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高二数学复数的四则运算1


3.2 复数的四则运算

复习:
我们引入这样一个数i ,把i 叫做 虚数单位,并且规定:

i2??1;

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数 集,一般用字母C表示 .

复数的代数形式: 通常用字母 z 表示,即

z ? a ? bi ( a ? R , b ? R )
实部 虚部

其中

i 称为虚数单位。
R? C ?

讨 论?

复数集C和实数集R之间有什么关系?

?实数b ? 0 ? 复数a+bi ? ?纯虚数a ? 0,b ? 0 ?虚数b ? 0?非纯虚数a ? 0,b ? 0 ? ?

如果两个复数的实部和虚部分别相

等,那么我们就说这两个复数相等.
若a, b, c, d ? R,

?a ? c a ? bi ? c ? di ? ? ?b ? d
a=b=0
.

特别地,a+bi=0?

问题:

a=0是z=a+bi(a、b?R)为 纯虚数的
必要不充分条件

注意:一般地,两个复数只能说相等 或不相等,而不能比较大小. 思考:对于任意的两个复数到底能否 比较大小? 答案:当且仅当两个复数都是实数 时,才能比较大小.

1.复数加减法的运算法则:
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di, 那么:z1+z2=(a+c)+(b+d)i;

z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与

实部,虚部与虚部分 别相加(减).

(2)复数的加法满足交换律、结合律,

即对任何z1,z2,z3∈C,有

z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).

例1.计算 (5 ? 6i) ? (?2 ? i) ? (3 ? 4i)

解: (5 ? 6 i ) ? ( ?2 ? i ) ? (3 ? 4 i )

? (5 ? 2 ? 3) ? ( ?6 ? 1 ? 4) i ? ?11i

2.复数的乘法与除法
(1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似 的,但必须在所得的结果中把i2换成-1, 并且把实部合并.即:
2 (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi

=(ac-bd)+(bc+ad)i.

(2)复数乘法的运算定理
复数的乘法满足交换律、结合律以

及乘法对加法的分配律.
即对任何z1,z2,z3有

z1z2=z2z1;
(z1z2)z3=z1(z2z3); z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.

( 1 ) (a ? bi)(a ? bi) 例2:计算

? a ? abi ? abi ? b i
2

2 2

? a ?b
2
2

2
2 2 2

(2) (a ? bi) ? a ? 2abi ? b i

? a ? 2abi ? b
2

2

(3) (1 ? 2i)(3 ? 4i)(?2 ? i)

(1 ? 2i )(3 ? 4i )( ?2 ? i ) ? (11 ? 2i )( ?2 ? i ) ? ?20 ? 15i

(3)复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子 与分母都乘以分母的共轭复数,化简后 写成代数形式(分母实数化).即

(a ? bi)(c ? di) (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ? ? 2 2 (c ? di)(c ? di) c ?d
分母实数化

a ? bi (a ? bi ) ? (c ? di ) ? c ? di

例3.计算

(1 ? 2i) ? (3 ? 4i)

1 ? 2i 解: (1 ? 2i ) ? (3 ? 4i ) ? 3 ? 4i (1 ? 2i )(3 ? 4i ) ? (3 ? 4i )(3 ? 4i ) 3 ? 8 ? 6 i ? 4 i ? 5 ? 10 i ? ? 2 2 3 ?4 25 1 2 ?? ? i 5 5

练 习
(1)已知 z


z1 z1 ? z2 , z1 ? z2 , z1 ? z2 , z2

1

? 3 ? 2i , z2 ? 1 ? 4i

(2)已知 求

z1 4 2 , z1 , ( z1 ? z2 ) z2

z1 ? 1 ? i , z2 ? 2 ? i

(3) (1 ? i) ? ?2i;
2

1 1? i ? ? i; ? i; i 1? i

1? i ? ? i. 1? i

练习:P63





求满足下列条件的复数z:
(1)z+(3-4i)=1; (2)(3+i)z=4+2i

复数的运算



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北京大峪中学高三数学组

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2017年6月18日星期日


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