当前位置:首页 >> 高一数学 >> 高一奥数方法讲解

高一奥数方法讲解


高一奥数学习中的学法指导 学习中的学法指导 内容综述 就数学学法中常用的几个策略作了介绍。 第一就是要不断掌握有用的先进武器——数学公式、定理; 第二, 要加强对数学概念的学习理解, 在一些利用概念分析, 可能减少计算一的试题中, 应尽量减少计长算量,提高解题效率; 第三,提供了一个面对较难试题的思维策略:反客为主,欲擒故纵…… 第四,其它 要点讲解 武器精, §1. 武器精,巧解题 若能不断掌握一些有用的课外公式,无论是解高考试题,还是解数竞试题都是有用的, 尤其是高考现今强调创新,出活题考能力;而高中数竞一试又往高考靠,并且数竞从来就 是在出活题考能力(当然它要求的知识面更广,基础更坚深) ,二者关系极为密切,这一节, 我们介绍两个课外的有用公式实理,供大家参考。

公式 1,等差数列 ,

中,



证明

例1.

设等差数列

满足



Sn 为其前 n 项之和, Sn 中最大者。 求

(1995 高中全国数竞赛题) 分析:若等差数列 中,满足

则 Sn 最大。或当 Sn=Sm 时,

取最大值

解: 由题设: 得: 故由等差数列前 n 项和是二次函数,可见 说明,本题若用常规解法,就需由题设 是最大和 ,求得

再去解 求得 n=20.计算量较大。

例2.

等差数列



的前 n 项和分别为 Sn 与 Tn,



(1995 年全国高考试题)

分析 本题若按解答题做,推理、论证计算相当繁杂,但若利用公式①就非常简单





例3.

设等差数列的前 n 项和为 Sn,已知 求公差 d 的取值范围。

,

解:



又∵



公式 2,三面角余弦公式 在如图三面角 O—ABC 中。设面角∠AOB=Q, ∠AOC=Q1,∠BOC=Q2, 二面角 A—OC—B 大小为 ,则有公式 ,②

称为三面角余弦公式或三射线定理。当

时,就是主几课本中复习题的公式。

它的证明可在如图的基础上,作 CA、CB 分别垂直 OC、于 C、连 AB,分别在△AOB、△ AOC、△BOC 得用三角函数可分别将 AB、BC、AC 用 Q、Q1、Q2 及 OC 的关系表出,最 后再在△ABC 中利用余弦定理求得公式② 本公式无论在高考试题还是竞赛试题,多有应用。 例 4.已知二面角 M—AB—N 是直二面角,P 是棱上一点,PX、PY 分别在平面 M、N 内,且 。求 大小?(1964,北京赛题)

解:利用三面角余弦公式 得





5. 已 知 四 面 体

S—ABC

中 ,



,设以 SC 为棱的二面角为 ,求 与 、β关系。

解:由三面角余弦公式及题设, 得 ,

, 故有 解之,得

例 6. 已知正四棱锥 P—ABCD 的侧面与底面夹角为 L,相邻两侧面的夹角为β, 求证: 作 OE⊥AD, 则 PE⊥AD, 从而∠PEO 是侧面与底面所成角 ; 作 BF⊥PC,连 DF,易证∠DFB 即两侧面间所成二面角的平面角β. (1981 上海竞赛题)

证:设 PO 是棱锥的高,O 是底面 ABCD 的对角线交点

设侧棱长为 a,底面边长为 b。则侧高为

,则由三面角余弦公式有

=

=

= 又由三面角 P—BCD 知



例 7.如图正方形 ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面成 与 BF 所成角的余弦是_____________。 (1996 年全国高考试题)

面角, 则异面直线 AD

解 ∵AD,BF 所成角,即 BC 与 BF 所成角,由三面角余弦公式,有

说明:由上面几道在高中竞赛或全国高考试题解答中,显然课外的公式,担供了极其 简捷的解法,若不用这二公式,尽管问题也能解决,但要繁杂得多 这里我们才给了两个课外的有用公式,在本教程的其它章节,更介绍了许多有用的方 法和公式定理,也希望同学们在今后的解题实践中,不断总结,发现更多更好的解题方法, 策略和武器,为不好数学,争取得更大成绩而努力,

§2 大概念 小计算 要学好数学,一定要重视概念的学习 例 8.已知集合

的值。 (1987.全国赛题改编) 分析:根据集合元素的互异性,由 N 知 X,Y 皆不为 0,又由 M=N,故知 ,从而 xy=1,进而 x、y 可求 解:由题设知 x、y≠且 xy=1, ∵ ∴ 且 M=N, 解方程组 可见

。 得 x=y=-1,舍去 x=y=1(∵与元素互异矛盾) 代入原式=-2+2-2+…-2= -2. 说明:这时重在概念分析,计算量较小。 也可发先就 x、y 是否为 1 讨论后得出原式=4002





进而去求 x、y 的值,舍去 4002-解,得出-2 的正确结论。

例 9.过抛物线

的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与

FQ 的长分别是 p、q,求 (2000 年全国高考)

的值。

分析:本题若按解答题作,需对一般情况进行计算,比较繁杂,而若概念清楚,再结 合抛物线道径长,可见令 p=q 即可迅速求解。

解 令 p=q,则

由抛物线 应选 C。

,可见

,根据通径长为



例 10 如图, OA 是圆锥底面中心 O 到母线的垂线,OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分 成体积相等的两部分。求母线与轴的夹角的余弦值。

分析:若能洞察旋转体体积求法真谛,本题从题 设可转化为以 PO 原圆锥体积之半,

于是可轻松地得出方程:

解 设原圆锥母线长为 1, 则底半径经 ,设 AD⊥PO 于 D,则

, 为圆锥顶角之半) 高 ( , 于是



由 解得

,得 ,

应选 C 说明:在这一节中,我们主要介绍了解题中减少计算量的一种方法,希望同学们加强 概念理解,尽量通过多思,找到巧解妙算解决问题的办法。在今后的章节中,我们还会介 绍更多的不同于课内知识的数学概念和方法,希望大家能够认真学习,掌握各类问题的解 法。

反客为主, §3 反客为主,欲擒故纵 数学习题的解决,往往都不是一帆风顺而是充满艰险的。 数学习题的解决,往往都不是一帆风顺而是充满艰险的。

例 11.若 试求 的值 分析 欲求有关 的下弦,要先去求有关β的函数关系β( ),然后再消去β从而得出 的欲求值,这种策略,不妨称之为“反客为主,欲擒故纵, ”在很我场合这种策略行之有效。 解 由①得

由②得

. 于是

化简得



(已舍绝对值>1 的另根)

例 12.已知 求证: 分析 题设中有 的三角函数,并有参数 a、b、c。但题断中不含 应设法消去 ,为此应先求出 证:由已知易得 的三角函数,可见 。

关于 a、b、c 的关系,再设法消去

由①可见

代入②,再化简即得

说明:这一节,我们介绍了一种遇到疑难问题时,可能采用的解决问题的思想方法, 也即是战争中的正面强改不下时,就考虑迂回进攻的战略战术,在数学竞赛试题的解决中, 应时刻准备应予这种情况的出现。

例 13.当 x=-1, x=0, x=1, x=2 时,多项式 对于所有整数 X,这个多项式都取整数值。 (1988 俄) 证:注意到 由题设知 d=p(0), a+b+c+d=p(1), 都是整数,故 a+b+c 也是整数。又 p(-1)=2b-(a+b+c)+d 是整数,故 2b 也是整数,而 p(2)=6a+2b+2(a+b+c)+d

取整数值,求证:

(★)

是整数,可见 6a 也是整数。又易证 可证各 P(x)是整数。

是整数,从而由(★)

说明 为证 P(x)是整数,就需证明 a、b、c、d 是整数系数,这里借助于构造★式,转 证 6a、2b,a+b+c,d 为整数,从而证出 p(x)是整数,这也是迂回证法,竞赛数字中采用 的方法很多,希望大家认真,能认真坚持学习。 1.①试通过已知锥体,台体公式,概括出一般的拟柱体公式

其中

分别表示上、下底面积,

表示中截面积。

②用上述公式求解 若三棱柱 ABC— 体积为 , 的两部分,则 中,若 E、F 分别为 AB,AC 中点,平面 E : =________.(1990 年全国高考题) F 将三棱柱分成

★★2.设|m|≤2,试求关于 x 的不等式

恒成立的 x 取值范围 ★★3.关于 x 的方程

有实根,求实数 a 的取值范围.

五.解答式提示

1.①注意利用



②特殊化原三棱柱为边长为 2 的正三棱柱,易求得 柱体公式,得 2.构造函数

,代入拟

,求系数 x 范围。

(Ⅰ)当|x|>1 时,

(Ⅱ)当|x|<1 时, (Ⅲ)|x|=1 时, X=1

综上,

,原命题成立。

3.解关于 a 的方程,得 (Ⅰ)当 (Ⅱ) 时,



(Ⅲ)又由 可见 时 故


赞助商链接
更多相关文档:

2018届高一数学奥数培训计

为此,针对我校高一学生数学的奥数培训将着重于数学思想方法 的培训。 这里的思想...二、授课内容: 第一讲:集合间的关系与运算 第二讲:集合中参数的求值问题 第...

奥数题(高难度)_图文

奥数题(高难度)_高二数学_数学_高中教育_教育专区...其解法如下: 方法 1:2× 70+3× 21+2× 15=...这在以前讲沙漏原理或者三角形等积变形等专题的时候...

经典高中奥数函数

经典高中奥数函数_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 经典高中奥数函数_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 ...

奥数金牌之路:高中数学奥林匹克竞赛指导(周沛耕)_undef...

奥数金牌之路:高中数学奥林匹克竞赛指导(周沛耕)课程 5 课时数89课时 在学...周老师数学讲的超赞的,听了周老师的课自己豁然开朗。 三好学生2015-08-31 05...

高一数学试卷奥数

高一数学试题 1.从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球,那么...高一奥数方法讲解 11页 免费 高一年级奥数——例题 4页 免费 2006高中奥数联赛...

高中奥数《平面几何图形集》竞赛辅导专家精品讲义教案

P M B R N C O 4.(圆、平行线与角,证一角为锐角或钝角的方法,射影...上海奥数 第14讲义... 1187人阅读 11页 免费 2013高中数学奥数培训...

奥数题(附答案)

奥数题(附答案) - 初一奥数题(附答案) 2.设 a,b,c 为实数,且|a|+a=0,|ab|=ab,|c|-c=0,求代数式|b|-|a+b|-|c-b| +|a-c|的值. 3.若...

奥数

奥数_高一数学_数学_高中教育_教育专区。(1)一工人工作 7 天,老板有一段黄金...(4)有若干根不均匀的绳子,每根绳子烧完的时间是一个小时,用什么方法确定一段...

级奥数题集锦(一)

奥数题集锦(一)_高中教育_教育专区。速算与巧算(一) 一,基础知识: “凑整”先算: “好朋友”要在一起哦! (例如:19 和 81、23 和 77) 二,讲练结合...

2013高中数学奥数培训资料之向量与向量方法

兰州成功私立中学高中奥数辅导资料 (内部资料)§10 向量与向量方法(一) 1.2004 年上海春季高考题) ΔABC 中, (在 有命题① A B ? A C ? B C ; A B...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com