 ? Sn n 3 ?1 n
(方法一)用数学归纳法证明. ①当 n ? 1 时,左边 ? 3 ,右边 ? 3 ,所以( ? )成立…………………………………4 分 ②假设当 n ? k 时,( ? )成立,即 3 ? 2k ? 1
k

那么当 n ? k ? 1 时, 3k ? 3? 3k ? 3(2k ? 1) ? 6k ? 3 ? 2k ? 3 ? 2(k ? 1) ? 1 所以当 n ? k ? 1 时,( ? )成立…………………………………………………………8 分 综合①②,得 3n ? 2n ? 1 成立 所以

Sn?1 3n ? 1 ? .…………………………………………………………………… 10 分 Sn n

(方法二)当 n ? 1 时,左边 ? 3 ,右边 ? 3 ,所以( ? )成立……………………4 分 当 n ? 2 时, 3 ? (1 ? 2) ? Cn ? Cn ? 2 ? Cn ? 2 ? ?? Cn ? 2
n 2 0 1 2 2 n n

? 1 ? 2n ? ? ? 1 ? 2 n
所以

Sn?1 3n ? 1 ? .…………………………………………………………………… 10 分 Sn n
13

14


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