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四川省成都七中2013-2014学年高一数学假期模拟试卷(1)新人教A版


高一数学假期模拟试卷(一)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1、若集合 A ? {x | x ? ?1} ,则以下关系中正确的是 ( )

A. 0 ? A

B. {0}? A


C. 0 ? A

D. {0} ? A

2、已知 f ( 1 ) ? 1 ,则 f ( x) ? ( x x ?1

A. 1 1? x

3、已知 f ( x) ? x ? ? ,( x ? 0) ,则 f [ f (?1)] ? 0, ( x ? 0)

?

B. 1 ? x x

C. x 1? x
( )

D. 1 ? x

A. ? ? 1

B. 0

C. 1
( )

D. ?

4、函数 y ? x( x ? 1) ? x 的定义域是

A. {x | x …0}

B. {x | x …1}

C. {x | x …1} ? {0}


D. {x | 0 剟x 1}

5、下列各组中两个函数是同一函数的是(

2 A. f ( x) ? x ? 1 与 g ( x) ? x ? 1 B. f (r ) ? ? r 2 (r …0) 与 g ( x) ? ? x2 ( x …0) x ?1

C. f ( x) ? log a a x (a ? 0 ,且 a ? 1) 与 g ( x) ? alog x (a ? 0, 且a ? 1)
a

D. f ( x) ?| x | 与g (t ) ? ( t )2
( )

6、设 ? ? {?1,1, 1 ,3} ,则使函数 y ? x? 的定义域为 R ,且为奇函数的所有 ? 的值为 2

A. ?1,1,3 B. ?1,1 7、下列函数中值域是 (0, ??) 的是 A. y ? log2 ( x2 ? 2 x ? 3) B. y ? x2 ? x ? 2

C. ?1,3
( )
| x|

D. 1,3 D. y ? 2 2 x ? 1
y 0 -1 1 2 x

C. y ? 1

8 、 已 知 函 数 f ( x) ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 的 图 象 如 右 图 所 示 , 函 数 y ? g ( x) 是 函 数
y ? f ( x) 的反函数,则函数 y ? g ( x) 的解析式为


1 2



A. g ( x ) ? 2 x

B. g ( x ) ? ( 1 ) x
2

C. g ( x) ? log x

D. g ( x) ? log 2 x

9、某地区的绿化面积每年平均比上一年增长 10%,设经过 x 年后,绿化面积与原绿化面积之比为 y , 则 y ? f ( x) 得图象大致为 ( ) y 1 0 x y 1 0 1 x y 1 0 x y 1 0 x

A.

B.

C.

D.
1

10、已知定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在 [0, ??) 上单调递增,且 f (2) ? 0 ,则不等式 f (log2 x) ? 0 的解集 为( )
4

A. ( 1 , 4)

B. (??, 1 ) ? (4, ??)
4
1

C. (0, 1 ) ? (4, ??)
4

D. (??, 1 ) ? (0, 4)
4

11、设 a ? (0, 1 ) ,则 a a , log 1 a, a 2 之间的大小关系是 2 2


1 2



A. a a ? a ? log a
1 2

1 2

B. a ? log a ? a a
1 2

1 2

C. log a ? a a ? a
1 2

D. log a ? a ? a a
1 2

1 2

12 、 函 数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) , 对 任 意 的 非 常 实 数 a, b, c, m, n, p , 关 于 x 的 方 程
m[ f ( x)]2 ? nf ( x) ? p ? 0 的解集不可能是 (



A. {1, 2}

B. {1, 4}

C. {1, 2,3, 4}

D. {1,4,16,64}
个.

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分 13、已知全集 U ? {1,2,3,4,5,6} ,集合 A ? {1,3, 4,6} ,则集合 ? U A 的所有子集共有 14、已知 f ( x) ? 3x2 ? 4 x ? 5, g ( x) ? f ( x ? 2) ,则 g (3) ? 15、函数 f ( x) ? log 1 ( x 2 ? x ? 2) 的单调递增区间为
2

. .

16、定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足:当 x ? 0 时, f ( x) ? 2009 x ? log 2009 x ,则方程 f ( x) ? 0 的实根个 数为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、 (10 分)已知集合 A ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0}, B ? {x | 2 ? 3x ? 0}, C ? { y | y ? x 2 } , 求① A ? C ;② (? U A) ? B

18、 (12 分)计算或花间下列各式: (1) 2log5 10 ? log5 0.25
2

(2) (2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 )(a ? 0, b ? 0)

2

1

1

1

1

5

ax (a ? 0) . 19、 (12 分)已知函数 f ( x) ? 2 x ?1 (1)判断并证明函数 f ( x) 的奇偶性; (2)判断函数 f ( x) 的单调性,并用函数的单调性定义给予证明.

20、 (12 分)某医药研究所开发一种抗甲流新药,如果成年人按规定的计量服用,据监测:服药后每 毫升血液中的含药量 y (微克)与时间 t (小时)之间近似满足如图所示的曲线. (1)结合下图,求 k 与 a 的值; (2)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y ? f (t ) ; (3)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于 0.5 微克时治疗疾病有效,求服药一次治疗有效的 时间范围? M (1, 4) y(微克)
y ? kt
y ? ( 1 )t ? a 2

o

t

3

x x 21、 (12 分)设函数 f ( x) ? lg 1 ? 2 ? 4 a (a ? R) . 3

(1)当 a ? ?2 时,求 f ( x) 的定义域; (2)如果 x ? (??, ?1) 时, f ( x) 有意义,试确定 a 的取值范围; (3)如果 0 ? a ? 1 ,求证:当 x ? 0 时,有 2 f ( x) ? f (2x) .

22、 (12 分)设函数 f ( x) ? loga ( x ? 3a)(a ? 0, 且a ? 1) ,当点 P( x, y) 是函数 y ? f ( x) 图象上的点时,点
Q( x ? 2a, ? y) 是函数 y ? g ( x) 图象上的点. (1)写出函数 y ? g ( x) 的解析式; (2)若当 x ?[a ? 2, a ? 3] 时,恒有 | f ( x) ? g ( x) |? 1 ,试确定 a 的取值范围;

(3)把 y ? g ( x) 的图象向左平移 a 个单位得到 y ? h( x) 的图象,函数 F ( x) ? 2a1? h( x ) ? a 2?2 h( x) ? a ? h( x) , ( a ? 0, 且a ? 1 )在 [ 1 , 4] 的最大值为 5 ,求 a 的值. 4 4

4

高一数学参考答案 一、选择题: ( 5 ?12 ? 60 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12

D

C

B

C

B

D

C

B

D

C

C

D

二、填空题: ( 5 ? 4 ? 20 分)13、4;14、4;15、 (??, ?1) ;16、3 三、解答题: (17 题 10 分;18~22 题,每题 12 分,共 70 分) 17、解:由集合 A ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0}, B ? {x | 2 ? 3x ? 0}, C ? { y | y ? x 2 } 解得:
A ? {x | x ? ?2或x ? 1} ? (??, ?2) ? (1, ??) , B ? {x | x …2} ? [ 2 , ??) , C ? [0, ??) 3 3

(1) A ? C ? (??, ?2) ? [0, ??) ;

2 (2) 痧 R A ? [?2,1] ? ( R A) ? B ? [ ,1] 3
18、解: (1)原式 ? log5 102 ? log5 0.25 ? log5 (102 ? 0.25) ? log5 25 ? 2 ; (2)原式 (?12a 6 b 6 ) ? (?3a 6 b 6 ) ? 4a
7 5 1 5

ax ( a ? 0 )为奇函数; 19、 (1)函数 f ( x) ? 2 x ?1 证明:首先 f ( x) 的定义域为 (??, ?1) ? (?1,1) ? (1, ??) 关于原点对称,其次,又有
f (? x) ? ?ax ? ? ax ? ? f ( x) ,于是 f ( x) 为奇函数; ( ? x) 2 ? 1 x2 ? 1

ax ( a ? 0 )在 (??, ?1); (2)函数 f ( x) ? 2 (?1,1); (1, ??) 三个区间上单调递减; x ?1
证 明 : 设
x1 ? x2 ? ?1





f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

2 ax2 ax1 a[ x2 ( x12 ? 1) ? x1 ( x2 ? 1)] a( x1 ? x2 )( x1 x2 ? 1) ? ? ? 2 2 2 2 2 x2 ? 1 x1 ? 1 ( x2 ? 1)( x1 ? 1) ( x2 ? 1)( x12 ? 1)

2 ? 1)( x12 ? 1) ? 0 且 a ? 0 ∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) , 又∵ x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 1 ? 0 ,( x2

∴ f ( x) 在 (??, ?1) 上为减函数;同理, f ( x) 在 (?1,1) 及 (1, ??) 上均为减函数。 20、 解: (1) 由图象知点 M (1, 4) 在图象上, 则 4 ? k ?1 ? k ? 4 ;4 ? ( 1 )1? a ? 2 ? a ? 1 ? a ? 3 ; 2 (2) y 与 t 的关系式为 y ? f (t ) ?

?

4t ,0 剟t 1 ; 23?t , t ? 1

(3)由(2)知,当 y …0.5 时,则有(Ⅰ) 0 剟t 1 ? 0 剟t 1 ? 0.125 剟t 4t ? 0.5 t …0.125

?

?

?

1 或(Ⅱ)
4(单

t ?1 ? t ? 1 ? 1 ? t ? 4 ,综上,服药一次治疗有效的时间范围是:0.125 剟t t? 4 23?t …0.5

?

位:小时)
x x 21、 解: (1) 当 a ? ?2 时, 函数 f ( x) 有意义, 则 1 ? 2 ? 2 ? 4 ? 0 ? 1 ? 2x ? 2 ? 4x ? 0 , 令 t ? 2x , 3

不等式化为: 2t 2 ? t ? 1 ? 0 ? ? 1 ? t ? 1 ,转化为 ? 1 ? 2 x ? 1 ? x ? 0 ,∴此时函数 f ( x) 的定 2 2 义域为 (??,0) ( 2 ) 当
x ? ?1
x




x

f ( x)
x









则 在

1?

a? 2 ?a?? 4 1?x ? 2 ?0 4 x ? (??, ?1) 上单调递增,∴ y ? ?6 ,则有 a …?6 ;
x x

? 2 a ?0? 4 ? x 1? 3
3

?

4x

1,

2

令1 y ( ? ?( 1x ? 1x ) ) 4 2
1




x x


2x 2x

0?a? x?
x x 2

时 ,



0

(1 ? 2 ? 4 a) , 2 f ( x) ? f (2 x) ? 2log 1 ? 2 ? 4 a ? lg 1 ? 2 ? 4 a ? lg 3 3 3(1 ? 22 x ? 42 x a)

设 2 x ? t ,∵ x ? 0 ,∴ t ? 1 且 0 ? a ? 1 ,则
(1 ? 2x ? 4x ?a)2 ? 3(1 ? 22 x ? 42 x ?a) ? t 4 (a2 ? 3a) ? 2at 3 ? t 2 (2a ? 2) ? 2(t ? 1) ? t 4 (a2 ? 3a2 ) ? 2at 3 ? t 2 (2a ? 2) ? 2(t ? 1) ? ?(at ? 1)2 t 2 ? (at 2 ? 1)2 ? (t ? 1)2 ? 0

∴ 2 f ( x) ? f (2x) 22、解: (1)设点 Q 的坐标为 ( x ', y ') ,则 x ' ? x ? 2a, y ' ? ? y ,即 x ? x '? 2a, y ? ? y ' 。 ∵点 P( x, y) 在函数 y ? loga ( x ? 3a) 图象上 ∴ ? y ' ? log a ( x '? 2a ? 3a) ,即 y ' ? loga
1 ∴ g ( x) ? log 1 a x?a x '? a

1 (2)由题意 x ?[a ? 2, a ? 3] ,则 x ? 3a ? (a ? 2) ? 3a ? ?2a ? 2 ? 0 , 1 ? ?0. x ? a (a ? 2) ? a
又 a ? 0 ,且 a ? 1,∴ 0 ? a ? 1

| f ( x) ? g ( x) |?| log a ( x ? 3a) ? log a
∵ f ( x) ? g ( x) ? 1

1 |?| log ( x2 ? 4ax ? 3a2 ) | a x?a

∴ ?1 剟loga ( x2 ? 4ax ? 3a2 ) 1

∵ 0 ? a ? 1 ∴ a ? 2 ? 2a ,则 r ( x) ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 在 [a ? 2, a ? 3] 上为增函数, ∴函数 u( x) ? log a ( x 2 ? 4ax ? 3a 2 ) 在 [a ? 2, a ? 3] 上为减函数, 从而 [u( x)]max ? u(a ? 2) ? log a (4 ? 4a) 。 [u( x)]min ? u(a ? 3) ? log a (9 ? 6a)
又0 ? a ? 1, 则 (9 ? 6a) …?1 ? 0 ? a ? 9 ? 57 ?log log (4 ? 4a) ? 1 12
a a

(3)由(1)知 g ( x) ? log a 象
F( ?
1? h

1 ,而把 y ? g ( x) 的图象向左平移 a 个单位得到 y ? h( x) 的图 x?a



? x)
? (x ? ?

h( x ?
? 2a
1? )
a

a

1 ?? ) x
x

a

x
?
2

l
g h 2? a ,


a

o
x ( x


2 ) a

g
2

x

?

h?

l

? a2

?

x ao

2

(

a

1 ,又在 [ 1 , 4] 的最大 即 F ( x) ? ?a 2 x 2 ? (2a ? 1) x ,又 a ? 0, 且a ?1 , F ( x) 的对称轴为 x ? 2a ? 4 2a2

值为 5 , 4

1 ? 1 ? a 2 ? 4a ? 2 ? 0 ? a ? 2 ? 6(舍去)或a ? 2 ? 6 ; ①令 2a ? 此时 F ( x) 在 [ 1 , 4] 上递减, 4 4 2a2 ∴ 的 最 大 值 为 F ( x)

F ( 1 ) ? 5 ? ? 1 a2 ? 1 (2a ? 1) ? 5 ? a2 ? 8a ? 16 ? 0 ? a ? 4 ? (2 ? 6, ??) ,此时无解; 4 4 16 4 4
1 ? 4 ? 8a2 ? 2a ? 1 ? 0 ? ? 1 ? a ? 1 ,又 a ? 0, 且a ? 1 ,∴ 0 ? a ? 1 ;此时 F ( x) 在 ②令 2a ? 2 4 2 2a2
[ 1 , 4] 上递增, ∴ F ( x) 的最大值为 F (4) ? 5 ? ?16a2 ? 8a ? 4 ? 5 ? a ? 1 ? 4 2 , 又0 ? a ? 1 , 4 2 4 4 4

∴无解; ③ 令
1 剟 2a ? 1 4 2a 2
2 ? 6且a ? 1

? 剟 6a ? ? 2 02 ? 4 ? ?a 2? 4a ? ?2 ? ? 1 或a a 剠 ? 8 a ? 2 a ? 1 … 0 ? ? ? 4

? 2 1 2



6

a ? 0, 且a ? 1



1 剟a 2







F ( x)











1) ? 5 ? ?a 2 F ( 2a ? 2 4 2a

(2a ? 1)2 (2a ? 1)2 5 (2a ? 1)2 5 ? ? ? ? ? a 2 ? 4a ? 1 ? 0 , 解 得 : 4 2 2 4 4 4a 2a 4a
2 ? 6且a ? 1 ,∴ a ? 2 ? 5 ;

a ? 2 ? 5 ,又 1 剟a 2

综上, a 的值为 2 ? 5 .


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