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2011年湖北省高中数学竞赛预赛模拟试卷


2011 年湖北省高中数学竞赛预赛模拟试卷
一、填空题
1.已知 m ?

1 1 . ? 1 ,则 m 2008 ? 2009 ? m m 1 解: m ? ? 1 ,则 m 2 ? m ? 1 ? 0 , (m ? 1)( m 2 ? m ? 1) ? 0 ,即 m 3 ? ?1 . m
1 m
2009


m 2008 ?

? (m 3 ) 669 ? m ?

m ? ?m ? m ? 0 . (m 3 ) 670


2.函数 f ( x) ?

1 3 ? ? cos2 x ? sin x cos x ? 2 , x ? [? , ] .则 f (x) 的值域是: 2 2 6 4 1 3 cos2 x ? sin x cos x ? 2 2 2

解: f ( x) ?

3 3 1 3 3 1 3 ? 3 ? cos 2 x ? sin x cos x ? sin 2 x ? 1 ? ( cos x ? sin x) 2 ? 1 ? sin 2 ( x ? ) ? 1 4 2 4 4 2 2 4 3 4
所以 f (x) 的值域是: [2,2 ] . 3.设等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 S15 ? 0, S16 ? 0 ,则

3 4

S S1 S 2 , ,? , 15 中最大的是 a1 a 2 a15



解:由 S15 ? 15a8 ? 0, 知 a8 ? 0 ,再由 S16 ?

a8 ? a9 ? 16 ? 0 知 a9 ? 0 .所以当 9 ? n ? 15 时, 2

S S Sn ? 0 ;当 1 ? n ? 8 时, n ? 0 .且由 a1 ? a 2 ? ? ? a8 ? 0, S1 ? S 2 ? ? ? S 8 ,知 8 最大. an an a8
4.已知 O 是△ABC 的外心, AB ? 1, AC ? 3, ?BAC ? 120 ? ,若 AO ? ?1 AB ? ? 2 AC , 则 ?1 ? ?2 ? .

2 2 1 1 AB , AO ? AC ? AC .于是有 2 2 1 ?1 2 2 3 1 ? ? 2 ? 1 ? ?1 ? 1 ? ?2 ? 1 ? 3 ? (? 2 ) ? ?1 ? 2 ? 2 ? 2 ?1 , 即 ? , 解 得 1 3 9 ? ? 3 2 ? ?1 ? 1 ? 3 ? (? ) ? ?2 ? 3 2 ?? ?1 ? 9? 2 ? 2 ?2 D 2 ? 2 M1 5 7 22 . ?1 ? , ?2 ? , 故 ?1 ? ?2 ? A1 3 9 9

解: 因为 O 是△ABC 的外心,所以 AO ? AB ?

C B1
1

N C F Q B

5.已知正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 棱长为 1,O 为底面 ABCD 的中心,M, N 分 别 是 棱 CC1 和 A1D1 的 中 点 . 则 四 面 体 O ? MNB1 的 体 积
1

D E A O



. 解: 如图,过 O 作 AB 的平行线分别与棱 AD,BC 交于 E,F,连结 BE,并取 BF 的中点 Q.

易知 OQ∥BE∥B1M .则 OQ∥平面 MNB1 .故 VO ? MNB1 ? VQ ? MNB1 ? VM ? NQB1 . 又 S ?NQB1 ? S BCC1B1 ? S ?NC1B1 ? S ?QCN ? S ?QBB1 ? 1 ?

1 3 1 7 7 . ? ? ? .故 VQ ?MNB1 ? 4 16 8 16 48

6.设 A ? B ? C ? {1,2,3,4,5,6} ,且 A ? B ? {1,2} , {1,2,3,4} ? B ? C ,则符合条件的 ( A, B, C ) 共有 ___________组. (注: A, B, C 顺序不同视为不同组. ) 解: 画出韦恩图,先排元素 1,2,选择区域 p 或 q,各有 2 种选法;再排元素 3,4,选择区域 n 或 t 或 s 或 r,各有 4 种选法;再排 5,6,可供选择的区域为 m,n,t,s,r,各有 5 种选法.因此,符合条 件的 ( A, B, C ) 共有 2 ? 2 ? 4 ? 4 ? 5 ? 5 ? 1600 组. 7. f ( x) ? sin x ? cos x ? tan x ? cot x ? sec x ? csc x , 设 其中 x 为实数, | f ( x) | 的最小值为__ 则 解: f ( x) ? sin x ? cos x ? ___.

1 sin x ? cos x 1 . t ? sin x ? cos x , s cx 令 则n o ? i s x (? t1 2 ? , ) sin x cos x sin x cos x 2 2 2t 2 2 其中 | t |? 2 ,且 | t |? 1 . f ( x) ? t ? 2 ? 2 ?t? ? t ?1? ? 1. t ?1 t ?1 t ?1 t ?1 2 当 t ? 1时,t ? 1 ? ? 2 2 ,此时 f ( x) ? 2 2 ? 1(等号不能取到,因为当 t ? 1 ? 2 时等号成立, t ?1 已经超出 t 的取值范围了) . 2 当 t ? 1 时, ? f ( x) ? 1 ? t ? ? 1 ? 2 2 ? 1 ,等号在 t ? 1 ? 2 时取到.上面的讨论表明, | f ( x) | 1? t
的最小值为 2 2 ? 1. 8.设 p 是给定的正偶数,集合 A p ? {x | 2 ? x ? 2
p p ?1

, x ? 3m, m ? N } 的所有元素的和是



解: 2 ? 2 ? (?1) ? 2 ? 1 ? 2 ? 0(mod 3) . 2
p p

p ?1

? 2 ? 2(?1) p ? 2 ? 2 ? 2 ? 0(mod 3) .

集合 A p 中的元素组成以 3 为公差的等差数列,其中首项为 2 p ? 2 ,末项为 2 p ?1 ? 2 ,设共有 n 项.由

2 p ?1 ? 2 ? 2 p ? 2 ? 3(n ? 1) ,得 n ?

2 p ?1 . 3

Sp ?

n(a1 ? a n ) 2 p ? 1 (2 p ? 2 ? 2 p ?1 ? 2) ? ? ? 2 2 p ?1 ? 2 p ?1 . 2 3 2

二、解答题
1.设数列 {a n }( n ? N ) 满足 a1 ? 2 , a m? n ? a m?n ? m ? n ? (1)证明:对一切 n ? N ,有 a n ? 2 ? 2a n ?1 ? a n ? 2 ;

1 (a2 m ? a2 n ) ,其中 m ? N , m ? n . 2

2

(2)证明:

1 1 1 ? ??? ? 1. a1 a 2 a 2009

证: (1)在已知关系式 a m? n ? a m?n ? m ? n ? 令 n ? 0 ,可得 a 2 m ? 4a m ? 2m ; ①

1 (a2 m ? a2 n ) 中,令 m ? n ,可得 a0 ? 0 ; 2 1 令 m ? n ? 2 ,可得 a 2 n ? 2 ? a 2 ? 2 ? (a 2 n ? 4 ? a 2 n ) ; ② 2

又由①得 a 2 n ? 2 ? 4a n ?1 ? 2(n ? 1), 即 a2 ? 4a1 ? 2 ? 6 , a 2 n ? 4 ? 4a n ? 2 ? 2(n ? 2) , a 2 n ? 4a n ? 2n , 代入②,化简得 a n ? 2 ? 2a n ?1 ? a n ? 2 . ( 2 ) 由 a n ? 2 ? 2a n ?1 ? a n ? 2 得 : (a n ? 2 ? a n ?1 ) ? (a n ?1 ? a n ) ? 2 , 故 数 列 {a n ?1 ? a n } 是 首 项 为

a1 ? a0 ? 2 ,公差为 2 的等差数列,因此 a n?1 ? a n ? 2 ? 2n ? 2n ? 2 .
于是 a n ?

? (a
k ?1

n

k

? a k ?1 ) ? a0 ? ? (2k ) ? 0 ? n(n ? 1) .因为
k ?1

n

1 1 1 1 ? ? ? (n ? 2) ,所 a n n(n ? 1) n ? 1 n



1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ? 1. a1 a 2 a 2009 2 2 3 2008 2009 2009

2.已知抛物线 C: y ?

1 2 x 与直线 l: y ? kx ? 1 没有公共点,设点 P 为直线 l 上的动点,过 P 作抛物线 2

C 的两条切线,A,B 为切点. (1) 证明:直线 AB 恒过定点 Q; (2) 若点 P 与(1)中的定点 Q 的连线交抛物线 C 于 M,N 两点,证明: 证: (1)设 A?x1 , y1 ? ,则 y1 ?

PM PN

?

QM QN



1 1 2 x1 .由 y ? x 2 得 y ' ? x ,所以 y ' x ? x1 ? x1 .于是抛物线 C 在 A 2 2

点处的切线方程为 y ? y1 ? x1 ( x ? x1 ) ,即 y ? x1 x ? y1 .设 P( x0 , kx0 ? 1) ,则有 kx0 ? 1 ? x0 x1 ? y1 . 设 B?x2 , y 2 ? ,同理有 kx0 ? 1 ? x0 x2 ? y 2 .所以 AB 的方程为 kx0 ? 1 ? x0 x ? y , 即 x0 ( x ? k ) ? ( y ? 1) ? 0 .所以直线 AB 恒过定点 Q(k ,1) .

k x0 ? 2 2k x0 ? 4 (2k 2 ? 2) x0 ? 2k 1 2 2 ?x ? k ? ? 1 , y ? x , x ? x? ? 0. (2) PQ 的方程为 y ? 代入 得 x0 ? k x0 ? k x 0 ?k 2
设 M ( x3 , y3 ) , N ( x4 , y 4 ) ,则 x3 ? x 4 ?

2kx0 ? 4 (2k 2 ? 2) x0 ? 2k , x3 x 4 ? . ① x0 ? k x0 ? k


要证

PM PN

?

QM QN

,只需证明

x3 ? x 0 k ? x3 ? ,即 2 x3 x 4 ? (k ? x0 )( x3 ? x4 ) ? 2kx0 ? 0 , x 4 ? x0 x 4 ? k

3

由①知,②式左边=

2(2k 2 ? 2) x0 ? 4k 2k x0 ? 4 ? (k ? x0 ) ? 2k x0 x0 ? k x0 ? k

?

2(2k 2 ? 2) x0 ? 4k ? (k ? x0 )( 2kx0 ? 4) ? 2kx0 ( x0 ? k ) ? 0 .故②式成立,从而结论成立. x0 ? k

3.设 a, b, c, d 为正实数,且 a ? b ? c ? d ? 4 .证明:

a2 b2 c2 d 2 ? ? ? ? 4 ? ( a ? b) 2 . b c d a

证: 因为 a ? b ? c ? d ? 4 ,要证上不等式成立等价于证明

a2 b2 c2 d 2 4(a ? b) 2 ? ? ? ? a?b?c?d ? . 事实上 b c d a a?b?c?d
a 2 b2 c 2 d 2 a2 b2 c2 d2 ? ? ? ? (a ? b ? c ? d ) ? ( ? b ? 2a) ? ( ? c ? 2b) ? ( ? d ? 2c) ? ( ? a ? 2d ) b c d a b c d a 1 1 1 1 ? (a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? d ) 2 ? (d ? a) 2 . b c d a
由柯西不等式知

(

(a ? b)2 (b ? c)2 (c ? d ) 2 (d ? a) 2 ? ? ? )(a ? b ? c ? d ) ? (| a ? b | ? | b ? c | ? | c ? d | ? | d ? a |) 2 . (1) b c d a
而 (| a ? b | ? | b ? c | ? | c ? d | ? | d ? a |) ? 4(a ? b)
2 2

(2)

综合上述几个不等式则得证原不等式. 4.求不定方程 x1 ? x2 ? x3 ? 3x4 ? 3x5 ? 5 x6 ? 21 的正整数解的组数.

x x 解: x1 ? x2 ? x3 ? x , 4 ? x5 ? y , 6 ? z . x ? 3, y ? 2, z ? 1 . 令 则 先考虑不定方程 x ? 3 y ? z ? 21
满足 x ? 3, y ? 2, z ? 1 的正整数解.? x ? 3, y ? 2, z ? 1 ,? 5 z ? 21 ? x ? 3 y ? 12 ,?1 ? z ? 2 . 当 z ? 1 时,有 x ? 3 y ? 16 ,此方程满足 x ? 3, y ? 2 的正整数解为 ( x, y) ? (10, 2), (7, 3), (4, 4) . 当 z ? 2 时,有 x ? 3 y ? 11 ,此方程满足 x ? 3, y ? 2 的正整数解为 ( x, y ) ? (5, 2) . ∴不定方程 x ? 3 y ? z ? 21 满足 x ? 3, y ? 2, z ? 1 的正整数解为

( x, y, z ) ? (10, 2, 1), (7, 3, 1), (4, 4, 1), (5, 2, 2) .
又方程 x1 ? x 2 ? x3 ? x?x ? N , x ? 3?的正整数解的组数为 C x ?1 , 方程 x4 ? x5 ? y? y ? N , x ? 2? 的正
2

整数解的组数为 C y ?1 ,故由分部计数原理知,原不定方程的正整数解的组数为
1 2 1 1 2 1 C92 C1 ? C6 C 2 ? C32 C3 ? C 4 C1 ? 36 ? 30 ? 9 ? 6 ? 81 .

1

4


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