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第一轮复习《三角函数》基础知识


基础—综合—能力—创新

《三角函数》基础知识
1. 1)任意角的分类?象限角的定义?与角 ? 终边相同的角的集合怎么表示? 2)各个象限的范围如何用集合或区间表示?轴线角怎么表示? 3)如何判断任意角 ? 所在的象限? 2.角度制与弧度制各自是如何规定的?区别是什么?两者有那些联系? 3.弧度的计算公式: ? ? 4.弧度与角度的换算: 1) 1r

ad ? ( 2) 1 ? ?
?
180
180

弧长 l 弧所在圆的半径 r

( ? 表示弧长 l 所对应弧度数的绝对值)

?
rad

)

?

; ?rad

? 180

?

; 2? rad

? 360

?

;

5.两种制度下的弧长,扇形周长与面积公式: 1)半径为 r ,圆心角为 n ? 的扇形: 弧长 l ? 扇形周长 L ? 扇形面积 S ? 2)半径为 r ,圆心角为 ? rad 的扇形: 弧长 l ? 扇形周长 L ? 扇形面积 S ? 说明:常常利用面积 S 与半径 r 的二次函数关系求面积 S 的最大值或最小值 6.同角三角函数的基本关系式: 1)平方关系: 2)商数关系: 3)倒数关系: 以上关系式中只有 是无条件成立的,其余都有条件限制的。 7.正弦,余弦的诱导公式: k ? Z ,理解口诀:“奇变偶不变,符号看象限” 。 1) 2 k ? ? ? 型: 2) ? ? ? 型: 3) ? ? 型: 4) ? ? ? 型: 5) 2? ? ? 型: 6) 7) 8)
?
2 ? ? 型: ? ? 型: ? ? 型:

?
2 3? 2

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9)

3? 2

? ? 型:

说明:⑴以上三角函数后接的角度中若含有

?
2

的奇数倍(如 6,7 ,8,9 ),则函数名称要改变
?
2

(正弦变余弦,余弦变正弦),符号由角度所在的象限决定(把 ? 看作锐角);若含有

的偶

数倍(如 1, 2 ,3, 4 ,5 ),则函数名称不改变,符号由角度所在的象限决定(把 ? 看作锐角) ⑵求任意角的三角函数值的问题,实质就是通过诱导公式将任意角三角函数值转化为锐 角三角函数值来求.具体步骤:“负角化正角→大角化小角→小角化锐角→求值” 。 8. 和、差、倍、半角公式: 1)两角和差公式:
sin( ? ? ? ) ? sin( ? ? ? ) ?

cos( ? ? ? ) ?

cos( ? ? ? ) ?
tan( ? ? ? ) ?

以上四个公式中 ? , ? ? R
tan( ? ? ? ) ?

以上两个公式中 ? , ? , ? ? ? , ? ? ? ? k ? ?
sin 2? ? cos 2? ?

?
2

,k ? Z

2)二倍角公式:在和角公式中当 ? ? ? 时,得到一组新的公式,叫做二倍角公式. ( cos 2? 有三个变式)

(以上两个公式中 ? ? R )
tan 2? ?

(以上公式中 ? ? k ? ?

?
2

,? ?

k? 2

?

?
4

,k ? Z )

说明:⑴二倍角公式不仅仅只限于 2? 是 ? 的二倍的形式,比如 4? 是 2? 的二倍; ? 是 二倍; 3? 是
3? 2

?
2



的二倍;

?
2



?
4

的二倍;

?
3



?
6

的二倍等.所有这些都可以用二倍角公式
? ?
? 2 时,即凡是 ? 与 ? 满足二倍关系,

来表示.因此要灵活理解“二倍角”的含义,只要

就可以应用二倍角公式.并注意“倍角”的意义是相对的. ⑵要熟悉“倍角”与“二次”的关系:升角→降次;降角→升次 ⑶要特别注意公式的变形表达: ①由 cos 2? 的公式可得 cos 2 ? ?
1 ? cos 2? 2 ; sin ? ?
2

1 ? cos 2? 2
sin ? cos ?

(降次公式)
?
2 ? cos

②由 sin 2? ? 2 sin ? cos ? 可得 cos ? ?
? 2 ? ? cos 2 ? ? ? 2 ? ? ? sin ? 2 ? ? tan 2 ? ? ? 2 ?

sin 2? sin ?

; sin ? ?

;1 ? sin 2? ? (sin

?
2

)

2

③运用 cos 2? 的公式可以写一系列的变形式:
? 2 ? ?1 ? cos ? ? 2 cos 2 ? ? ? 1 ? cos ? ? 2 sin 2 2 ?

3)半角公式:由上面的公式③可以推导下列公式:
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sin

?
2

??

1 ? cos ? 2

cos

?
2

??

tan

?
2

??

(公式正负号的选择由
?
2 sin ? 1 ? cos ?

?
2

的象限来决定)

另注:半角的正切公式,也称“差上不差下”公式.即
tan ? ? 1 ? cos ? sin ?

,体现变形 sin 2 ? ? (1 ? cos ? )(1 ? cos ? )
?
2
2

4)万能公式:体现单角 ? 与半角
2 tan sin ? ? 1 ? tan

的关系.
? ?
2 2 sin ? ? 1 ? tan 2 tan

?
2
2

1 ? tan cos ? ? 1 ? tan

?
2
2

?
2

2

?
2

9.三角函数化简变换求值应注意的问题: 1)倍角公式 cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? 有升幂与降幂的功能.若升幂,则角度减半; 若降幂,则角加倍.具体根据条件灵活选用. 2)熟练进行三角变换的前提是公式的“顺用、逆用、变用”. 3)站在整体的高度从“角度间的关系、函数的次数、函数名称差异、式子结构特征?” 等方面入手,多角度多侧面尝试寻找突破口和切入点.尤其注意一些特殊值的妙用,如“ 1 的妙用” 1 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ; 1 ? tan
?
4

;还比如“ 3 ” 2 ”等的妙用. “

4)重视角度之间关系:配凑角度,拆角,拼角.下面略举几例:
? ? (? ? ? ) ? ? ? ? ? ? (? ? ? ) ? ? ? ?
? 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) 2? ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) 2? ? 2 ( 2? ? 2 ( ?

? ??
2 ? ?? 2

? ?

? ??
2 ? ?? 2

? ??
2 ? ?? 2

? ?

? ??
2 ? ?? 2

) )

5)常见的公式变形: ⑴和差化积公式: 填完,并要求了解.
sin ? ? sin ? ? sin ? ? sin ? ? cos ? ? cos ? ? cos ? ? cos ? ?

⑵特别注意可以和韦达定理等发生联系的公式:
(sin ? ? cos ? ) ? 1 ? sin 2?
2

(sin ? ? cos ? ) ? 1 ? sin 2?
2

sin ? cos ? ?

(sin ? ? cos ? ) ? 1
2

2

sin ? cos ? ?

1 ? (sin ? ? cos ? ) 2

2

10.正弦、余弦、正切函数:
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1)正弦、余弦、正切三个函数的性质: 解析式 定义域 值域 零值点 周期 增区间 减区间 2)以以上的性质为基础,借助单位圆、三角函数图象来求 y ? A sin( ? x ? ? ) ? k 等形式的三 角函数的定义域、值域、零点、最值点、单调区间等. 3)求复杂三基函数值域的常用方法: ⑴利用 sin x , cos x 的有界性;⑵换元法;⑶转化为二次函数式来求 4)设 A ? 0 , ? ? 0 ,求下列复合函数的最小正周期:
y ? A sin( ? x ? ? ) ? k 的最小正周期是 y ? A tan( ? x ? ? ) ? k 的最小正周期是
y ? sin ?

y ? cos ?

y ? tan ?

, y ? A cos( ? x ? ? ) ? k 的最小正周期是 . , , .

,

5)设 A ? 0 , ? ? 0 ,求下列复合函数取零值的集合: 使 y ? A sin( ? x ? ? ) ? 0 时 x 值的集合是 使 y ? A cos( ? x ? ? ) ? 0 时 x 值的集合是 使 y ? A tan( ? x ? ? ) ? 0 时 x 值的集合是 6)设 A ? 0 , ? ? 0 ,下列复合函数增减区间的求法:
y ? A sin( ? x ? ? ) 增区间的求法: y ? A sin( ? x ? ? ) 减区间的求法: y ? A cos( ? x ? ? ) 增区间的求法:
y ? A cos( ? x ? ? ) 减区间的求法: y ? A tan( ? x ? ? ) 增区间的求法:

思考:若以上每个后面都加个 k 呢? 7)设 A ? 0 , ? ? 0 ,下列复合函数的对称轴方程的求法:
y ? A sin( ? x ? ? ) 的对称轴方程的求法: y ? A cos( ? x ? ? ) 的对称轴方程的求法:

思考:若以上每个后面都加个 k 呢?
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8)设 A ? 0 , ? ? 0 ,下列复合函数的对称中心的求法:
y ? A sin( ? x ? ? ) 的对称中心的求法: y ? A cos( ? x ? ? ) 的对称中心的求法: y ? A tan( ? x ? ? ) 的对称中心的求法:

思考:若以上每个后面都加个 k 呢? 9)对于常见形式 y ? a . sin x ? b. cos x ( a , b ? 0 ) 的处理: y ? a . sin x ? b. cos x ( a , b ? 0 )
? a ? b ? sin( x ? ? ) (tan ? ?
2 2

b a

) 转化称这种形式再来求最值,周期,单调性。

11.补充解三角形的正弦定理和余弦定理: 把三角形的三角及三对边叫做三角形的元素.已知三
角形的几个元素求其他元素叫做 .

1)正弦定理:三角形中,各边长和各边所对角的正弦之比相等. 即: ? ABC 三边 AB ? c , BC ? a , AC ? b 所对的内角 分别为角 A , B , C ,则有:
a sin A ? b sin B ? c sin C ? 2 R ( A 为 ? ABC 的外接圆半径)

A c B a b C

变形:⑴ a : b : c ? sin A : sin B : sin C

⑵ A ? B ? C ? a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C ※用途:⑴已知两边及其中一边的对角,求其它边角(可能有两解);⑵已知两角及其中一 角的对边,求其它边角(一解). 2)余弦定理:三角形中,任何一边的平方等于另两边的平方和,减去另两边与其夹角乘积 的两倍. 即: ? ABC 三边 AB ? c , BC ? a , AC ? b 所对的内角分别为角 A , B , C ,则有:
a ? b ? c ? 2 bc cos A , b ? a ? c ? 2 ac cos B , c ? a ? b ? 2 ab cos C
2 2 2 2 2 2 2 2 2

变形: cos A ?

cos B ?

cos C ?

※用途:⑴已知两边及其夹角,求其它边角(一解);⑵已知三边求三角(一解). ★特别提醒:两种定理若综合运用,解三角形能起到事半功倍的效果.还要注意运用其它 的辅助定理或结论:⑴三角形的内角和定理;⑵边角关系定理:大边对大角,大角对大边; ⑶两边之和与两边之差定理.

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