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2015届高考一轮复习课时提升作业(人教A版数学理):2.13 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用]


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课时提升作业(十六)
一、选择题 1. ?10 ? e x ? 2x ? dx 等于 ( (A)1 (B)e-1 ) (C)e (D)e+1

?x 2 , ?2 ? x ? 0, 2.(20

13·南平模拟)已知函数 f ? x ? ? ? 则 ?2 ?2 f ? x ? dx 的值为 ?x ? 1, 0<x ? 2,

( (A)

)
4 3

(B) 4

(C)6

(D)

20 3

2 2 2 3 2 3.若 a=? 0 x dx ,b=? 0 x dx ,c=? 0 sin xdx ,则 a,b,c 的大小关系是(

)

(A)a<c<b

(B)a<b<c

(C)c<b<a

(D)c<a<b

4.(2013·济宁模拟)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一 路线(假定为直线)行驶,甲车、乙车的速度曲线分别为 v 甲和 v 乙(如图 所示).那么对于图中给定的 t0 和 t1,下列判断中一定正确的是( )

(A)在 t1 时刻,甲车在乙车前面 面

(B)t1 时刻后,甲车在乙车后

(C)在 t0 时刻,两车的位置相同 面 5.如图,阴影部分的面积是( )

(D)t0 时刻后,乙车在甲车前

(A) 2 3

(B) 2 ? 3

(C)

32 3

(D)

35 3

t 6.(2013·三明模拟)已知 t>0,若 ?0 ? 2x ?1 ?dx ?6 ,则 t 的值等于(

)

(A)2

(B)3

(C)6

(D)8
? 2

7.曲线 y=sin x,y=cos x 与直线 x=0,x= 所围成的平面区域的 面积为(
? 2 0 ?

) (B) ? (sinx-cosx)dx (D)2 ? 04 (cosx-sinx)dx
? ? 4 0

(A) ? (sinx-cosx)dx (C) ? 02 (cosx-sinx)dx

8.物体 A 以 v=3t2+1(m/s)的速度在一直线 l 上运动,物体 B 在直线 l 上,且在物体 A 的正前方 5 m 处,同时以 v=10t(m/s)的速度与 A 同向 运动,出发后物体 A 追上物体 B 所用的时间 t(s)为( (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 )

9.如图,函数 y=-x2+2x+1 与 y=1 相交形成一个闭合图形(图中的 阴影部分),则该闭合图形的面积是 ( )

(A)1

(B)

4 3

(C) 3

(D)2

2? 10.(2013·唐山模拟)根据 ? 0 sin xdx=0 推断直线 x=0,x=2π ,y=

0 和正弦曲线 y=sin x 所围成的曲边梯形的面积时,正确结论为( (A)面积为 0 (B)曲边梯形在 x 轴上方的面积大于在 x 轴下方的面积 (C)曲边梯形在 x 轴上方的面积小于在 x 轴下方的面积 (D)曲边梯形在 x 轴上方的面积等于在 x 轴下方的面积 二、填空题 11.(2013·莆田模拟) ?1?1 ( 1 ? x 2 ? x)dx =______.

)

12.(2013·海口模拟)已知函数 f(x)=-x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象 如图所示,它与 x 轴在原点处相切,且 x 轴与函数图象所围区域(图中 阴影部分)的面积为
1 ,则 a 的值为____________. 12

13.已知函数 f(x)=sin5x+1,根据函数的性质、积分的性质和积分的

几何意义,探求 ? 2 ? f(x)dx 的值,结果是____________.
? 2

?

14.(能力挑战题)如图,设点 P 从原点沿曲线 y=x2 向点 A(2,4)移动, 记直线 OP、曲线 y=x2 及直线 x=2 所围成的面积分别记为 S1,S2,若 S1=S2,则点 P 的坐标为___________.

三、解答题 15.(能力挑战题)求由抛物线 y2=x-1 与其在点(2,1),(2,-1)处的 切线所围成的面积.

答案解析
1.【解析】选 C.∵(ex+x2)′=ex+2x,
x x 2 1 1 2 0 ∴ ?1 0 ? e ? 2x ? dx ? ? e ? x ? |0 ? ? e ? 1 ? ? ? e ? 0 ? ? e .

0 2 2 2 2 x 3 |0 2. 【解析】 选 D. ? 2 ?2 f ? x ? dx ? ? ?2 x dx ? ? 0 ? x ? 1? dx ? ?2 ?( x ? x) | 0 ? (0 ? ) ?

1 3

1 2

8 3

1 20 ( ? 4 ? 2 ? 0) ? . 2 3
2 2 2 3 4 2 x dx= x 3 |2 3.【解析】选 D. a=? 0 0 = , b= ? 0 x dx= x |0 =4 ,

1 3

8 3

1 4

2 2 c=? 0 sin xdx=-cos x |0 = 1-cos 2 ? 2 ,

∴c<a<b. 4.【解析】选 A.可观察出曲线 v 甲,直线 t=t1 与 t 轴围成的面积大于 曲线 v 乙,直线 t=t1 与 t 轴围成的面积,故选 A. 5. 【解析】选 C. ?1?3 (3-x 2-2x)dx=(3x- x 3-x 2 ) |1 -3 =
1 3 32 . 3
t

t t t t 6.【解析】选 B. ? 0 2xdx ? ? 0 1 dx ? x 2 0 ?x ? t 2 ? t , ? 2x ?1? dx ? ? 0 0

由 t2-t=6 得 t=3 或 t=-2(舍去). 【方法技巧】定积分的计算方法 (1)利用定积分的几何意义,转化为求规则图形(三角形、矩形、圆或 其一部分等)的面积. (2)应用微积分基本定理:
b 求定积分 ?a f ? x ? dx 时,可按以下两步进行,

第一步:求使 F′(x)=f(x)成立的 F(x); 第二步:计算 F(b)-F(a). 7.【解析】选 D.当 x∈[0, ]时,y=sin x 与 y=cos x 的图象的 交点坐标为( ,
? 2
? 4

? 2

2 ),作图可知曲线 y=sin x,y=cos x 与直线 x= 2

0, x= 所围成的平面区域的面积可分为两部分: 一部分是曲线 y=sin x,y=cos x 与直线 x=0,x= 所围成的平面区域的面积;另一部分 是曲线 y=sin x,y=cos x 与直线 x= ,x= 所围成的平面区域的面积.且这两部分的面积相等,结合 定积分定义可知选 D.
t 8. 【解析】选 C.因为物体 A 在 t 秒内行驶的路程为 ?0 (3t 2+ 1)dt ,物体 B t 在 t 秒内行驶的路程为 ? 0 10tdt ,所以

? 4

? 4

? 2

t t ?0 (3t 2+ 1- 10t)dt=(t 3+t- 5t 2 ) |0 =t 3+t- 5t 2= 5 ? (t- 5)(t 2+ 1)= 0 ,即 t=5.

9.【解析】选 B.函数 y=-x2+2x+1 与 y=1 的两个交点为(0,1)和
2 2 (-x 2+2x+ 1- 1)dx=? 0 (-x 2+2x)dx= . (2,1),所以闭合图形的面积等于 ? 0

4 3

10.【思路点拨】y=sin x 的图象在[0,2π]上关于(π,0)对称,据 此结合定积分的几何意义判断. 【解析】选 D.y=sin x 的图象在[0,2π]上关于(π,0)对称,
2? ? ? ?0 sin xdx=? 0 sin xdx+? 2 0. ? sin xdx=

11. 【解析】 ?1?1 ( 1 ? x 2 ? x)dx ? ?1?1 1 ? x 2 dx ? ?1?1 xdx ? ? 0 ? . 答案:
? 2

? 2

? 2

12. 【解析】f′(x)=-3x2+2ax+b,∵f′(0)=0,∴b=0, ∴f(x)=-x3+ax2,令 f(x)=0,得 x=0 或 x=a(a<0).
1 1 S阴影=-? 0 -x 3+ax 2 )dx= a 4= ,∴a=-1. a( 12 12

答案:-1 13.【解析】∵函数 y=sin5x 是奇函数, ∴ ? 2 ? sin5 xdx ? 0 ,
? 2 ? ? ?

∴ ? 2 ? f(x)dx= ? 2 ? sin5 xdx + ? 2 ? 1dx=π.
? 2 ? 2 ? 2

?

答案:π 14.【思路点拨】设直线 OP 的方程为 y=kx, P 点的坐标为(x0,y0), 由 S1=S2 求出 k 的值,再求点 P 的坐标. 【解析】设直线 OP 的方程为 y=kx, P 点的坐标为(x0,y0),
x 2 则 ?0 (kx-x2 )dx=? 2 x (x -kx)dx ,
0 0

1 1 1 1 0 0 2 3 3 2 1 1 8 1 1 即 kx 0 2- x 03= -2k-( x 03- kx 0 2 ) , 2 3 3 3 2 4 4 4 16 解得 k= ,即直线 OP 的方程为 y= x,所以点 P 的坐标为( , ). 3 3 3 9 4 16 答案:( , ) 3 9
x =( x 3- kx 2 ) |2 即 ( kx 2- x 3 ) |0 x ,

15. 【思路点拨】将抛物线方程化为 y=? x- 1 .利用导数求出其切线方 程.再由定积分的几何意义求面积. 【解析】 y=? x- 1 . y?x= ?
1 . 2 x- 1
1 2

∵过点(2,1)的直线斜率为 y? |x=2 = , 直线方程为 y-1=
1 2 1 1 (x-2),即 y= x.同理,过点(2,-1)的直线方 2 2

程为 y=- x,抛物线顶点在(1,0).如图所示:

由抛物线 y2=x-1 与两条切线 y= x,y=- x 围成的图形面积为:
S=S
3 1 2 4 2 2 2 2 - 2 ? x - 1dx = ? 2 ? 2 - 2 ? ? (x - 1) |1 =2- (1-0)= . AOB 1 2 3 3 3

1 2

1 2

【变式备选】 定义 F(x,y)=(1+x)y, x,y∈(0,+∞).令函数 f(x) =F(1,log2(x2-4x+9))的图象为曲线 C1,曲线 C1 与 y 轴交于点 A(0, m),过坐标原点 O 向曲线 C1 作切线,切点为 B(n,t)(n>0),设曲线 C1 在点 A,B 之间的曲线段与线段 OA,OB 所围成图形的面积为 S,求 S 的值.

【解析】因为 F(x,y)=(1+x)y,
log x ? 4x ?9? =x 2-4x+9 , 所以 f ? x ?=F(1,log 2 (x 2-4x+9))=2 ?
2 2

故 A(0,9),又过坐标原点 O 向曲线 C1 作切线,切点为 B(n,t)(n>0), f′(x)=2x-4.
? t ? n 2 ? 4n ? 9, 所以 ? ,解得 B(3,6), ?t ? 2n ? 4 ? ?n
2 4x+9-2x)dx=( -3x 2+9x) |3 所以 S=? 3 0 (x - 0? 9 .

x3 3

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