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选修1-2统计案例、推理与证明试题(文科)有答案


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绝密★启用前

x y

0 1

1 3
?

2 5
? ?

3 7 )

统计案例、推理与证明测试题
(文科)选修(1-2)
注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

则 y 与 x 的线性回归方程为 y ? b x ? a 必过点( A.(2,2) B. (1.5 ,4) C.(1.5 ,0)

D.(1,2)

4. 利用独立性检验来考虑两个分类变量 X 与 Y 是否有关系时, 通过查阅下表来确定 “X 和 Y 有关系”的可信度。如果 k ? 3.841 ,那么就有把握认为“ X 和 Y 有关系”的百分比为 ( )

p?K2 ? k?

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025 0.010 0.005 0.001

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题(题型注释) 1.下表是某厂 1—4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据: 月份 x 用水量 y 1 4.5 2 4 3 3 4 2.5

k

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.83

A.25% B.95% C.5% D.97.5% 5.为大力提倡“厉行节约,反对浪费”,某市通过随机询问 100 名性别不同的居民是否能 做到“光盘”行动,得到如下的列联表: 做不到“光盘” 男 45 女 附: 30 0.10 2.706 能 做 到 “ 光 盘” 10 15 0.05 0.025 3.841 5.024

由散点图可知,用水量与月份之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程为 y =-0.7x +a,则 a 等于( ) A.10.5 B.5.15 C.5.2 2.已知 x 与 y 之间的几组数据如下表: D.5.25 4 3 5 3 6 4

P(K2 ? k) k
K2 ?

n( ad ? bc )2 ( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

x y

1 0

2 2

3 1

参照附表,得到的正确结论是( ) A.在犯错误的概率不超过 l%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 l%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” C.有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” D.有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
2 6.用反证法证明命题“设 a , b 为实数,则方程 x ? ax ? b ? 0 至少有一个实根”时,要做

假设根据上表数据所得线性回归直线方程 y = b x+ a , 若某同学根据上表中的前两组数 据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为 y=b′x+a′,则以下结论正确的是( A. b >b′, a >a′ B. b >b′, a <a′ C. b <b′, a >a′ D. b <b′, a <a′ 3.已知 x 与 y 之间的一组数据: ).

的假设是(



2 A.方程 x ? ax ? b ? 0 没有实根 2 B.方程 x ? ax ? b ? 0 至多有一个实根

试卷第 1 页,总 3 页

? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

D.方程 x 2 ? ax ? b ? 0 恰好有两个实根

C.方程 x 2 ? ax ? b ? 0 至多有两个实根

? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

试卷第 2 页,总 3 页

? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释)

Sk ?1 ? 10, Sk ? 10 ,则 ak ? _______.
评卷人 得分 三、解答题(题型注释)

7 .已知

2?

2 2 3 3 4 4 , 3? ? 3 , 4? , . ,类比这些等式,若 ?2 ?4 15 15 8 8 3 3


12.证明: 2 , 3 , 5 不能为同一等差数列中的三项. 13.某工科院校对 A,B 两个专业的男女生人数进行调查,得到如下的列联表: 专业 A 女生 男生 总计 12 38 50 专业 B 4 46 50 总计 16 84 100

6?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

a a ( a , b 均为正实数) ,则 a ? b = ?6 b b

8.[2014·长春调研]用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:

按照上面的规律,第 n 条“金鱼”需要火柴棒的根数为________. 9. (5 分) (2011?陕西)观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律,第五个等式应为 .

(1)从 B 专业的女生中随机抽取 2 名女生参加某项活动,其中女生甲被选到的概率是多少? (2)能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下, 认为工科院校中“性别”与“专业”有关系 呢? 注:K =
2

n(ad-bc)2 (a+b)(c+d )(a+c)(b+d )
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025

1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 14.研究性学习小组为了解某生活小区居民用水量 y (吨)与气温 x (℃)之间的关系,随 机统计并制作了 5 天该小区居民用水量与当天气温的对应表: 日期 气温 x (℃) 9月5日 18 10 月 3 日 15 46 10 月 8 日 11 36 11 月 16 日 9 37 12 月 21 日 -3 24

P(K2≥k0) k0

PA? ? PB? V S 10.如图(1)有面积关系: ?PA?B? = ,则图(2)有体积关系: P ? A?B?C ? =________. PA ? PB S?PAB VP ? ABC

用水量 y (吨) 57

(1) 若从这随机统计的 5 天中任取 2 天, 求这 2 天中有且只有 1 天用水量低于 40 吨的概率 (列出所有的基本事件) ;
? ? 1.4 ,试求出 a ? ?a ? 的值,并预测当地气温 ? ? bx ? 中的 b (2)由表中数据求得线性回归方程 y

11.数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .若数列 ?an ? 的各项按如下规则排列:

为 5℃时,该生活小区的用水量.

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 n ?1 , , , , , , , , , ?????? , , ??? ?????? 则 a15 ? _____; 若存在正整数 k ,使 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 n n n

试卷第 3 页,总 3 页

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参考答案 1.D 【解析】 试题分析:因为回归直线方程过样本中心点,而此题的样本中心点为

? 1 ? 2 ? 3 ? 4 4.5 ? 4 ? 3 ? 2.5 ? , ? ? 即 ?2.5,3.5? , 将 样 本 中 心 点 代 入 回 归 直 线 方 程 4 4 ? ?
3.5 ? ?0.7 ? 2.5 ? a 得 a ? 5.25
考点:回归分析的基本思想及应用 2.C

【解析】b′=2,a′=-2,由公式 b =

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

6

? ( x ? x)
i ?1 i

6

求得.
2

5 13 5 7 1 b = , a = x - b x = - × =- ,∴ b <b′, a >a′ 7 6 7 2 3
3.B 【解析】 试题分析:由数据可知 x ?
? ? ?

0 ? 1? 2 ? 3 1? 3 ? 5 ? 7 ? 1.5 , y ? ? 4 ,∴线性回归方程为 4 4

y ? b x ? a 必过点(1.5,4)
考点:本题考查了线性回归直线方程的性质 点评:解决此类问题常常用到线性回归直线方程恒过定点 ( x, y ) 这一结论,属基础题 4.B 【解析】 试题分析:解 : ∵k>5、024, 而在观测值表中对应于 5.024 的是 0.025, ∴有 1-0.025=97.5%的把握认为“X 和 Y 有关系” , 故选 D.. 考点:独立性检验的应用.. 5.C 【解析】 试题分析:解:由题设知: a ? 45, b ? 10, c ? 30, d ? 15

100 ? ? 45 ?15 ? 30 ?10 ? 所以, k ? 55 ? 45 ? 75 ? 25

2

3.0303 , 2.706 ? 3.0303 ? 3.841

由附表可知,有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” 故选 C. 考点:独立性检验. 6.A
答案第 1 页,总 4 页

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【解析】 反证法的步骤第一步是假设命题反面成立, 而 “方程 x 2 ? ax ? b ? 0 至少有一实根” 的反面是“方程 x 2 ? ax ? b ? 0 没有实根” ,故选 A. 考点:反证法. 7.41. 【解析】 试题分析: 观察已知等式可知:每个等式中的分数的分子均等于前边的整数,而分母都等于前 边整数值的平方减去 1, 因此类比已知等式,若 6 ?

a a ( a , b 均为正实数) , 则 ?6 b b

a ? 6, b ? 62 ? 1 ? 35, 故知 a ? b =6+35=41.
考点:归纳猜想. 8.6n+2 【解析】由图形间的关系可以看出,第一个图中有 8 根火柴棒,第二个图中有 8+6 根火柴 棒, 第三个图中有 8+2×6 根火柴棒, 以此类推第 n 个“金鱼”需要火柴棒的根数是 8+6(n -1),即 6n+2. 9.5+6+7+8+9+10+11+12+13=81 【解析】 试题分析: 根据题意, 观察等式的左边, 分析可得规律: 第 n 个等式的左边是从 n 开始的 (2n ﹣1)个数的和,进而可得答案. 解:根据题意,观察可得, 第一个等式的左边、右边都是 1, 第二个等式的左边是从 2 开始的 3 个数的和, 第三个等式的左边是从 3 开始的 5 个数的和, ? 其规律为:第 n 个等式的左边是从 n 开始的(2n﹣1)个数的和, 第五个等式的左边应该是从 5 开始的 9 个数的和,即 5+6+7+8+9+10+11+12+13,计算可得, 其结果为 81; 故答案为:5+6+7+8+9+10+11+12+13=81. 点评:本题考查归纳推理,解题时要认真分析题意中的等式,发现其变化的规律,注意验证 即可. 10.

PA? ? PB? ? PC ? PA ? PB ? PC

【解析】
' ' 试题分析:过点 p 作直线 A H ? 平面 PAC, BH ? 平面 PAC, VP ? A ' B 'C ' ?

1 A ' H ' S PB 'C ' ; 3

1 VP ? ABC ? BHS PAC 3

答案第 2 页,总 4 页

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1 ? 1 2 V ? f ( ) ? ( ? 1) ? 2, (1 ? a ? 0) 因 为 A ' H ' / /B H, 所 以 由 ( 1 ) 类 比 得 P ? A ' B 'C ' = a ? a VP ? ABC ? f (a) ? (a ? 1) 2 ? 2, (a ? 1) ?
1 A ' H ' S PB 'C ' PB ' PC ' A ' H ' PA? ? PB? ? PC ? 3 = = 1 PAPCBH PA ? PB ? PC BHS PAC 3
考点:类比法. 11. a15 ? 【解析】 试题分析:从题中可看出分母 n ? 1 出现 n 次,当分母为 n ? 1 时,分子依次为 1, 2,3,

5 6 , ak ? 6 7
,n 共

5 ,计算分母为 n ? 1 的各分数的和,依次为 6 1 3 5 1 3 5 1 3 5 ,1, , 2, ,3, ,而 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? 10.5 ? 10,但 ? 1 ? ? 2 ? ? 7.5 ? 10, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 1 1 1 9 6 ? 10 ,故 ak ? . 再计算 ? ? ? ? ? 2 ,而 7 ? 2 ? 9 7 7 7 7 7 7 2 7 14 7

n 个,由于 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 15 ,因此 a15 ?

考点:归纳推理. 12.见解析 【解析】 假设 2 , 3 , 5 为同一等差数列的三项, 则存在整数 m、 n 满足 ?
2 2

? ? 3= 2+md ①, ? ? 5= 2+nd ②,
2

①×n-②×m 得 3 n- 5 m= 2 (n-m),两边平方得 3n +5m -2 15 mn=2(n-m) ,左 边为无理数,右边为有理数,且有理数≠无理数,故假设不正确,即 2 , 3 , 5 不能 为同一等差数列的三项. 13. (1)

1 (2)在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下能认为工科院校中“性别”与“专 2

业”有关系. 【解析】 (1)设 B 专业的 4 名女生为甲、 乙、 丙、 丁, 随机选取两个共有(甲, 乙), (甲, 丙), (甲,丁),(乙,丙),(乙,丁),(丙,丁)6 种可能,其中选到甲的共有 3 种情况,则女生 甲被选到的概率是 P=

3 1 = . 6 2

(2)根据列联表中的数据 k=

100 ? (12 ? 46-4 ? 38) 2 ≈4.762, 16 ? 84 ? 50 ? 50

由于 4.762>3.841,因此在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下能认为工科院校中“性别” 与“专业”有关系. 14. (1)

3 (2)33 吨 5
答案第 3 页,总 4 页

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【解析】 试题分析: (1)首先列出全部的基本事件,确定“2 天中有且只有 1 天用水量低于 40 吨” 的包含的基本事件的个数,根据古典概型求出其概率值; (2) 利用问题中所给的数据, 求出 x, y , 得样本中心点, 由于回归直线一定过样本中心点,

? 解得 a ? 的值,而确定线性回归方程,把 x ? 5 代入所得回归方程就可求得相 ??y ? ? bx 可由 a
? ,这就是用线性回归方程预测当地气温为 5℃时,该生活小区的用水量. 应的 y
试题解析:解: (1)设在抽样的 5 天中用水量低于 40 吨的三天为 ai (i ? 1,2,3) ,用水量不 低于 40 吨的两天为 bi (i ? 1,2) , 那么 5 天任取 2 天的基本事件是: (a1 , a2 ) , (a1 , b1 ) , (a1 , a3 ) ,

(a1 , b2 ) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (b1 , b2 ) , 共计 10 个. (a2 , a3 ) , (a3 , b1 ) , (a3 , b2 ) ,


3

(a1 , b1 ) , 设 “从 5 天中任取 2 天, 有且只有 1 天用水量低于 40 吨” 为事件 A , 包括的基本事件为
(a1 , b2 ) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (a3 , b1 ) , (a3 , b2 ) 共 6 个, 5 分
则 p ( A) ?

3 . 5
3 . 5
7分

∴从 5 天中任取 2 天,有且只有 1 天用水量低于 40 吨的概率为

(学生由列表或画树状图得出 20 个基本事件, 并由此得出正确结论得满分; 没有列出基本事 件且结论正确给 3 分) (2)依题意可知

x?

18 ? 15 ? 11 ? 9 ? (?3) ? 10 , 5 57 ? 46 ? 36 ? 37 ? 24 y? ? 40 , 5

9分

? ? 1.4 , ∵线性回归直线过点 (x , y ) ,且 b
? ? 26 , ∴把点 (10, 40) 代入直线方程,得 a

11 分

? ? 1.4 x ? 26 ∴y

又 x ? 5 时, y ? 1.4 ? 5 ? 26 ? 33 ∴可预测当地气温为 5℃时,居民生活用水量为 33 吨. 考点:1、古典概型;2、线性回归方程. 13 分

答案第 4 页,总 4 页


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