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第一轮复习《直线和圆的方程及线性规划》基础知识


基础—综合—能力—创新

《直线和圆的方程》基础知识
一.圆的定义: 二.圆的标准方程: 1.圆心在原点 O ,半径为 r 的圆的标准方程: 2.圆心在点 C ( a , b ), 半径为 r 的圆的标准方程: 三.圆的一般方程:将圆的标准方程展开整理即可得圆的一般方程的基本形式: 即 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 1.一般

的二元二次方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆所满足的条件是: 注:圆的一般方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 配方为 ( x ? 可得圆的圆心坐标为: 半径 r ?
D 2 ) ? (y ?
2

E 2

)

2

?

1 4

D

2

? E

2

? 4F ,

2.更一般的二元二次方程 Ax 2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆所满足的条件是: 1) 2) 3) 3.解决圆的方程的方法有:1)几何法:根据几何条件,直接求出圆心坐标和半径 2)待定系数法:即选取标准式与一般式中的某一种,代入条件,分别求出 a , b , r 或 D , E , F 4.圆的方程设法的选择:实际上就是“待定系数”法 1)通常,题目条件中涉及到圆心的位置和半径大小的,就设标准式。否则,就设一般式 2)一般地,题目条件中涉及到圆经过两个及两个以上点的,设一般式 四.直线与圆的位置关系判断: (一).判别式法:将圆的方程和直线的方程联立,消去 x 或 y ,看判别式 ? 的正负 情况: 当? ? 0 当? ? 0 当? ? 0 (二).几何法:先计算圆心 C 到直线 L 的距离 d ,再与圆的半径 r 进行比较: 当 d ? r 时, 当 d ? r 时, 当 d ? r 时, 五.两圆的位置关系:判断方法有几何法与代数法,主要用几何法. (一)设圆 C 1 的半径为 R ; 圆 C 2 的半径为 r ( R ? r ),两圆圆心之间的距离 C 1 C 2 ,则: 1.当 时,两圆外离; 2.当 3.当 时,两圆相交; 4.当 5.当 时,两圆内含,特殊地,当 (二)两圆在各种情况下公切线的条数: 两圆的位置关系 相离 公切线的条数 注意:两圆公切线方程的求法: 外切 相交 内切 时,两圆外切; 时,两圆内切; 时,两圆同心

内含

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六.圆的切线方程: (一)过圆上一点的切线方程: 1.过圆 x 2 ? y 2 ? r 2 上一点 P ( x 0 , y 0 ) 的切线方程:

2.过圆 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2 上一点 P ( x 0 , y 0 ) 上一点的切线方程: (二)过圆外一点 P ( x 0 , y 0 ) 作圆的切线,有两条,其切线方程的求法如下:先根据已知的一点
P ( x 0 , y 0 ) 设出切线 L

的点斜式方程,再根据圆心 C 到切线 L 的距离等于半径 r ,从而求出切

线的斜率 k ,进而求出切线 L 的方程 注:过圆外一点 P ( x 0 , y 0 ) 作圆 C : x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的切线,有两条,其切线的长度 为L ?
x 0 ? y 0 ? Dx 0 ? Ey
2 2 0

? F

(三)切点弦的方程:

七.圆或圆系方程的设法: (一)经过直线 L : Ax ? By ? C ? 0 与圆 C : x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的两个交点 P , Q 所作新 圆的方程的设法:

(二)经过两圆 C 1 : x 2 ? y 2 ? D 1 x ? E 1 y ? F1 ? 0 和 C 2 : x 2 ? y 2 ? D 2 x ? E 2 y ? F 2 ? 0 的两个交 点 P , Q 所作新圆的方程的设法:

注:经过两圆 C 1 : x 2 ? y 2 ? D 1 x ? E 1 y ? F1 ? 0 和 C 2 : x 2 ? y 2 ? D 2 x ? E 2 y ? F 2 ? 0 的两个交 点 P , Q 的公共弦所在的直线方程为 (三)几种特殊条件下圆的方程的设法: 1.经过原点: 2.圆心在 x 轴上: 3.圆心在 y 轴上: 4.与 x 轴相切: 5.与 y 轴相切: 6.与 x 轴, y 轴都相切:

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7.圆心在 x 轴上,且与 y 轴相切: 8.圆心在 y 轴上,且与 x 轴相切: 9.已知 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 以线段 AB 为直径的圆的方程:


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