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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修1-1【配套备课资源】第二章 章末检测


章末检测
一、选择题 1.双曲线 3x2-y2=9 的实轴长是 A.2 3 B.2 2 ( )

C.4 3 D.4 2 x2 y2 2.以 - =-1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为 4 12 x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 16 12 12 16 2 2 x y x2 y2 C. + =1 D. + =1 16 4

4 16 3.对抛物线 y=4x2,下列描述正确的是 A.开口向上,焦点为(0,1) 1 B.开口向上,焦点为?0,16? ? ? C.开口向右,焦点为(1,0) 1 D.开口向右,焦点为?0,16? ? ? x2 y2 4.若 k∈R,则“k>3”是“方程 - =1 表示双曲线”的 k-3 k+3 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

(

)

(

)

(

)

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 x2 16y2 5.若双曲线 - 2 =1 的左焦点在抛物线 y2=2px (p>0)的准线上,则 p 的值为 3 p B.3 C.4 D.4 2 x2 y2 6.设双曲线 2- =1(a>0)的渐近线方程为 3x± 2y=0,则 a 的值为 a 9 A.4 A.2

(

)

(

)

B.3 C.2 D.1 x2 y2 x2 2 7.设椭圆 + =1 和双曲线 -y =1 的公共焦点为 F1、F2,P 是两曲线的一个公共点,则 6 2 3 cos ∠F1PF2 等于 1 1 A. B. 4 3 ( 1 C. 9 3 D. 5 )

8.已知点 P 在抛物线 y2=4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之 和取得最小值时,点 P 的坐标为 1 1 A.?4,-1? B.?4,1? ? ? ? ? 1 1 C.?2,-1? D.?2,1? ? ? ? ? |AB|=4 3,则 C 的实轴长为 A. 2 B.2 2 C.4 D.8 ( )

9.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A,B 两点, ( )

10.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 为坐标原点.若|AF|=3,则

△AOB 的面积为 ( ) 2 3 2 A. B. 2 C. D.2 2 2 2 2 2 x y 11.从双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点 F1 引圆 x2+y2=a2 的切线, 切点为 T.延长 F1T 交双 a b 曲线右支于 P 点,若 M 为线段 F1P 的中点,O 为坐标原点,则|MO|-|MT|与 b-a 的大小 关系为 A.|MO|-|MT|>b-a C.|MO|-|MT|<b-a B.|MO|-|MT|=b-a ( )

D.不确定 x2 y2 12.如图所示,F1,F2 分别是双曲线 C: 2- 2=1(a,b>0)的左,右焦点,B 是虚轴的端点, a b 直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M. 若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是 ( )

2 3 A. 3 二、填空题

B.

6 2

C. 2

D. 3

13.已知长方形 ABCD,AB=4,BC=3,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的离心率 为______. 14.设 P 是曲线 y2=4x 上的一个动点,则点 P 到点 B(-1,1)的距离与点 P 到直线 x=-1 的距 离之和的最小值为________. 15.双曲线 8kx2-ky2=8 的一个焦点为(0,3),那么 k=________. 16.若椭圆 mx2+ny2=1 (m>0,n>0)与直线 y=1-x 交于 A、B 两点,过原点与线段 AB 的中点 2 n 的连线斜率为 ,则 的值为________. 2 m 三、解答题 x2 y2 17.已知双曲线与椭圆 + =1 有公共的焦点,并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为 36 49 3 ,求双曲线的方程. 7 x2 y2 18.已知双曲线 - =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,若双曲线上一点 P 使得∠F1PF2=90° , 9 16 求△F1PF2 的面积. 19.如图,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x2=4y 相切于点 A. (1)求实数 b 的值; (2)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程. 20.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 作直线 l 与抛物线交于 A、B 两点.求证:△AOB 是钝角三角形. 21.已知定点 F(0,1)和直线 l1:y=-1,过定点 F 与直线 l1 相切的动圆的圆心为点 C.

(1)求动点 C 的轨迹方程; → → (2)过点 F 的直线 l2 交轨迹于两点 P、Q,交直线 l1 于点 R,求RP· 的最小值. RQ 2 2 x y 6 22.已知椭圆 G: 2+ 2=1 (a>b>0)的离心率为 ,右焦点为(2 2,0),斜率为 1 的直线 l 与 a b 3 椭圆 G 交于 A、B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积.

答案
1. A 2.D 3.B 4.A 5.C 6.C 7.B 10.C 11.B 12.B 1 13. 14. 5 15.-1 2 16. 2 y2 x2 17. - =1 9 4 x2 y2 18.解 由双曲线方程 - =1, 9 16 可知 a=3,b=4,c= a2+b2=5.由双曲线的定义, 得|PF1|-|PF2|=± 2a=± 6, 将此式两边平方,得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· 2|=36, |PF ∴|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|· 2|. |PF 8.A 9.C

又∵∠F1PF2=90° , ∴|PF1|2+|PF2|2=100 =36+2|PF1|· 2|, |PF ∴|PF1|· 2|=32, |PF 1 ∴S△F1PF2= |PF1|· 2| |PF 2 1 = ×32=16. 2 ?y=x+b, ? 19.解 (1)由? 2 ? ?x =4y 得 x2-4x-4b=0,(*) 因为直线 l 与抛物线 C 相切, 所以 Δ=(-4)2-4×(-4b)=0, 解得 b=-1. (2)由(1)可知 b=-1,故方程(*)即为 x2-4x+4=0, 解得 x=2,代入 x2=4y,得 y=1. 故点 A(2,1),因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切, 所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y=-1 的距离, 即 r=|1-(-1)|=2, 所以圆 A 的方程为(x-2)2+(y-1)2=4. 20.证明 ∵焦点 F 为(1,0),过点 F 且与抛物线交于点 A、B 的直线可设为 ky=x-1,代入抛 物线 y2=4x,

得 y2-4ky-4=0,则有 yAyB=-4, 2 y2 yB A 则 xAxB= · =1. 4 4 → → 又|OA|· |OB|cos∠AOB=OA· OB =xAxB+yAyB=1-4=-3<0, 得∠AOB 为钝角,故△AOB 是钝角三角形. 21.解 (1)由题设知点 C 到点 F 的距离等于它到 l1 的距离, ∴点 C 的轨迹是以 F 为焦点,l1 为准线的抛物线, ∴动点 C 的轨迹方程为 x2=4y. (2)由题意知,直线 l2 的方程可设为 y=kx+1 (k≠0), 与抛物线方程联立消去 y, 得 x2-4kx-4=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 则 x1+x2=4k,x1x2=-4. 2 又易得点 R 的坐标为?-k ,-1?, ? ? 2 2 → → ? ? ∴RP· =?x1+k ,y1+1?·x2+k ,y2+1? RQ ?? ? 2?? 2? =?x1+k??x2+k?+(kx1+2)· 2+2) (kx ? 2 4 =(1+k2)x1x2+?k+2k?(x1+x2)+ 2+4 ? ? k 2 4 2 =-4(1+k )+4k?k+2k?+ 2+4 ? ? k 1? 2 =4?k +k2?+8. ? 1 ∵k2+ 2≥2,当且仅当 k2=1 时取等号, k → → → → ∴RP· ≥4×2+8=16,即RP· 的最小值为 16. RQ RQ c 6 22.解 (1)由已知得 c=2 2, = . a 3 解得 a=2 3,又 b2=a2-c2=4. x2 y2 所以椭圆 G 的方程为 + =1. 12 4 (2)设直线 l 的方程为 y=x+m. ?y=x+m ? 由? x2 y2 , ?12+ 4 =1 ? 得 4x2+6mx+3m2-12=0.① 设 A、B 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2) (x1<x2),AB 中点为 E(x0,y0), x1+x2 3m m 则 x0= =- ,y0=x0+m= ; 2 4 4 因为 AB 是等腰△PAB 的底边, 所以 PE⊥AB.

m 2- 4 所以 PE 的斜率 k= =-1. 3m -3+ 4 解得 m=2. 此时方程①为 4x2+12x=0. 解得 x1=-3,x2=0. 所以 y1=-1,y2=2. |-3-2+2| 3 2 所以|AB|=3 2.此时,点 P(-3,2)到直线 AB:x-y+2=0 的距离 d= = , 2 2 1 9 所以△PAB 的面积 S= |AB|· . d= 2 2


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