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高中数学竞赛辅导讲义第八讲 平面向量


第八章
一、基础知识 定义 1

平面向量

既有大小又有方向的量,称为向量。画图时用有向线段

来表示,线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面 加箭头,或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量,如 a. |a|表示向量的模,模为零的向量称为零向量,规定零向量的方向是 任意的。零向量和零不

同,模为 1 的向量称为单位向量。 定义 2 方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量) ,

规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。 定理 1 向量的运算,加法满足平行四边形法规,减法满足三角

形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。 定理 2 a= lb. f 定理 3 平面向量的基本定理,若平面内的向量 a, b 不共线,则 非零向量 a, b 共线的充要条件是存在实数 l ? 0,使得

对同一平面内任意向是 c,存在唯一一对实数 x, y,使得 c=xa+yb, 其中 a, b 称为一组基底。 定义 3 向量的坐标,在直角坐标系中,取与 x 轴,y 轴方向相

同的两个单位向量 i, j 作为基底,任取一个向量 c,由定理 3 可知存 在唯一一组实数 x, y,使得 c=xi+yi,则(x, y)叫做 c 坐标。 定义 4 向量的数量积,若非零向量 a, b 的夹角为 q ,则 a, b 的

数量积记作 a· b=|a|· |b|cos q =|a|· |b|cos<a, b>, 也称内积, 其中|b|cos q 叫做 b 在 a 上的投影(注:投影可能为负值) 。 定理 4 平面向量的坐标运算:若 a=(x1, y1), b=(x2, y2),

1.a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2), 2.λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c, 3.a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=
x1 x 2 + y1 y 2
2 2 x + y12 × x 2 + y 2 2 1

(a, b ? 0),

4. a//b ? x1y2=x2y1, a ^ b ? x1x2+y1y2=0. 定义 5 若点 P 是直线 P1P2 上异于 p1,p2 的一点,则存在唯一实

数 λ,使 P1 P = l PP2 ,λ 叫 P 分 P1 P2 所成的比,若 O 为平面内任意一 点,则 OP =
OP1 + l OP2 。由此可得若 P1,P,P2 的坐标分别为(x1, y1), 1+ l

ì x1 + lx 2 ?x = x - x1 y - y1 1+ l (x, y), (x2, y2),则 ? .l = . = í x2 - x y 2 - y ? y = y1 + ly 2 ? 1+ l ?

定义 6

设 F 是坐标平面内的一个图形,将 F 上所有的点按照向

量 a=(h, k)的方向,平移|a|= h 2 + k 2 个单位得到图形 F ' ,这一过程叫 做平移。设 p(x, y)是 F 上任意一点,平移到 F ' 上对应的点为 p' ( x' , y ' ) , 则í
ì x' = x + h 称为平移公式。 ? y' = y + k

定理 5 |a+b|≤|a|+|b|.

对于任意向量 a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|,并且













2 2 |a|2· 2-|a· 2= ( x12 + y12 )( x 2 + y 2 ) -(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0, |b| b| 又|a· b|≥0,

|a|·|b|≥0, 所以|a|·|b|≥|a·b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注: 本定理的两个结论均可推广。 对 n 维向量, 1, x2,…,xn), 1) a=(x b=(y1, y2, …, yn),同样有|a·b|≤|a|·|b|,化简即为柯西不等式:
2 2 2 2 ( x12 + x 2 + L + x n )( y12 + y 2 + L + y n ) ? (x1y1+x2y2+…+xnyn) ≥0,又|a·b|≥0,

2

|a|·|b|≥0, 所以|a|·|b|≥|a·b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注: 本定理的两个结论均可推广。 对 n 维向量, 1) a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn),同样有|a·b|≤|a|·|b|,化简即为柯西不等式:
2 2 2 2 ( x12 + x 2 + L + x n )( y12 + y 2 + L + y n ) ? (x1y1+x2y2+…+xnyn) 。

2

2)对于任意 n 个向量,a1, a2, …,an,有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+… +|an|。 二、方向与例题 1.向量定义和运算法则的运用。 例 1 设 O 是 正 n 边 形 A1A2 … An 的 中 心 , 求 证 :

OA1 + OA2 + L + OAn = O.

【证明】 记 S = OA1 + OA2 + L + OAn ,若 S ? O ,则将正 n 边形绕 中心 O 旋转
S = O. 2p 后与原正 n 边形重合,所以 S 不变,这不可能,所以 n

例 2

给定 △ABC,求证:G 是 △ABC 重心的充要条件是

GA + GB + GC = O.

【证明】必要性。如图所示,设各边中点分别为 D,E,F,延长 AD 至 P,使 DP=GD,则 AG = 2GD = GP. 又因为 BC 与 GP 互相平分, 所以 BPCG 为平行四边形,所以 BG // PC,所以 GB = CP. 所以 GA + GB + GC = GC + CP + PG = O. 充分性。若 GA + GB + GC = O ,延长 AG 交 BC 于 D,使 GP=AG, 连结 CP, GA = PG. 因为 GC + PG + PC = O , GB = PC , 则 则 所以 GB // CP, 所以 AG 平分 BC。 同理 BG 平分 CA。 所以 G 为重心。 例3 在凸四边形 ABCD 中,P 和 Q 分别为对角线 BD 和 AC 的

中点,求证:AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。 【证明】 如图所示,结结 BQ,QD。

因为 BP + PQ = BQ, DP + PQ = DQ ,

所以 BQ + DQ = ( BP + PQ) 2 + ( DP + PQ) 2 = BP + DP + 2 PQ + 2 BP · PQ + 2 DP × PQ = BP + DP + 2 PQ + 2( BP + DP) × PQ = BP + DP + 2 PQ . 又因为 BQ + QC = BC , BQ + QA = BA, QA + QC = O, 同理
BA + BC = QA + QC + 2BQ , CD + DA = QA + QC + 2QD ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2



② ③
2 2

由①,②,③可得 BA + BC + CD = 4QA + 2( BQ + QD )
= AC + 2(2 BP + 2 PQ ) = AC + BD + 4 PQ 。得证。
2 2 2 2 2 2

2.证利用定理 2 证明共线。 例4
△ABC 外心为 O,垂心为 H,重心为 G。求证:O,G,H

为共线,且 OG:GH=1:2。 【证明】
1 3

首先 OG = OA + AG = OA + AM
1 3

2 3

= OA + ( AB + AC ) = OA + (2 AO + OB + OC )
1 = (OA + OB + OC ). 3

其次设 BO 交外接圆于另一点 E,则连结 CE 后得 CE ^ BC. 又 AH ^ BC,所以 AH//CE。 又 EA ^ AB,CH ^ AB,所以 AHCE 为平行四边形。 所以 AH = EC ,

所以 OH = OA + AH = OA + EC = OA + EO + OC = OA + OB + OC , 所以 OH = 3OG , 所以 OG 与 OH 共线,所以 O,G,H 共线。 所以 OG:GH=1:2。 3.利用数量积证明垂直。 例5 【 给定非零向量 a, b. 求证:|a+b|=|a-b|的充要条件是 a ^ b. 证 明 】

|a+b|=|a-b| ? (a+b)2=(a-b)2 ? a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2 ? a·b=0 ? a ^ b. 例6 已知△ABC 内接于⊙O,AB=AC,D 为 AB 中点,E 为

△ACD 重心。求证:OE ^ CD。

【证明】
1 2

设 OA = a, OB = b, OC = c ,

则 OD = (a + b) ,
OE = 1é 1 1 1 ù 1 êa + c + 2 (a + b)ú = 3 c + 2 a + 6 b. 3? ? 1 2

又 CD = (a + b) - c , 所以 OE × CD = ? a + c + b ? × ? a + b - c ? ? ÷ ? ÷
1 è2 = = 1 3 1 1 6 ? è2 1 2 ? 1 2 1 2 1 2 1 1 a + b - c + a ×b - a ×c 4 12 3 3 3 1 a·(b-c). 3

(因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2)

又因为 AB=AC,OB=OC,所以 OA 为 BC 的中垂线。 所以 a·(b-c)=0. 所以 OE ^ CD。 4.向量的坐标运算。 例7 已知四边形 ABCD 是正方形,BE//AC,AC=CE,EC 的延

长线交 BA 的延长线于点 F,求证:AF=AE。 【证明】 如图所示,以 CD 所在的直线为 x 轴,以 C 为原点建 立直角坐标系,设正方形边长为 1,则 A,B 坐标分别为(-1,1)和 (0,1) ,设 E 点的坐标为(x, y) ,则 BE =(x, y-1), AC = (1,-1) ,因为
BE // AC ,所以-x-(y-1)=0.

又因为 | CE |=| AC | ,所以 x2+y2=2. 由①,②解得 x =
1+ 3 1- 3 ,y = . 2 2

所以 AE = ? ?

? 3 + 3 -1- 3 ? ÷, | AE | 2 = 4 + 2 3. , ÷ 2 è 2 ? 1- 3 1+ 3 x'= 0. 2 2

设 F (x' ,1) ,则 CF = (x' ,1) 。由 CF 和 CE 共线得 所以 x' = -(2 + 3 ) ,即 F (-2 - 3 ,1) , 所以 | AF | 2 =4+ 2 3 =| AE | 2 ,所以 AF=AE。 三、基础训练题

1.以下命题中正确的是__________. ①a=b 的充要条件是|a|=|b|, 且 a//b;②(a·b)·c=(a·c)·b;③若 a·b=a·c,则 b=c;④若 a, b

不共线, xa+yb=ma+nb 的充要条件是 x=m, y=n; 则 ⑤若 AB = a, CD = b , 且 a, b 共线,则 A,B,C,D 共线;⑥a=(8, 1)在 b=(-3, 4)上的投影 为-4。 2.已知正六边形 ABCDEF,在下列表达式中:① BC + CD + EC ; ② 2 BC + DC ;③ FE + ED ;④ 2 ED - FA 与 AC ,相等的有__________. 3.已知 a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·b=0,则|x|+|y|=__________. 4.设 s, t 为非零实数,a, b 为单位向量,若|sa+tb|=|ta-sb|,则 a 和 b 的夹角为__________. 5.已知 a, b 不共线,MN =a+kb, MP =la+b,则“kl-1=0”是“M, N,P 共线”的__________条件. 6. △ABC 中, 是 AC 中点, 是 AB 的三等分点, BN = 2 NA , 在 M N 且 BM 与 CN 交于 D,若 BD = l BM ,则 λ=__________. 7. 已知 OA, OB 不共线, C 分 AB 所成的比为 2, = l OA + m OB , 点 OC 则 l - m = __________. 8.已知 OA = a, OB =b, a·b=|a-b|=2,当△AOB 面积最大时,a 与 b 的夹角为__________. 9. 把函数 y=2x2-4x+5 的图象按向量 a 平移后得到 y=2x2 的图象, c=(1, -1), 若 a ^ b ,c·b=4,则 b 的坐标为__________. 10.将向量 a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转 得到向量 b,则 b 的坐标为__________.
p 4

11.在 Rt△BAC 中,已知 BC=a,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,试问 PQ 与 BC 的夹角 q 取何值时 BP × CQ 的值最大?并求出这 个最大值。 12 . 在 四 边 形 ABCD 中 , AB = a, BC = b, CD = c, DA = d , 如 果 a·b=b·c=c·d=d·a,试判断四边形 ABCD 的形状。

四、高考水平训练题 1. O 是平面上一定点, B, 是此平面上不共线的三个点, 点 A, C 动点 P 满足 OP = OA + l ? ?
? AB è | AB | + AC ? ÷, l ? [0,+? ). 则点 P 的轨迹一定通过 | AC | ÷ ?

△ABC 的________心。

2.在△ABC 中, AB = a, BC = b ,且 a·b<0,则△ABC 的形状是 __________. 3.非零向量 OA = a, OB = b ,若点 B 关于 OA 所在直线对称的点为 B1,则 OB1 =__________. 4.若 O 为△ABC 的内心,且 (OB - OC ) × (OB + OC - 2OA) = O ,则
△ABC 的形状为__________.

5.设 O 点在△ABC 内部,且 OA + 2OB + 3OC = O ,则△AOB 与
△AOC 的面积比为__________.

6.P 是△ABC 所在平面上一点,若 PA × PB = PB × PC = PC × PA ,则

P 是△ABC 的__________心. 7.已知 OP = (cos q , sin q ), OQ = (1 + sin q ,1 + cos q )(q ? [0, p ]) ,则| PQ |的 取值范围是__________. 8.已知 a=(2, 1), b=(λ, 1),若 a 与 b 的夹角为锐角,则 λ 的取值 范围是__________. 9.在△ABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM=2,则
OA × (OB + OC ) 的最小值为__________.

10. 已知集合 M={a|a=(1, 2)+ λ(3, 4), λ∈R}, 集合 N={a|a=(-2, -2)+ λ(4, 5), λ∈R},mj M I N=__________. 11.设 G 为△ABO 的重心,过 G 的直线与边 OA 和 OB 分别交 于 P 和 Q,已知 OP = xOA, OQ = yOB ,△OAB 与△OPQ 的面积分别为 S 和 T, (1)求 y=f(x)的解析式及定义域; (2)求 的取值范围。 12 . 已 知 两 点 M ( -1 , 0 ) N ( 1 , 0 ) 有 一 点 P 使 得 , ,
MP × MN , PM × PN , NM × PN 成公差小于零的等差数列。 T S

(1) 试问点 P 的轨迹是什么? (2) 若点 P 坐标为(x0, y0), q 为 PM 与 PN 的夹角,求 tan q .

五、联赛一试水平训练题

1.在直角坐标系内,O 为原点,点 A,B 坐标分别为(1,0) , (0,2) ,当实数 p, q 满足 + = 1 时,若点 C,D 分别在 x 轴,y 轴 上,且 OC = pOA, OD = qOB ,则直线 CD 恒过一个定点,这个定点的坐 标为___________. 2.p 为△ABC 内心,角 A,B,C 所对边长分别为 a, b, c. O 为 平面内任意一点,OA = x, OB = y, OC = z. 则 OP =___________(用 a, b, c, x, y, z 表示). 3.已知平面上三个向量 a, b, c 均为单位向量,且两两的夹角均 为 1200,若|ka+b+c|>1(k∈R),则 k 的取值范围是___________. 4.平面内四点 A,B,C,D 满足 | AB |= 3, | BC |= 7, | CD |= 11, | DA |= 9 , 则 AC × BD 的取值有___________个. 5.已知 A1A2A3A4A5 是半径为 r 的⊙O 内接正五边形,P 为⊙O 上任意一点,则 | PA1 | 2 + | PA2 | 2 + | PA3 | 2 + | PA4 | 2 + | PA5 | 2 取值的集合是 ___________. 6.O 为△ABC 所在平面内一点,A,B,C 为△ABC 的角,若 sinA·OA +sinB·OB +sinC·OC = O , 则点 O 为△ABC 的___________ 心. 7.对于非零向量 a, b, “|a|=|b|”是“(a+b) ^ (a-b)”的___________ 条件. 8. △ABC 中,AB = a, BC = c, CA = b , 在 又(c· (b· (a· b): a): c)=1:
1 p 1 q

2:3,则△ABC 三边长之比|a|:|b|:|c|=____________. 9.已知 P 为△ABC 内一点,且 PA + 2 PB + 3PC = O ,CP 交 AB 于 D,求证: DP = PC. 10.已知△ABC 的垂心为 H,△HBC,△HCA,△HAB 的外心 分别为 O1, 2, 3, HA = a, HB = b, HC = c, HO1 = p , O O 令 求证:1) ( 2p=b+c-a; (2)H 为△O1O2O3 的外心。 11.设坐标平面上全部向量的集合为 V,a=(a1, a2)为 V 中的一个 单位向量,已知从 V 到 V ' 的变换 T,由 T(x)=-x+2(x·a)a(x∈V)确定, (1)对于 V 的任意两个向量 x, y, 求证:T(x)·T(y)=x·y; (2)对于 V 的任意向量 x,计算 T[T(x)]-x; (3)设 u=(1, 0); V = (0,1) ,若 T (u ) = V ,求 a. 六、联赛二试水平训练题 1.已知 A,B 为两条定直线 AX,BY 上的定点,P 和 R 为射线 AX 上两点,Q 和 S 为射线 BY 上的两点, T 分别为线段 AB,PQ,RS 上的点,
AP AR = 为定比,M,N, BQ BC

AM PN RT = = 为另一定比,试 MB NQ TS

问 M,N,T 三点的位置关系如何?证明你的结论。 2.已知 AC,CE 是正六边形 ABCDEF 的两条对角线,点 M,N 分别内分 AC,CE,使得 AM:AC=CN:CE=r,如果 B,M,N 三点 共线,求 r.

3.在矩形 ABCD 的外接圆的弧 AB 上取一个不同于顶点 A,B 的点 M,点 P,Q,R,S 是 M 分别在直线 AD,AB,BC,CD 上的 射影,求证:直线 PQ 与 RS 互相垂直。 4.在△ABC 内,设 D 及 E 是 BC 的三等分点,D 在 B 和 F 之 间,F 是 AC 的中点,G 是 AB 的中点,又设 H 是线段 EG 和 DF 的 交点,求比值 EH:HG。 5.是否存在四个平面向量,两两不共线,其中任何两个向量之 和均与其余两个向量之和垂直? 6.已知点 O 在凸多边形 A1A2…An 内,考虑所有的 ? AiOAj,这 里的 i, j 为 1 至 n 中不同的自然数,求证:其中至少有 n-1 个不是锐 角。 7.如图,在△ABC 中,O 为外心,三条高 AD,BE,CF 交于 点 H,直线 ED 和 AB 交于点 M,FD 和 AC 交于点 N,求证: (1) OB ^ DF,OC ^ DE, (2)OH ^ MN。 8.平面上两个正三角形△A1B1C1 和△A2B2C2,字母排列顺序一 致,过平面上一点 O 作 OA = A1 A2 , OB = B1 B2 , OC = C1 C 2 ,求证△ABC 为正三角形。 9. 在平面上给出和为 O 的向量 a, b, c, d, 任何两个不共线, 求证: |a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.


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